#群論の初歩 82 #行列 の積に関する #群 一覧： (1) おもに実数成分の場合 ▶GL(n) #一般線形群 #正則行列 ▶SL(n) #特殊線形群 #行列式=1 ▶O(n) #直交群 実 #直交行列(#逆行列 が #転置行列) (行列式=±1) ▶SO(n) #特殊直交群(#回転群) 直交行列かつ行列式=1

#群論の初歩 79 ユニタリ行列 (unitary matrix) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6… U^* U = U U^* = E を満たす複素 #正方行列 U は #ユニタリ行列. ※U^* は U の #随伴行列 (U^* = (U̅)^T) ・ #直交行列 を 複素数体へ拡張したものがユニタリ行列. 実ユニタリ行列は直交行列に等しい.

#群論の初歩 75 #回転群(rotation group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E… #特殊直交群(Special Orthogonal group). SO(n) n×nの #直交行列 で #行列式 が+1のもの全体が 乗法に関しなす #群. 物理学では SO(3)＝空間回転のつくる群 の #表現論 が 原子・分子，原子核，素粒子，分光学で重要

#群論の初歩 74 直交群 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4… ・ #直交群 とは 元がn×nの実 #直交行列 で 群の積が行列の積によって与えられるもの. ・直交行列の #行列式 は ±1 ・O(n) の重要な #部分群 である #特殊直交群 SO(n) は 行列式が+1である直交行列からなり #回転群 とも呼ばれる.

#群論の初歩 73 Q. O(n)上で 行列の積という #二項演算 が #閉じている ことを示せ A. #直交行列 の積が 直交行列であることを示す. 直交行列A,Bについて #転置 の性質より (AB)^t ＝ B^t A^t (AB)(AB)^t =A(B B^t) A^t =A E A^t =A A^t =E 同様に (AB)^t (AB)＝E ∴ABは直交行列

#群論の初歩 72 Q. #代数学 において O(n) は何を表すか A. n 次の #直交群 (Orthogonal group)を表す. 実 #直交行列 の全体である. O(n) ＝ { A∈GL(n, R) | A A^t ＝E } なお直交行列とは， #逆行列 が #転置行列 A^{-1} ＝ A^t で与えられるような #行列 を指す.