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プロセスをちょと省略しますが x^2+y^2<1 x^2+2xy+y^2<1+2xy (x+y)^2<1+2xy<1+(x+y)^2/2(∵最大値計算なのでx, yは正として相加相乗) ∴(x+y)^2<2 x+y<√2
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対偶を示します。 任意のk≧√2について、x+y=kとすると、 y=-x+kであり、 x^2+y^2 =x^2+x^2-2kx+k^2 =2(x-1/2k)^2+1/2k^2 ≧1 より、成り立ちます。
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他の方が仰られているCS(Cauchy-Schwarz)が簡単ですが、一文字消去して微分しても求められます x²+y²<1⇔-√(1-x²)<y<√(1-x²)⋀(-1<x<1). x+y<x+√(1-x²) Y(x)=x+√(1-x²) (-1<x<1) と置く。 Y(0)=1. Y(x)-Y(-x)=2xなので、0≤x<1で考えれば十分。 字数足りないし後は分かるでしょうからここまで。
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