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Con(PA)という論理式はPAを形式化したものの無矛盾性を主張していてCon(PA+Con(PA))はPA+Con(PA)を形式化したものの無矛盾性で、これを繰り返すと、メタとオブジェクトの階層がωの長さになるわけなんだけど、極限ステップで不動点定理を使うことで任意の順序数回に拡張できる。
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適切な順序表記に沿った反復をすることでPAより十分に強い標準的な理論Tに対してはだいたいTの証明論的順序数回無矛盾性を反復したものがTのΠ^0_1-部分だけ近似してくれている。つまりTとPA+Con^{|T|}(PA)がΠ^0_1-conservativeになる。
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