#環論の初歩 26 Q. #整域 Rでは 乗法について #簡約法則 が成り立つ事を示せ A. Rの元a,b,cに対し ab=acかつa≠0 → ab+ac^{-1}=ac+ac^{-1} #環 の #分配法則 より a(b+c^{-1})=a(c+c^{-1}) 右辺=a・0=0 左辺でa≠0かつR内に #非自明な零因子 が無いので (b+c^{-1})=0 → b+0=c ∴b=c

#環論の初歩 8 #環論 (ring theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0… ・ #環 を研究する学問分野が環論. ・環は加法と乗法が定義され「整数の持つ性質とよく似た性質」を満足する #代数的構造. ・環は #アーベル群 に第2の #二項演算 として，#結合法則 と #分配法則 を満たす * を導入したもの

#環論の初歩 6 Q. #環 の3 #公理 において 環がもつ2つの演算(和＋と積・)の間の 決定的な差異とは何だろうか. A. 積に「#逆元 の存在を要請しない」こと. また #分配法則 において 和の結合よりも 積の結合のほうが「強く維持される」こと. ※乗法の #単位元 の有無は重要でない.

#環論の初歩 1 Q. #環 の3 #公理 A. #代数系 Rが2種類の #二項演算 和＋と積・を持ち ①和について #加法群 ②積について #モノイド で #結合法則 (a・b)・c＝a・(b・c) ※#単位元 を要請しない場合もある. ③和に対する積の #分配法則 (a+b)・c＝a・c+b・c a・(b+c)＝a・b+a・c

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