x=cosθ、y=sinθとおく。三角比の合成で、x+y=cosθ+sinθ=√2sin(θ+α)≦√2 円周部分は含まないから等号成立は無し。 これでは駄目でしょうか？

yを固定してxの二次関数と見る、かな？

プロセスをちょと省略しますが x^2+y^2<1 x^2+2xy+y^2<1+2xy (x+y)^2<1+2xy<1+(x+y)^2/2（∵最大値計算なのでx, yは正として相加相乗） ∴(x+y)^2<2 x+y<√2

対偶を示します。 任意のk≧√2について、x+y=kとすると、 y=-x+kであり、 x^2+y^2 =x^2+x^2-2kx+k^2 =2(x-1/2k)^2+1/2k^2 ≧1 より、成り立ちます。

相加相乗平均より、 1/2>(x^2+y^2)/2≧√(x^2y^2)=xy 1/2>xy よって、2>(x+y)^2となり、 -√2<x+y<√2となる。

他の方が仰られているCS(Cauchy-Schwarz)が簡単ですが、一文字消去して微分しても求められます x²+y²<1⇔-√(1-x²)<y<√(1-x²)⋀(-1<x<1). x+y<x+√(1-x²) Y(x)=x+√(1-x²) (-1<x<1) と置く。 Y(0)=1. Y(x)-Y(-x)=2xなので、0≤x<1で考えれば十分。 字数足りないし後は分かるでしょうからここまで。

これでどうでしょうか？ pic.x.com/odcmhlpbyq

x=rcosθ, y=rsinθ, r<1 とおくのは、脳内で図をつかってるっぽいですかね。

シュワルツの不等式に帰着させるかなぁ。

内積ぃ