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My sister insisted that I should solve the problem by myself.なら正しい文となります。ところで、that節を目的後にとる場合、「要求する」と「主張する」とでは語法が変わります。相手に「～しなさいよ」と要求する場合には、that節中にshouldが現れることがあります（主にイギリス英語）。
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元々動詞の原形だったものが後にshouldが使われるようになったのです。アメリカ英語では古い語法の【動詞の原形】が今でも使われています。ex. They insisted that we should come to the party.【英】They insisted that we come to the party.【米】「彼らは我々がパーティーに来ることを要求した」
