コーシー完備(任意のコーシー列は収束する)+アルキメデス的⇒順序完備(空でない上に有界な集合は上限をもつ)が知られています。 (コーシー列の方の)完備化で作ったℝはコーシー完備かつアルキメデス的なので、ここから従います。 詳しくは齋藤正彦『数学の基礎』を参照してみてください。