#アナログ信号の解析法 43 f(t) = Σ{m=-∞→+∞}{ (1/T)∫{-T/2→T/2}f(s)exp(-j2πm･s/T)ds ･ e^(j2πm･t/T) } ↑ #複素フーリエ級数展開 で T→∞の #極限 をとれば lim{T→∞}f(t) =(1/2π)∫{-∞→∞}F(ω)exp(jωt)dω ※F(ω)=∫{-∞→∞}f(s)exp(-jωs)ds #フーリエ変換 になる.

#アナログ信号の解析法 42 lim{T→∞}f(t) =Σ{m=-∞→＋∞}(1/T)g(m/T) =∫{-∞→∞}g(x)dx =∫{-∞→∞}{ ∫{-∞→∞}f(s)exp(－j2πs･x)ds ･ e^(j2πt･x) }dx ① 2πx=ωとおけば ①= (1/2π)∫{-∞→∞}{ ∫{-∞→∞}f(s)exp(－jωs)ds ･ e^(jωt) }dω これが #フーリエ変換！

#アナログ信号の解析法 41 f(t) = Σ{m=-∞→+∞}(1/T){ ∫{-T/2→T/2}f(s)exp(－j2πm･s/T)ds ･ e^(j2πm･t/T) } ここで g(m/T)= ∫{－T/2→T/2}f(s)exp(－j2πs･m/T)ds ･ e^(j2πt･m/T) とおけば… lim{T→∞}f(t) = Σ{m=-∞→+∞}(1/T)g(m/T) #区分求積法 の形に！

#アナログ信号の解析法 40 #複素フーリエ級数展開 の式… f(t) = Σ{m=-∞→＋∞}{ (1/T)∫{-T/2→T/2} f(s)exp(－j2πm･s/T) ds ･ e^(j2πm･t/T) } ↑ Σの中身はm/Tを引数に取る関数で 全体に係数1/Tが付く. という事はつまり T→∞の極限をとれば #区分求積法 の公式が使える.

#アナログ信号の解析法 39 積分範囲が無限大の #区分求積法 ∫{-∞→∞}f(x)dx = lim{⊿ω→0}Σ{k=-∞→∞} (⊿ω) f(ω_k) = lim{n→∞}Σ{k=-∞→∞} (1/n) f(k/n) ※ω_k=k/L ⊿ω=ω_k－ω_{k-1}=1/L L→∞ 共立出版「フーリエ解析入門」(谷川2007)p45に #リーマン和 として載っている.

#アナログ信号の解析法 38 ① ∫{0→1}f(x)dx = lim{n→∞}Σ{k=1→n}(1/n)f(k/n) ② aは整数 ∫{-a→a}f(x)dx = lim{n→∞}Σ{k=-na+1→na}(1/n)f(k/n) ③ ②でa→∞の #極限 をとると ∫{-∞→∞}f(x)dx = lim{n→∞}Σ{k=-∞→∞}(1/n)f(k/n) これが，積分範囲が無限大の #区分求積法.

#アナログ信号の解析法 37 ∫{0→1}f(x)dx = lim{n→∞}Σ{k=1→n} (1/n)f(k/n) #区分求積法 の積分範囲を [a, b] (a, b は整数)としてみると… ∫{a→b}f(x)dx ＝ lim{n→∞}Σ{k=na＋1 → nb} (1/n)f(k/n) ↑ f(a･n / n)=f(a)から f(b･n / n)=f(b)までの 縦長の長方形の短冊の総和。

#アナログ信号の解析法 36 #区分求積法: x軸上で0から1の範囲をn等分. x座標は 1/n, 1/2, …, k/n, …, n/n これらの点での関数f(x)の値は f(1/n), f(1/2), …, f(k/n), …, f(n/n) 縦長の長方形を考え 底辺の長さ=1/n 高さ=f(k/n) ∴ ∫{0→1}f(x)dx＝lim{n→∞}Σ{k=1→n}(1/n)f(k/n)

#アナログ信号の解析法 34 ▶#周期 Tの #アナログ信号 ↓ ↓ sin,cos の集まりとみなす ↓ ▶#フーリエ級数展開 ↓ ↓ #オイラーの公式 で ↓ sin,cosを #exp に書き換え ↓ ▶#複素フーリエ級数展開 ↓ ↓ 周期T→∞の #極限 を取り ↓ #区分求積法 でΣを∫に ↓ ▶#フーリエ変換

#アナログ信号の解析法 33 #複素フーリエ級数展開 のメリットは もう1つあり… 「#複素正弦波 で書かれているので 変形して #フーリエ変換 を導出しやすい」 という利点がある. フーリエ変換: f(t)＝(1/2π) ∫{－∞→∞} F(ω) exp(jωt) dω F(ω)＝∫{－∞→∞} f(t) exp(－jωt) dt

#アナログ信号の解析法 32 #フーリエ級数展開 と比べた場合 #複素フーリエ級数展開 は何の役に立つ？ ・sin, cos だけでなく #exp で表記した #複素正弦波 も #直交関数系 なのだと分かる ・sin,cosで2項使って #級数展開 していたのが expという1項だけで #展開 でき， 表記がより簡潔

#アナログ信号の解析法 31 #複素フーリエ級数展開: f(t)= Σ{m=-∞→＋∞}{ (1/T)∫{-T/2→T/2}f(s)exp(－j2πm s/T)ds ① ･ e^(j2πm t/T) ② } ①と②で #exp 内の符号が異なる. 元の連続信号f(t)を 正の向きに回る #正弦波 exp(+～)で #級数展開 したいので， ②のexp内の符号は正.

#アナログ信号の解析法 30 ▶#複素フーリエ級数展開 f(t)=Σ{m=-∞→+∞} c_m･e^(j2πm･t/T) 係数は c_m=(1/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) exp(－j2πm･s/T) ds 1つの式にまとめると… f(t) = Σ{m=-∞→+∞}{ (1/T)∫{-T/2→T/2} f(s)exp(－j2πm･s/T) ds ･ e^(j2πm･t/T) }

#アナログ信号の解析法 29 #展開 の #係数 を #積分形 で表示！ ▶#フーリエ級数展開: a_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) cos(2πn s/T) ds b_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) sin(2πn s/T) ds ▶#複素フーリエ級数展開: c_m＝(a_m－j b_m)/2 ＝(1/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) exp(－j2πm s/T) ds

#アナログ信号の解析法 28 f(t) = a_0 / 2 ＋ Σ{n=1→∞}{ a_n cos(2πn t/T)＋ b_n sin(2πn t/T) }…① = Σ{m=－∞→＋∞}{ {(a_m － j b_m)/2} e^(j2πm t/T) } = Σ{m=－∞→＋∞} c_m・e^(j2πm t/T) …② c_m ＝ (a_m － j b_m) / 2 これが #複素フーリエ級数展開 の係数.

#アナログ信号の解析法 27 f(t) = a_0/2 ＋ Σ{n=1→∞}{ a_n cos(2πn t/T)＋ b_n sin(2πn t/T) }…① = Σ{m=－∞→＋∞}{ {(a_m － j b_m)/2} e^(j2πm t/T) }…② ①sin, cosを，n≧0の範囲で 係数付き総和をとったもの ②expを，mが正負無限大の範囲で 係数付き総和をとったもの

#アナログ信号の解析法 25 f(t)=a_0/2+Σ{n=1→∞}{ (a_n－j b_n)e^(j2πn t/T)/2+ (a_n＋j b_n)e^(-j2πn t/T)/2 } ↑ Σの中身が nが正の場合と負の場合で対称なので， 和の範囲を0≦n≦＋∞ではなく －∞≦n≦＋∞に書き直し 1項にまとまる。 (a_n, b_nの定義範囲も負の範囲に拡張)

#アナログ信号の解析法 23 #フーリエ級数展開 f(t)＝a_0 / 2 ＋ Σ{n=1→∞} { a_n・cos( 2πn・t/T )＋ b_n・sin( 2πn・t/T ) } ↑ この式に cosθ＝{e^(jθ)＋e^(－jθ)}/2 sinθ＝{e^(jθ)－e^(－jθ)}/2j を代入すれば， cos,sinが消えて #exp のΣになり #複素フーリエ級数展開 になる.

#アナログ信号の解析法 22 共立出版2013 「フーリエ級数の使いみち」p16より引用 『必要な範囲よりほか 感知できる領域の外の事は どうでもいいのである。 そこに数学的にくり返す値をもってきても 物理としては困らない。 そうする事により，積極的に #周期関数 を作る事もできる』

#アナログ信号の解析法 21 Q. #フーリエ級数展開 は #周期関数 しか扱えないので不便？ A. 物理的or工学的な問題を扱う際 無限に過去までとか 無限に未来までデータを知る必要は無い. 現実的に 「一定の有限期間T」の幅に収まる部分だけが処理対象. それは #周期 Tを持つのと同じこと.

#アナログ信号の解析法 20 #フーリエ級数展開 (cosとsinによるΣでの表現) ↑ 何の役に立つ？ ･#無限和 の場合: #直交関数系 による #展開 の概念を理解するのに役立つ. ･#有限和 の場合: 関数の #近似，#情報圧縮 に役立つ. ・関数の #偶関数 成分と #奇関数 成分を調べるのに役立つ.

#アナログ信号の解析法 19 区間長2πで #フーリエ級数展開 の係数を求める際 #三角関数 の #直交性 ①∫{-π→π} cos nt cos mt dt＝πδ_{m,n} ②∫{-π→π} sin nt sin mt dt＝πδ_{m,n} ③∫{-π→π} sin nt cos mt dt＝0 δは #クロネッカーのデルタ で， 添え字が 等しければ1 異なれば0

#アナログ信号の解析法 18 ③ ∫{－π→π} cos nt sin mt dt n≠mの時， ③は #積和の公式 より 1次の #三角関数 になるので 1周期 #積分 すると0 n＝mの時も同様。 cos nt sin nt ＝ (sin 2nt) / 2 で 1周期積分すると0

#アナログ信号の解析法 17 ①∫{-π→π} cos nt cos mt dt ②∫{-π→π} sin nt sin mt dt n≠mの時 ①②の中身は #積和の公式 より 1次の #三角関数 になり 1周期 #積分 すると0 n=mの時 ①の中身=(1+cos 2nt)/2 ②の中身=(1-cos 2nt)/2 いずれも1周期積分するとcosが消え2π・(1/2)=π

#アナログ信号の解析法 16 #フーリエ級数展開 の係数 a_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) cos( 2πn・s/T ) ds b_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) sin( 2πn・s/T ) dt 信号区間長が2πだとすると T＝2πを代入し a_n＝(1/π) ∫{-π→π} f(s) cos( ns ) ds b_n＝(1/π) ∫{-π→π} f(s) sin( ns ) ds

#アナログ信号の解析法 15 #フーリエ級数展開 で， #信号 の区間(#周期)を －πからπ　や 0から2π　とする流儀も多い。 その場合 「長さ2πの固定区間」の信号波形で 計算していることになり， 汎用性に欠けてしまう。 2πに固定せず，区間の長さLやTで 公式を覚えておいた方が良い。

#アナログ信号の解析法 14 #フーリエ級数展開 を 1つの式にまとめると… f(t) = {(2/T)∫{-T/2→T/2} f(s) ds}/2 + Σ{n=1→∞} { { (2/T)∫{-T/2→T/2} f(s)cos(2πn･s/T) ds } ･cos( 2πn･t/T ) + { (2/T)∫{-T/2→T/2} f(s)sin(2πn･s/T) ds } ･sin( 2πn･t/T ) }

#アナログ信号の解析法 13 ▶実数値関数の #フーリエ級数展開 f(t)＝a_0/2＋Σ{n=1→∞}{ a_n・cos(2πn・t/T)＋ b_n・sin(2πn・t/T) } ･#偶関数 は #フーリエ余弦展開 でき a_n(#余弦成分)のみ非0の値を持つ. ･#奇関数 は #フーリエ正弦展開 でき b_n(#正弦成分)のみ非0の値を持つ.

#アナログ信号の解析法 12 a_n＝(2/T)∫{－T/2→T/2} f(s)cos( 2πn・s/T ) ds (n≧0) b_n＝(2/T)∫{－T/2→T/2} f(s)sin( 2πn・s/T ) ds (n≧1) f(t)を #展開 する際 これら #フーリエ係数 は T,nに依存するが tには依存しない. そのためtでなく あえてsという積分変数で表記してある.

#アナログ信号の解析法 11 #フーリエ級数展開: sin(2πn・t/T)に sin(2πm・t/T)をかけると… ▶sin cos や sin sin の式は #積和の公式 より 1次の #三角関数 になり， 1周期 #積分 すると消える. ▶sin^2 の項だけは sin^2 x＝(1-cos 2x) / 2 1周期積分するとcos 2xが消え T/2になる.

#アナログ信号の解析法 10 #フーリエ級数展開: cos(2πn・s/T)に cos(2πm・s/T)をかけると… ▶cos cos や cos sin の式は #積和の公式 より 1次の #三角関数 になり， 1周期 #積分 すると消える. ▶cos^2 の項だけは cos^2 x＝(1＋cos 2x)/2 1周期積分するとcos 2xが消え T/2になる.

#アナログ信号の解析法 9 ▶実数値関数の #フーリエ級数展開 f(t)＝a_0/2＋Σ{n=1→∞}{ a_n・cos( 2πn・t/T )＋ b_n・sin( 2πn・t/T ) } a_0＝(2/T) ∫{－T/2→T/2} f(s) cos(0) ds a_0 / 2 ＝(1/T) ∫{－T/2→T/2} f(s) ds これはつまり 区間内の単純な #平均値 =#直流 成分.

#アナログ信号の解析法 8 ▶実数値関数の #フーリエ級数展開 f(t)＝a_0 / 2 ＋ Σ{n=1→∞}{ a_n・cos( 2πn・t/T )＋ b_n・sin( 2πn・t/T ) } 展開係数の求め方: a_n＝(2/T) ∫{－T/2→T/2} f(s) cos( 2πn・s/T ) ds (n≧0) b_n＝(2/T) ∫{－T/2→T/2} f(s) sin( 2πn・s/T ) ds (n≧1)

#アナログ信号の解析法 7 #フーリエ級数展開 の式の覚え方 時間波形 cos( 2πn・t/T ) 空間波形 cos( 2πn・x/L ) 「2πn」の意味は「n回転」. TやLは 1周期の幅の長さ. t: 0→T x: 0→L の時 t/T: 0→1 x/L: 0→1 なので 2πn･t/T: 0→2πn 2πn･x/L: 0→2πn 要するに「n回転」という事.

#アナログ信号の解析法 6 ▶実数値関数の #フーリエ級数展開 空間幅L内で定義された 空間パターンf(x)の波形を展開: f(x)＝a_0/2 ＋ Σ{n=1→∞}{ a_n・cos( 2πn・x/L )＋ b_n・sin( 2πn・x/L ) } #三角関数 は2πで1周り。これに 現在位置 / 全体区間長 = x / L の整数倍を対応付ける.

#アナログ信号の解析法 5 ▶実数値関数の #フーリエ級数展開 時間幅T内で定義された 時間パターンf(t)の波形を展開: f(t)＝a_0/2 ＋ Σ{n=1→∞}{ a_n・cos( 2πn・t/T )＋ b_n・sin( 2πn・t/T ) } #三角関数 は2πで1周り。これに 現在時刻 / 全体時間長 = t / T の整数倍を対応付ける.

#アナログ信号の解析法 4 #フーリエ級数 (Fourier series) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95… ・実数値関数のフーリエ級数: 実数値関数 f(t) を cos, sin で #展開 できる. ・複素数値関数のフーリエ級数 (#複素フーリエ級数): 複素数値関数 f(t) を exp で展開できる.

#アナログ信号の解析法 3 ①#フーリエ級数展開 #有限長 #連続信号 の 無限長離散スペクトルを得る. cos,sinのΣで展開 ②#複素フーリエ級数展開 ①をexpに書き換え. cos,sinの展開の2度手間を省く ③#フーリエ変換 #無限長 連続信号の 無限長連続スペクトルを得る. expの #積分 で展開

#アナログ信号の解析法 2 ①#有限長 信号 ②#無限長 信号 ①⇔②の相互入れ替え: ・有限長信号の #波形 は 「その波形が #周期的 に無限に繰り返される」 と考えれば 無限長信号にできる. ・無限長信号の波形は 周期性を見出す事ができれば その周期部分に関する有限長信号として扱える.