#デジタル信号の周波数解析 68 #デジタル信号 y_{d,N} (t) に対し DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω) = Σ{k=0→N-1} f[k]e^(-j(ωτ)k) F(ω)を #標本化 すると F_d(ω) = F(ω) δ_{Ω/M}(ω) = Σ{k=0→N-1} f[k]e^(-j(ωτ)k) δ_{Ω/M}(ω) さらに 定数倍する必要もあるのを覚えてる…？

✅信頼の信号を見極めることは、デジタル世界で成功する鍵です。パーソナルブランドを構築するために、あなたの声を響かせるポイントに注意を。 💻自分のデジタル影の作り方、どうしてる？ #PersonalBranding #デジタル信号 #CyberAesthetic bit.ly/Slettvold

#デジタル信号の周波数解析 63 ω軸上の #デジタル信号 F_d(ω)から t軸上のデジタル信号y_{d,N}(t)を 定数倍も含め正確に復元する式 (2π/Nτ)ℱ^{-1}[ F_d(ω) ] = y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t) ℱ^{-1}は 「#無限長 #区間 の #積分∫」だが これを 「#有限長 区間の総和Σ」で置き換えるには？

#デジタル信号の周波数解析 62 ℱ^{-1}[ F_d(ω) ] ① = (Nτ/2π) y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t) ② ②は y_{d,N}(t)がt軸上でNτごとに 同じ #波形 を繰り返す #周期信号 の Nτ/2π倍なので， 「もとの #デジタル信号 を復元する」 という操作を作るには ①のℱ^{-1}の所で2π/Nτ倍すればよい！

#デジタル信号の周波数解析 61 ℱ^{-1}で F_d(ω)からy_{d,N}(t)を復元可能か？ ℱ^{-1}[ F_d(ω) ] = (Nτ/2π) y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t) ① t軸上の #デジタル信号 y_{d,N}(t)は #有限長(0≦t＜Nτ). ①は y_{d,N}(t) がt軸上でNτごとに 同じ #波形 を繰り返す #周期信号(のNτ/2π倍).

#デジタル信号の周波数解析 60 M=Nという結果を使い これまでの計算を書き直してみよう. ω軸上の #周期関数 F(ω)を 1 #周期 内M点で #標本化 した #デジタル信号 F_d(ω)を #時間領域 に戻すと… ℱ^{-1}[ F_d(ω) ] = (τM/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τM}(t) = (τN/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τN}(t)

#デジタル信号の周波数解析 56 前ツイより ω軸上でM点で #サンプリング した #デジタル信号 F_d(ω)の #波形 から t軸上でN点で #サンプリング周期 τでサンプリングした デジタル信号y_{d,N}(t)の波形を 破損なく復元できるためには， Nτ≦Mτ ∴ N≦Mならばよい！ 通常，N=Mとおく.

#デジタル信号の周波数解析 54 F(ω)をω軸上で 1 #周期 あたりM点で #標本化 した #デジタル信号 F_d(ω) を時間領域に戻すと ℱ^{-1}[ F_d(ω) ] = (τM/2π){ y_{d,N}(t) * δ_{τM}(t) } y_{d,N}(t)はN点のみなので t軸上の範囲は 0≦t＜Nτ また δ_{τM}(t)は t軸上で周期Mτ という事は…

#デジタル信号の周波数解析 50 ω軸上のアナログ波形F(ω)に， ω軸上で #インパルス列 δ_{Ω/M} (ω) = Σ{m=-∞→∞} δ(ω－m{Ω/M}) をかけたものは… F_d(ω) ＝ F(ω)・δ_{Ω/M}(ω) ω軸上の #デジタル信号 になる. これはt軸上でどんな #波形 か？ #逆フーリエ変換 してみよう.

#デジタル信号の周波数解析 48 t軸上のN点で #標本化 した #有限長 #デジタル信号 y_{d,N} (t) の #DTFT は ω軸上の #周期関数 F(ω)で #周期 はΩ=2π/τ. このωは{-∞→∞}の #連続変数 だが， #離散化(かつ有限範囲化)したい. そのために ω軸上の1周期内で F(ω)のM点を標本化すると…？

#デジタル信号の周波数解析 47 #有限長 の #デジタル信号 y_{d,N} (t) = Σ{k=0→N-1} f[k] δ(t－kτ) に対し DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω) = Σ{k=0→N-1} f[k] e^(-j{ωτ}k) ↑ 有限個(N個)の #正弦波 の和になった！ なお #DTFT の性質より F(ω) はω軸上で #周期 Ω=2π/τの #周期関数.

#デジタル信号の周波数解析 46 #有限長 の #デジタル信号 y_{d,N} (t) = Σ{k=0→N－1} f[k] δ(t－kτ) を #DTFT すると… DTFT[ y_{d,N} (t) ] = ℱ[ Σ{k=0→N－1} f[k] δ(t－kτ) ] = ∫{-∞→∞} { Σ{k=0→N－1} f[k] δ(t－kτ) } e^(－jωt) dt = Σ{k=0→N－1} f[k] e^(－jωkτ)

#デジタル信号の周波数解析 45 #有限長 #デジタル信号 とは… #無限長 #アナログ信号 に 有限長(0≦t≦(N-1)τ)の #δ列 をかけた #波形 でもある. y_{d,N} (t) = f(t)･{ Σ{k=0→N-1} δ(t－kτ) } = Σ{k=0→N-1} f(t)δ(t－kτ) = Σ{k=0→N-1} f(kτ)δ(t－kτ) = Σ{k=0→N-1} f[k]δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 44 記号の補足: y_{d,N} (t) の添え字の… d は #デジタル信号 である事 (#インパルス列 がかかっていること). N は標本点の個数。 N を書かずにy_d (t) とした場合 N＝∞ となる. ここでは，標本点の個数 N を 何とかして有限に収めたいのである.

#デジタル信号の周波数解析 43 無限長 #アナログ信号 f(t) を t軸上 #サンプリング周期 τ で #標本化 した 無限長 #デジタル信号: y_d (t) = Σ{k=-∞→∞} f(t)δ(t－kτ) これを #有限長 とするには サンプル点をN個に制限. 有限長デジタル信号 y_{d,N} (t) = Σ{k=0→N－1} f(t)δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 42 #DTFT を… ①t領域を #有限長 にする: t軸上の #標本化 点をN個に制限し Σ{k=-∞→∞}を Σ{k=0→N－1}に置き換えればよい ②ω領域を #離散化: 周波数 #スペクトル F(ω)に ω軸上で #δ列 をかけて #サンプリング し ω領域でも #デジタル信号 とすればよい

#デジタル信号の周波数解析 31 #AD変換 と #DA変換 の式を再掲. ▶#アナログ信号 から #デジタル信号(#δ列)を得る: y_d(t) = f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } ▶デジタル信号(δ列)から アナログ信号を復元: y(t) = y_d(t) * sinc( ω_0･t ) = Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc(ω_0･t－kπ)

#デジタル信号の周波数解析 30 「#δ列 で表された信号」に対し おもに行ないたい相互変換は 　#デジタル信号⇔#アナログ信号 の相互入れ換え. (#サンプリング定理 の所で学んだ #sinc補間) この #DA変換，#AD変換 を重んじるあまり 　t⇔ωの相互変換(=#DTFT) は省いてしまうのだろう.

#デジタル信号の周波数解析 22 DTFT^{-1}の #積分 区間が: ①ω軸上1 #周期 なら 信号「値」1つを復元 (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω)e^(jnτω)dω =f[n]=f(nτ) ②{-∞→∞}なら 「#δ列 としての #デジタル信号」を復元 ∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dt = Σ{k=-∞→∞}f(kτ)δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 20 DTFT[ f(t) ] = ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ)δ(t－kτ) ]① ①に ℱ^{-1} をかけると ℱ^{-1}[ ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ)δ(t－kτ) ] ] = ∫{-∞→∞} DTFT[f(t)] e^(jωt) dt = Σ{k=-∞→∞} f(kτ)δ(t－kτ) #インパルス列 としての #デジタル信号 に戻る.

#デジタル信号の周波数解析 15 f(nτ)=f[n] = (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} dω{ ② e^(jnτω) ･ ∫{-∞→∞} dt[ ① Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t-kτ) e^(-jωt) ] } ↑ この式の意味は 「①#DTFT してから②DTFT^{-1}すると #デジタル信号 値 f(nτ) を #δ関数 のかかっていない形で復元できる」

#デジタル信号の周波数解析 13 整理すると… DTFT[ f(t) ]=F(ω) = ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t－kτ) ] の時， F(ω) から #デジタル信号 値 f[n] を復元するには f[n] ＝ (τ/2π) ∫{-π/τ→π/τ} F(ω) e^(jnτω) dω ↑ この式は下記URLにも載っている. suzumushi0.hatenablog.com/entry/2017/07/… .

#デジタル信号の周波数解析 6 #アナログ信号 f(t) を #サンプリング周期 τ で #標本化 した #デジタル信号 値 f(nτ)＝f[n] について DTFT[ f[n] ] = X(ωτ) = Σ{n=-∞→∞} f[n]･e^(－jωτn) ↑ よく見ると #複素フーリエ級数展開 f(t)＝Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T) に似ている？

#デジタル信号の周波数解析 4 #アナログ信号 f(t) に対し 「#デルタ列(#インパルス列)をかけてから #フーリエ変換」するのが #離散時間フーリエ変換. DTFT[ f(t) ] ＝ ℱ[ f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } ] #デジタル信号(#サンプル値関数)の #周波数 スペクトルを得る.

#デジタル信号の周波数解析 2 ▶#アナログ信号 の周波数解析法: ･#フーリエ級数展開 ･#複素フーリエ級数展開 ･#フーリエ変換 ▶#デジタル信号 の周波数解析法: ･#離散時間フーリエ変換(#DTFT) ･#離散フーリエ変換(#DFT) ･#高速フーリエ変換(#FFT) 1つずつ見てゆこう！

#デジタル信号の周波数解析 1 ↑ このタグは下記の事を学びます. #デジタル信号 を #周波数解析 する方法: ①#離散時間フーリエ変換(#DTFT) 理論的に重要だが 現実の #数値計算 には使えない. ②#離散フーリエ変換(#DFT) #時間領域 でも #周波数領域 でも 有限個の数値のみで計算可能.

#デジタル信号とサンプリング 42 ↑ このタグの復習 ①#AD変換: #アナログ信号 から #デジタル信号 を得る方法. なぜ #インパルス列 が必要か ②#DA変換: デジタル信号からアナログ信号を復元する方法. #サンプリング定理，#サンプリング周波数 ①②両方で 変換式をすぐ思い出せるように.

#デジタル信号とサンプリング 39 ▶#アナログ信号 から #デジタル信号 を得る式: アナログ→デジタル変換(#AD変換). y_d(t) ＝ y(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } ▶デジタル信号から アナログ信号を復元する式: デジタル→アナログ変換(#DA変換). y(t) ＝ y_d(t) * sinc(ω_0･t)

#デジタル信号とサンプリング 38 #アナログ信号 y(t)を #サンプリング周期(時間間隔)τで #標本化 した #デジタル信号 y_d (t) に対し デジタル信号から アナログ信号を復元する #補間公式: y(t)＝y_d(t) * sinc( ω_0･t ) (ω_0=π/τ) y(t)＝Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc( ω_0･t － kπ )

#デジタル信号とサンプリング 34 y(t) ＝ y_d(t) * sinc( ω_0･t ) この式に，さらに ･#デジタル信号 の定義 y_d(t) = y(t){ Σ{k＝-∞→∞} δ(t－kτ) } = Σ{k＝-∞→∞} y(kτ)･δ(t－kτ) ･#たたみ込み の定義 f*g＝∫{-∞→∞} f(t－τ) g(τ) dτ を適用するとどうなる…？

#デジタル信号とサンプリング 33 #サンプリング周期 τ の #デジタル信号 y_d(t) を使って #アナログ信号 y(t) を表すと y(t) ＝ y_d(t) * sinc( ω_0･t ) (ω_0 ＝ π/τ) めっちゃ綺麗な形になった。 この意味は 「デジタル信号に #sinc関数 を #畳みこむ と アナログ信号に戻る！」

#デジタル信号とサンプリング 31 ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ] = 2 ω_0･sinc(ω_0･t) を使うと #デジタル信号 の #スペクトル を ω軸上で1 #周期 切り出した式は 2πy(-t) = τ y_d(-t) * ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ] = y_d(-t) * 2τω_0･sinc(ω_0･t) π/τ=ω_0より y(-t) = y_d(-t) * sinc(ω_0･t)

#デジタル信号とサンプリング 27 ω軸上で #デジタル信号 を 1 #周期 切り出したもの ℱ[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) = ℱ[y] 両辺をω軸上で #フーリエ変換 ℱ_ω[ ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) ] = ℱ_ω[ ℱ_t[y] ] 左辺の #積 を変形すると…？

#デジタル信号とサンプリング 26 #デジタル信号 の #スペクトル ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)に 「ω軸上で長さΩ高さτの #矩形関数」をかけて 1周期ぶん切りだすと #アナログ信号 のスペクトルF(ω)に等しい. ℱ[y_d] ・ τ rect(ω / (Ω/2)) = F(ω) これを #逆フーリエ変換 すると？

#デジタル信号とサンプリング 25 #デジタル信号 の #スペクトル ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ) は #周期 Ωの #周期関数 だから… 「ω軸上で長さΩかつ高さτの #矩形関数」 τ・rect(ω / (Ω/2)) をかければ 1周期ぶんのF(ω)を切り出せる！ ※rect(x)= 1 (-1≦x≦1) 0 (otherwise)

#デジタル信号とサンプリング 24 #デジタル信号 の #スペクトル ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ) は ω軸上で #周期 Ωの #周期関数. #アナログ信号 のスペクトルF(ω)が ナイキスト条件を満たし F(ω)の #帯域幅 がω軸上で 横幅Ωの範囲内に収まっている時 1周期ぶんだけ切り出すには？

#デジタル信号とサンプリング 18 #デジタル信号 の #スペクトル ℱ[y_d]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ) (Ω=2π/τ) ω軸上で #周期 Ωの #周期関数. ↑ ここから 「1周期だけ切り出しF(ω)を復元」 という操作が可能であるためには 横幅Ωの範囲内に F(ω)の #波形 全体が収まっている必要がある.

#デジタル信号とサンプリング 17 #デジタル信号 の #スペクトル ℱ[ y_d ]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ) は #周期 Ω=2π/τの無限列. という事は… ω軸上で横幅Ωで 1周期ぶんを切り出してτ倍すれば #アナログ信号 のスペクトルF(ω)が得られ #逆フーリエ変換 で アナログ信号を復元できる！

#デジタル信号とサンプリング 16 #アナログ信号 を #サンプリング して得られる #デジタル信号 は… ･#時間領域 では: 元信号のうち とびとびの情報しか持っていない. ･#周波数領域 では: ℱ[ y_d ]＝(1/τ) Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ) 元信号の #スペクトル F(ω)が 周期的に並ぶ.