ちょっと不安が残りますがこんなになりました pic.twitter.com/JHEknylp1t

【解答】 pic.twitter.com/dTtOOr8zQs

前の投稿は考え方が間違っていました すいませんでした

a＝b＝1/2のとき2つの項が同じ値になるので相加・相乗平均を用いて求めることができると思います

b=1-a a>0,b>0より 0<a<1 a^2/(a+1)+b^2/(b+1) ={a^2(2-a)+(a+1)(1-a)^2}/(a+1)(2-a) =(a^2-a+1)/(a+1)(2-a) =(a^2-a-2+3)/(a+1)(2-a) =3/(a+1)(2-a)-1 2次間数のグラフを考えると 2(a+1)(2-a)<=9/4 なので 3/(a+1)(2-a)-1>=4/3-1 a^2/(a+1)+b^2/(b+1)>=1/3 一応できたけど全然美しくないなこれ💦

コーシー・シュワルツ

通分してab=tとする(tは正。) 与式=(1-t)/(t+2)となる、=f(t)とおく。 a.bの和と積が1とtより a.bを通る二次関数が存在するから 判別式Dは正だからtは1/4以下。 f'(t)<0よりf(t)は単調減少。f(1/4)=1/3 なので与式=>1/3

相加相乗平均とa+b=1より 0<ab<=1/4 a^2/(a+1)+ b^2/(b+1) =｛a^2(b+1)+b^2(a+1)｝/(a+1)(b+1) =｛ab(a+1)+(a+b)^2-2ab｝/(ab+a+b+1) =-1+3/(ab+2)>=-1+3/(1/4+2)=1/3 等号はa=b=1/2のとき