#日曜LT紹介 マンデルブロー集合とはある複素数列が発散しないような初期値の集合である。この集合外から内部のある一点へ近付くある点列を考える。この点列を初期値とする数列は発散するが、２より大きくなる項数は、点列が集合へ近付くにつれ円周率の10^nへと近付いていく。 nicovideo.jp/watch/sm315303…

#日曜LT紹介 奇数ゼータ値はラマヌジャンによる級数表示が知られている。これはベルヌーイ数の積の級数と、変な級数の和で書かれている。この変な級数はランベルト級数に変形できる。その証明はいくつか知られているが、二重ゼータ関数を使った証明を発見したので紹介する。 nicovideo.jp/watch/sm344850…

#日曜LT紹介 偶数の完全数は必ず2^(p-1)×(2^p-1)の形になることを証明する。自然数nの約数の総和をS(n)と表す。nが偶数のときn=(2^a-1)mとなり、S(n)=(2^a-1)S(m)と書ける。ここで、S(m)=m+1となることがトリッキーな方法でわかり、ここからm=2^a-1が示せる。 nicovideo.jp/watch/sm344984…

#日曜LT紹介 離散的な世界での微分として、差分というものがある。x^nの差分は微分とは異なるが、冪乗を「下降階乗冪」というものにすると、微分と同様の式が現れる。逆に、差分してnx^(n-1)となるような関数は、関・ベルヌーイ多項式である。差分の性質をいくつか紹介する。 nicovideo.jp/watch/sm389543…

#日曜LT紹介 2022を素因数分解すると2×3×337となる。ところでこれは17の倍数判定まですればよく、意外と手計算で可能な範囲である。調べてみると、5桁以下の数の19％は、17の倍数判定ができれば素因数分解できることがわかった。そこで、皆で素因数分解する大会を開いた。 nicovideo.jp/watch/sm399755…

#日曜LT紹介 普通のサイコロとは違う目を付けたサイコロを考える。目が違っていても、二つ投げた時の目の和の分布を、普通のサイコロと一致させることはできる。そのためにはどのように目を付ければよいかを、多項式の性質を利用して計算する。 nicovideo.jp/watch/sm334827…

#日曜LT紹介 ベンゼンという分子がある。これは六角形に並ぶ炭素の周りに水素が化合した分子である。この周囲のH原子を別の原子に変えられる。六つのうち二つをBr原子に変える方法は三通りあるが、それぞれが出現する確率は大きく異なる。 nicovideo.jp/watch/sm424961…

#日曜LT紹介 「三つの角がすべて直角になる三角形」は普通に考えれば作れないが、球面上なら作れる。では、球面上の三角形の内角の和はいくらだろうか。実は、それは一定にならない。代わりに、三角形の面積をΔ、内角の和をΣとすると、Σ＝Δ＋πという関係になっている。 nicovideo.jp/watch/sm363293…

#日曜LT紹介 1からnまでの自然数の和は、簡単な公式で求めることができる。同様にこれらの２乗和、３乗和も公式が存在する。では一般のk乗和についてはどうだろうか。実はそこに、ベルヌーイ数なるものが登場する。ベルヌーイ数を使ってｋ乗和を求める方法を紹介する。 nicovideo.jp/watch/sm377907…

#日曜LT紹介 三角形を辺で折り返す操作を繰り返すとき、互いに重ならずに平面を敷き詰められるだろうか。実はそのような三角形は、四種類しかない。ところで、ディンキン図形というあるベクトルの集合を表す図があるのだが、実はこれが先ほどの三角形と対応している。 nicovideo.jp/watch/sm372149…

#日曜LT紹介 1つの図形を2つに切り、繋ぎ直して別の図形にするパズルを「裁ち合わせ」と呼ぶ。これには様々なバリエーションがある。ｎ角形にしたり、ポリオミノからポリオミノにしたりなどだ。さらに、正三角形を何回裁ち合わせても、正方形にならないことが知られている。 nicovideo.jp/watch/sm407356…

#日曜LT紹介 ソリトンの歴史を紹介する。波には線形波と非線形波があるが、非線形な孤立波をソリトンと呼ぶ。ソリトンの研究は1834年に始まり1895年に1つの解が得られたが、それ以降進展がなかった。1960年以降に再び注目され、日本の佐藤幹夫が解全体の構造を明らかにした。 nicovideo.jp/watch/sm418523…

#日曜LT紹介 種数ｇの閉曲面のオイラー数は2-2gとなる。これは点の数－辺の数＋面の数で得られるが、この計算は比較的面倒くさい。実はもっと簡単に計算する方法がある。多面体をいくつかの形に分解し、お椀型を０、鞍形を１などとする。するとオイラー数を得ることができる。 nicovideo.jp/watch/sm299241…

#日曜LT紹介 平均律には、和音が濁るという欠点がある。これを綺麗にする音律がピタゴラス音律であるが、これには倍音が現れないという欠点がある。この両方の欠点を解決するのが純正律である。純正律の振動数比は、素数を有限個に限定した有理数の部分集合と見なせる。 nicovideo.jp/watch/sm364400…

#日曜LT紹介 大勢でカラオケに行くと、一人の歌える時間が短くなる。しかし何部屋かに分かれて歌うと、交流ができなくなる。そこで部屋を分けつつ、時々部屋を移動することにした。さて、ｎ人がｍ部屋に分かれ、かつ全員と交流するためには、どうすればよいだろう？ nicovideo.jp/watch/sm344804…

#日曜LT紹介 サルがタイプライターを無限に打ち続ければ、いずれシェイクスピアの戯曲が生まれるに違いない。ところで、遺伝子はATGCの四文字で書かれており、遺伝子が分かればどの生物かわかる。では、ATGCの四文字をランダムに並べたら、どんな生物が生まれるだろうか？ nicovideo.jp/watch/sm299074…

#日曜LT紹介 鉛筆を真横から見てみよう。先端の削れた部分は円錐面で、それ以外は平面（六角柱の側面）である。円錐に平面が交わっているので、その境界は双曲線になる。ではその双曲線は何本見えるだろうか。平面は3つだけ見えるので双曲線も3本と思いきや、実は4本である。 nicovideo.jp/watch/sm424960…

#日曜LT紹介 MathPower2022という数学イベントで、数学クイズに挑戦してきた。そこで出た問題と解法が面白かったので紹介する。ビジュアル問題の第10問では一本の数式が出され、何を証明しているか問われた。実はこれは素数の無限性を証明している。そのことを示そう。 nicovideo.jp/watch/sm412683…

#日曜LT紹介 マリオのコースを自由に作れる「スーパーマリオメーカー」とその続編では、ギミックを利用して計算機を作ることができる。この活動はニコニコ動画上で「マリオメーカー学会」と呼ばれ親しまれている。このたび、オフラインでの学会を開催したので報告する。 nicovideo.jp/watch/sm363286…

#日曜LT紹介 f(X)=X²+X+qがf(0)からf(q-2)まで素数になるのは、Q(√1-4q)の類数が１のときだけである。では、１でないときはどうなるのか。イデアルについての議論から、f(X)が素数になる割合は類数の逆数になると予想される。ところが実験してみると、意外な結果が得られた。 nicovideo.jp/watch/sm382773…

#日曜LT紹介 正十七角形は定規とコンパスだけで作図できる。今回は作図ソフト「GeoGebra」を用いて正十七角形作図RTAを行う。レギュレーションは「定規とコンパス」及び「二等分点」「垂直二等分線」「二点を通る半円」の機能を用いる。目標タイムは３分である。 nicovideo.jp/watch/sm364158…

#日曜LT紹介 近年AIの進歩が目覚ましい。いつかAIが人間に反乱を起こしたりしないだろうか？　コンピュータは計算機である。チューリングは、計算機には不可能なことがあることを数学的に証明した。したがってそれが人間にできれば、我々がコンピュータに負けることはない。 nicovideo.jp/watch/sm315061…

#日曜LT紹介 2023年3月に発表された新たな図形"the hat"は、平面全体を非周期的にしかタイリングできない。そのことは背理法で証明できる。the hatは連続的に変形できるが、仮に周期的タイリングができるとすると、変形させて得られる2種類の図形の間に矛盾が生じるのだ。 nicovideo.jp/watch/sm424961…

#日曜LT紹介 生物の多様性は、個体数と種数で評価できるはずである。しかし、個体数の少ない種の重み付けや、種の相同性の基準の取り方により、評価値は変化する。感度パラメータと相同性の取り方により、評価関数がどのように変化するかを紹介する。 nicovideo.jp/watch/sm322051…

#日曜LT紹介 いわゆる「インド式数学（ウェーダ式数学）」を紹介する。例えば掛け算の筆算は、「縦の掛け算」「斜めの掛け算の和」の二つを繰り返すだけで済む。割り算はこれを逆にやればよい。またデュプレックスという操作を使うと、2乗やルートが簡単に計算できる。 nicovideo.jp/watch/sm363286…