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無理数cの存在を仮定する。 b=0のときxは有理数なので、任意の無理数xに対して、有理数a,b(b≠0)が存在して、x=a+bcとなる。このとき、 √2=a₁+b₁c, √3=a₂+b₂c となる有理数a₁,a₂,b₁,b₂(b₁, b₂≠0)が存在する。
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よって、 (√2-a₁)/b₁ = (√3-a₂)/b₂ √2 - (b₁/b₂) √3 = a₁ - (b₁/b₂) a₂ ここでP=b₁/b₂, Q=a₁ - (b₁/b₂) a₂とすると、 PとQは有理数で、Pは0でない。 √2 - P√3 = Q 2 + 3P² - 2P√6 = Q² √6 = (2 + 3P² - Q²) / 2P 左辺は無理数で右辺は有理数なので矛盾。(証明終了)
