まとめると、期間nの平滑(i+1)次加重MAに於いて、 k番目のバーの加重割合Wは、 W=k*C(n-k+i, i)/C(n+i+1, i+2) 重心Gは、 G=(2n+i+1)/(i+3)

i=2の場合を例に示したが、同様にして、一般的に、i=1, 2, ... のときも Σ[k=1~n]k*k*C(n-k+i, i) =2*C(n+i+2, i+3)-C(n+i+1, i+2) が成り立つ。 重心は、 G=Σ[k=1~n]k*k*C(n-k+i, i)/C(n+i+1, i+2) =2*C(n+i+2, i+3)/C(n+i+1, i+2)-1 =2(n+i+2)/(i+3)-1 =(2n+i+1)/(i+3)

よって、 Σ[k=1~n]k*k*C(n-k+2, 2) =2A-Σ[k=1~n]k*C(n-k+2, 2) =2*C(n+4, 5)-C(n+3, 4) 重心Gは、 G=Σ[k=1~n]k*k*C(n-k+2, 2)/C(n+3, 4) =2*C(n+4, 5)/C(n+3, 4)-1 =2(n+4)/5-1 =(2n+3)/5

続いて、[1], [3]を利用して平滑MAの重心を求めてみよう。 再び、i=2の場合を例に説明する。 k番目のバーの加重割合Wが W=k*C(n-k+2, 2)/C(n+3, 4) であるから、重心Gは、 G=Σ[k=1~n]k*k*C(n-k+2, 2)/C(n+3, 4) で与えられる。

[2]式はi=2の場合であったが、同様の方法で、一般的に、i=1, 2, ... のときも Σ[k=1~n]k*C(n-k+i, i)=C(n+i+1, i+2) .....[3] の成立を証明することができる。 よって、私の平滑MAの加重割合は、何れも合計が1である。

次に、[1]を利用して、次の[2]式を証明する。 Σ[k=1~n]k*C(n-k+2, 2)=C(n+3, 4) .....[2] これは、i=2の場合、即ち、Smooth Cubic Weighted MAの加重割合に関わる数式である。

実は、私は当初、平滑MAの加重割合の合計が何れも1になる、即ち、i=1, 2, ... のとき Σ[k=1~n]k*C(n-k+i, i)=C(n+i+1, i+2) という数式が成立する所以を理解していなかった。 しかし、先日考え直したところ、それを証明することができた。😀 明日以降にこれを解説しよう。