#群論入門_剰余類編 35 Q. 「集合は #同値類 によって #類別 できる」 かみ砕いて言い換えると A. ある #二項関係 がある時 その二項関係が #同値律 の3定義を満たしていれば その二項関係を使って 集合を #同値類 にわけることができ それらの同値類で もとの集合を過不足なく分割できる.

#群論入門_剰余類編 34 Q. #同値分割 とは. A. #同値関係「～」に基づく 集合X内の異なる #同値類 C_{a_1}, C_{a_2}, … がある時， X ＝ C_{a_1} ＋ C_{a_2} ＋ … という #類別(#分割)を #二項関係「～」によるXの同値分割と呼ぶ. この類別における #類 は 各同値類 C_{a_i} である.

#群論入門_剰余類編 27 Q. なんでわざわざ 「#同値律 を満たす」と言うの? 「#同値関係 である」で済むじゃん！ A. 数学の論理で 「同値関係にある」は 「2つのものが必要十分条件の関係性にある」 の意. それと紛らわしいので， #二項関係 の場合 「同値律を満たす」と言って区別する.

#群論入門_剰余類編 24 Q. #二項関係「≠」を 「実数として値が異なる」 という意味で用いる場合 #同値関係 の定義式の #推移律 を満たすか? A. 実数a,b,cに対し a≠b かつ b≠c の時 a≠cとは限らない. よって推移律は成り立たない. 「a≠b≠c」と書いた時に 「a≠c」とは言えない.

#群論入門_剰余類編 23 #二項関係 (binary relation) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C… 集合 A 上の二項関係は 「#直積 集合 A^2 = A × A の部分集合」 として定義される. ↓ が，それだとちょっと難しいので とりあえず今のところ 「2元どうしの間の関係性」と考えればよい.

#群論入門_剰余類編 21 Q. #同値関係 の定義 記憶しづらい. A. #二項関係 の対象(＝登場人物) となる元の個数が各々 1個，2個，3個である事に注目するとよい. (1) #反射律 a～a 元はaの1個 (2) #対称律 a～b⇒b～a 元はa,bの2個 (3) #推移律 a～b, b～c⇒a～c 元はa,b,cの3個

#群論入門_剰余類編 20 Q. #同値関係 の(3)「#推移律」 どういう意味か A. 推移関係 (transitive relation) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8… 集合のある3元 a, b, c と ある #二項関係 R について， a と b に R が成り立ち b と c に R が成り立つ時 a と c にも R が成り立つということ.

#群論入門_剰余類編 19 Q. #同値関係 の(2)「#対称律」 どういう意味か A. 対称関係 (symmetric relation) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… 集合のある2元 a, b と ある #二項関係 R について， aRb が成り立つなら bRa も成り立つということ.

#群論入門_剰余類編 18 Q. #同値関係 の「#反射律」が 成り立たないような #二項関係 の例は？ A. 例えば，不等号「＞」について a＞aは成り立たないので 二項関係「＞」は反射律を満たさない。 反射律を満たさないので， 「＞」は同値関係ではない。

#群論入門_剰余類編 17 Q. #同値関係 の(1)「#反射律」 どういう意味か A. 反射関係 (reflexive relation)， 反射性 (reflexivity) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D… 集合のある元 a と ある #二項関係 R について， aが自分自身とRの関係にあるということ. aRa 対義語は 無反射性 (irreflexivity)

#群論入門_剰余類編 16 Q. 数学における #同値関係 とは. A. 下記の3つの条件を満たす 関係性(#二項関係)「～」のことを 同値関係と呼ぶ. (1) #反射律 a～a (2) #対称律 a～b ⇒ b～a (3) #推移律 a～b, b～c ⇒ a～c

#群論入門_正規部分群編 25 ▶#部分群 について A_1 ⊃ A_2 ⊃ A_3 の時 A_1 ⊃ A_3 である. つまり，⊃ という #二項関係 は #推移律 を満たす.(#推移的) ▶#正規部分群 について A_1 ⊳ A_2 ⊳ A_3 の時 A_1 ⊳ A_3 とは限らない！ つまり，⊳ という二項関係は 推移律を満たさない.