#デジタル信号の周波数解析 69 F(ω)を #標本化 した F_d(ω)について 過去ツイで算出した「定数倍操作」… #デジタル信号 y_{d,N}(t)を 正確に復元する式: (2π/Nτ)ℱ^{-1}[ F_d(ω) ] = y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t) ↑ この(2π/Nτ)倍を忘れないために (2π/Nτ) F_d(ω) を一まとめにすべき.

#デジタル信号の周波数解析 68 #デジタル信号 y_{d,N} (t) に対し DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω) = Σ{k=0→N-1} f[k]e^(-j(ωτ)k) F(ω)を #標本化 すると F_d(ω) = F(ω) δ_{Ω/M}(ω) = Σ{k=0→N-1} f[k]e^(-j(ωτ)k) δ_{Ω/M}(ω) さらに 定数倍する必要もあるのを覚えてる…？

#デジタル信号の周波数解析 67 いま扱っている #周波数 スペクトルF(ω)の形を思い出そう. N点で #サンプリング した時間波形 y_{d,N} (t) に対し DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω) = Σ{k=0→N－1} f[k] e^(-j(ωτ)k) #DTFT の結果であるF(ω)は #複素正弦波 の和. F(ω)を #標本化 すると…？

#デジタル信号の周波数解析 65 #逆フーリエ変換 でなく #逆離散時間フーリエ変換 なら ω軸上の #積分 区間は #有限長 で済む. DTFT^{-1}[ F(ω) ] = (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω)e^(jnτω) dω = f[n]=f(nτ) ↑ このDTFT^{-1}の公式で，F(ω)に ω軸上で #標本化 した波形を代入すればよい！

#デジタル信号の周波数解析 60 M=Nという結果を使い これまでの計算を書き直してみよう. ω軸上の #周期関数 F(ω)を 1 #周期 内M点で #標本化 した #デジタル信号 F_d(ω)を #時間領域 に戻すと… ℱ^{-1}[ F_d(ω) ] = (τM/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τM}(t) = (τN/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τN}(t)

#デジタル信号の周波数解析 54 F(ω)をω軸上で 1 #周期 あたりM点で #標本化 した #デジタル信号 F_d(ω) を時間領域に戻すと ℱ^{-1}[ F_d(ω) ] = (τM/2π){ y_{d,N}(t) * δ_{τM}(t) } y_{d,N}(t)はN点のみなので t軸上の範囲は 0≦t＜Nτ また δ_{τM}(t)は t軸上で周期Mτ という事は…

#デジタル信号の周波数解析 49 ω軸上の #周期関数 F(ω)の #周期 が Ω=2π/τの時 その1周期内でM個の点を #標本化 すると… 標本化の間隔はΩ/M(=2π/τM)なので 「ω軸上の #インパルス列 δ_{Ω/M} (ω) = Σ{m=-∞→∞} δ(ω－m{Ω/M}) を F(ω)にかける」という操作になる.

#デジタル信号の周波数解析 48 t軸上のN点で #標本化 した #有限長 #デジタル信号 y_{d,N} (t) の #DTFT は ω軸上の #周期関数 F(ω)で #周期 はΩ=2π/τ. このωは{-∞→∞}の #連続変数 だが， #離散化(かつ有限範囲化)したい. そのために ω軸上の1周期内で F(ω)のM点を標本化すると…？

#デジタル信号の周波数解析 43 無限長 #アナログ信号 f(t) を t軸上 #サンプリング周期 τ で #標本化 した 無限長 #デジタル信号: y_d (t) = Σ{k=-∞→∞} f(t)δ(t－kτ) これを #有限長 とするには サンプル点をN個に制限. 有限長デジタル信号 y_{d,N} (t) = Σ{k=0→N－1} f(t)δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 42 #DTFT を… ①t領域を #有限長 にする: t軸上の #標本化 点をN個に制限し Σ{k=-∞→∞}を Σ{k=0→N－1}に置き換えればよい ②ω領域を #離散化: 周波数 #スペクトル F(ω)に ω軸上で #δ列 をかけて #サンプリング し ω領域でも #デジタル信号 とすればよい

#デジタル信号の周波数解析 6 #アナログ信号 f(t) を #サンプリング周期 τ で #標本化 した #デジタル信号 値 f(nτ)＝f[n] について DTFT[ f[n] ] = X(ωτ) = Σ{n=-∞→∞} f[n]･e^(－jωτn) ↑ よく見ると #複素フーリエ級数展開 f(t)＝Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T) に似ている？

#デジタル信号とサンプリング 38 #アナログ信号 y(t)を #サンプリング周期(時間間隔)τで #標本化 した #デジタル信号 y_d (t) に対し デジタル信号から アナログ信号を復元する #補間公式: y(t)＝y_d(t) * sinc( ω_0･t ) (ω_0=π/τ) y(t)＝Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc( ω_0･t － kπ )

#デジタル信号とサンプリング 23 #折り返し雑音(folding noise) #エイリアシング(aliasing) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%98… 異なる #連続信号 が #標本化 により区別不能になる事. 低すぎる #周波数 で #標本化 すると #高周波 が #アンダーサンプリング され #低周波 の折り返し雑音になる.

#デジタル信号とサンプリング 22 #サンプリング周波数 (sampling rate) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5… 「#サンプリング 周波数の1/2の #帯域幅 の 外側の #周波数 成分は， 復元時に #折り返し雑音 となるため， #標本化 の前に #帯域制限フィルタ により 遮断しておかなければならない。」

#デジタル信号とサンプリング 21 #標本化定理 (#サンプリング定理) sampling theorem ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99… 「#波形 の最大 #周波数 の 2倍を超えた周波数で #標本化(#サンプリング)すれば， 完全に元の波形に再構成される。」