#解析力学_Lagrange形式編 22 ① 未知関数q(t)に対し #汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる. ② 未知関数 q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t) に対し S[q]=∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt は ε=0(すなわちq=q_0(t))の時に 極値(停留値). ①と②は同値.

#解析力学_Lagrange形式編 20 題意の 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとるような 解である関数q(t)」 を q=q_0 (t) とおき q_0 (t) をわずかに変形した曲線として q(t)=q_0 (t)＋ε・h(t) を考える. εは微小量 h(t)は任意の曲線だがh(t_1)=h(t_2)=0を満たす.

#解析力学_Lagrange形式編 19 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる」★ ↑ ★は，物理学的には #ラグランジアン Lの時間積分という #作用汎関数 が最小値をとること. すなわち #最小作用の原理 に相当する. ★を変形し q(t)が満たす #微分方程式 を作るには?

#解析力学_Lagrange形式編 18 3つの引数をとる既知関数 L(q,q̇,t) がある. 未知関数q=q(t)を引数にとる #汎関数 S[q] として S[q]＝∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt を考える。 S[q] が #極値(#停留値)をとるような 関数q(t)を求めよ. (=そのようなq(t)が満たす #微分方程式 を作る手順を示せ.)

#解析力学_Lagrange形式編 17 3つの引数 q, q̇(=dq/dt), t をとる関数 L(q,q̇,t) があるとする. Lは既知関数だが 具体的な形はここでは与えられていない(考慮不要). 未知関数は q=q(t) である. この時，Lが満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 を 次ツイから #変分法 で計算してみよう.

#解析力学_Lagrange形式編 118 整理: 物理的安定性を要請すると 「#ラグランジアン は q̈など2階以上の変数を含まない」と仮定でき， L=L(q,q̇)とおけて #最小作用の原理 δS=δ∫Ldt=0 に代入すると， #オイラー・ラグランジュ方程式 や #ニュートンの運動方程式 は 2階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 117 「#オストログラドスキーの定理: 整合的な修正重力理論への道のり」(本橋，2016年) jps.or.jp/books/gakkaish… 『この定理自体は #一般相対論 の知識を用いず #拘束系 の #解析力学 の手法により理解できる。 定理の面白さと最近の研究における応用を紹介』

#解析力学_Lagrange形式編 116 Q. ミハイル･#オストログラツキー 主な業績は A. #電磁気学 で有名な #ガウスの定理(#発散定理)に 初めて証明を与えた. ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BA… 1762 #ラグランジュ が発見 1813 #ガウス が再発見 1825 #グリーン が再発見 1831 オストログラツキーが再発見

#解析力学_Lagrange形式編 115 Q. 物理世界で運動方程式が2階であることの 説明を与える #オストログラドスキーの定理. ↑ 誰が証明したのか？ A. ミハイル･ #オストログラツキー (Ostrogradsky，1801～1862) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F… ロシア出身の数学者&物理学者で #変分法 などを研究.

#解析力学_Lagrange形式編 114 「変分法と変分原理」(森北出版2017柴田) p143の引用の続き 『…一方，物理学を始め さまざまな興味深い問題を支配する常微分方程式は 2階常微分方程式に属するので， 4階以上の常微分方程式に支配される 複雑な問題を掘り下げることはしない。』

#解析力学_Lagrange形式編 16 Q. 一般的に，#変分法 で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. Euler–Lagrange equation ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#汎関数 の停留値を与える関数」 を求める #微分方程式. 一般的な汎関数に対し， オイラー・ラグランジュ方程式は 物理学と無関係に成立.

#解析力学_Lagrange形式編 113 「変分法と変分原理」(森北出版2017柴田)の 3-5「高階導関数を含む変分問題」に #ラグランジアン が2階導関数を含まない件が書かれている。 p143から引用： 『2階導関数までを含む場合のオイラー方程式は， 独立変数xの4階常微分方程式となる。(続)』

#解析力学_Lagrange形式編 112 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#オストログラドスキーの定理 は 通常の物理系の #運動方程式 が 2階微分方程式として定式化される理由を 説明する，と解釈される」 #ニュートンの運動方程式 や #オイラー・ラグランジュ方程式 が 2階なのは このためなんですね.

#解析力学_Lagrange形式編 111 現実の物理世界では #エネルギー は－∞に発散せず最小値を持つ. #ハミルトニアン が下に #有界 ↓ そのような系は #線型不安定性 (#オストログラドスキー不安定性)をもたない ↓ そのような系は #ラグランジアン にq̈を含まない (#オストログラドスキーの定理)

#解析力学_Lagrange形式編 110 現実の物理世界では… ▶#運動エネルギー は－∞に発散しない！ (#絶対零度 より冷たくなれない) ▶#位置エネルギー も－∞に発散しない！ (無限に地中深くへ埋没してゆけない) よって現実の物理世界では #エネルギー は下に有界。つまり最小値を持つ。

#解析力学_Lagrange形式編 109 Q. 「おわんの最下部で静止した球が ﾒﾘﾒﾘ…とめり込んで 無限に地中深くへ埋没してゆく事は無い」 ↑ 球が超重くて おわんや地面の材質が超ﾓｯﾌﾓﾌで柔らかい場合 起こりうるのでは？ A. 惑星の中心まで埋没した時点で停まる (=位置エネルギー最小値)

#解析力学_Lagrange形式編 15 【#ラグランジアン は訳分からん事案】 という格言がある。 そのような格言があるほど， 分かりづらい存在なのである！ 「#わけわからんじあん」 「#ワケワカランジアン」 などでエゴサしてみよう！ そのツイート検索用のリンク： x.com/search?q=%22%E…

#解析力学_Lagrange形式編 108 固いおわんの内部に球を放つと 曲面に沿って少し運動した後 球は底で静止する. が，その後で球がひとりでに おわんの下部へ「ﾒﾘﾒﾘ…」とめり込んで 無限に地中深くへ埋没してゆくとしたら…? 「#エネルギー に最小値が無い」とは そういうありえない現象.

#解析力学_Lagrange形式編 107 物体を冷やし続け 温度が0[K](#絶対零度)になると 構成分子の #運動エネルギー がゼロゆえ さらに冷やすことは不可能！ 「エネルギーがマイナス無限大に発散」 というのは， この状況からさらにいくらでも "冷やす" 事ができてしまう ということ(起こり得ない)

#解析力学_Lagrange形式編 106 #線型不安定性 (#オストログラドスキー不安定性) をもつ系は… ・ #エネルギー の最小状態が存在せず 物理的に不安定. ・ #ハミルトニアン が下に非有界となり 物理的に不安定. 要するに エネルギーが －∞ に発散してしまい 現実にあり得ないわけだが…

#解析力学_Lagrange形式編 105 #オストログラドスキーの定理 theorem of Ostrogradsky ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 力学変数の高階微分を #運動方程式 に含むような系では， #ハミルトニアン が「下に非有界」となり， 物理的に不安定なモードが存在するため そのような系は「物理的ではない」.

#解析力学_Lagrange形式編 14 Q. #ハミルトニアン H=T+Uは 「系の全エネルギー」(わかりやすい) #ラグランジアン L=T-Uの 「物理的な意味」を考えてみよ A. #作用汎関数 の定義 S＝∫Ldt と #最小作用の原理 δS＝0 より Lの物理的な意味は 「系の時間発展の間，時間積分が最小となるべき量」

#解析力学_Lagrange形式編 104 Q. 「LはL(q,q̇)とおく事ができ q̈や高階微分変数を含まない」 と仮定できる理由 A. 「#ラグランジアン がq̈を含む系は エネルギーの最小状態が存在せず 物理的に不安定になる」事が知られている. ・ #線型不安定性 ・ #オストログラドスキー不安定性 と呼ぶ.

#解析力学_Lagrange形式編 103 「#ラグランジアン Lが q̈やそれ以上の高階微分を 変数として含む時 #オイラー・ラグランジュ方程式 は 3階以上の微分方程式になる」 ということが分かった. でも普通の #解析力学 ではL=L(q,q̇)とおき #オイラー・ラグランジュ方程式 は2階. なぜそうおける?

#解析力学_Lagrange形式編 102 #ラグランジアン L(q,q̇,…,q^(n)) が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 は Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 Lがqの2階微分まで含み L=L(q,q̇,q̈)ならば ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＋(d^2/dt^2)(∂L/∂q̈)=0 qに関する4階微分方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 101 Lがqのn階微分まで含み L(q,q̇,q̈,q^(3),q^(4),…,q^(n)) である時 #最小作用の原理 δS＝δ∫Ldt＝0 にLを代入し #変分法 で計算すると 「一般化された #オイラー・ラグランジュ方程式」 として Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 を得る.

#解析力学_Lagrange形式編 13 Q. 「#汎関数微分 は方向微分の一般化」 とはどういう意味? A. ・方向微分: 有限次元ベクトルに関する微分法 ・汎函数微分: 無限次元ベクトルとしての連続函数に対する微分法 1変数の微分積分学の 単純な1次元の微分を一般化したもの とみなせる点で両者は共通

#解析力学_Lagrange形式編 100 Q. #ラグランジアン がもし qの二階以上の微分(高階の微分) を含む場合 #オイラー・ラグランジュ方程式 はどうなる？ A. 下記PDFの12ページに計算が. wwwacty.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~acts/mechanic… オイラー・ラグランジュ方程式は 2階ではなく もっと高階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 99 ここまで， #ラグランジアン が L(q, q̇) すなわち q の一階微分までを 変数として含む場合に限って計算を進め， 結果として #オイラー・ラグランジュ方程式 は 二階の微分方程式となった。 では， Lがqの二階以上の微分(高階の微分) を含む場合もあるのか？

#解析力学_Lagrange形式編 98 諸賢の方々のコメントを 下記URLにまとめてある。 "【記号不足】qとqドットは独立？ #解析力学 の 「#オイラー・ラグランジュ方程式」 の偏微分について詳しく知りたい！！ ∬∬∬ " togetter.com/li/1818857 ※Togetter編集部イチオシを受賞しました。

#解析力学_Lagrange形式編 12 Q. #変分法 で #汎関数微分 とは A. 汎函数微分(functional derivative) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%8E… ・ふつうの微分: 関数の入力値が ちょっと変化した時の 出力値の変化. ・汎関数微分: #汎関数 の引数である入力関数が ちょっと変化した時の 出力値の変化.

#解析力学_Lagrange形式編 96 このように… 具体的な #ラグランジアン を 2変数関数としてグラフ描画し 位置qと 速度vが #独立変数 で， 各々の変数でそれぞれ Lを #偏微分 できる. 偏微分の後で v＝q̇ を代入するのが #オイラー・ラグランジュ方程式. という事をよく理解できた.

#解析力学_Lagrange形式編 95 #ラグランジアン が L(h,v)＝T－U =(1/2)mv^2－mgh の時 #オイラー・ラグランジュ方程式 は… ∂L/∂h － (d/dt){ [ ∂L/∂v ]_{vにḣを代入} }＝0 ① ∂L/∂h＝－mg ∂L/∂v＝mv より，①は －mg－(d/dt)mḣ＝0 ∴ mḧ＝－mg #ニュートンの運動方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 94 #ラグランジアン が L(h, v) ＝T－U =(1/2)mv^2－mgh である時，Lを hとvでそれぞれ #偏微分 してみよう. 位置での偏微分: ∂L/∂h＝－mg 速度での偏微分: ∂L/∂v＝mv ↑ ここで，位置と速度で それぞれ独立に偏微分できている事は 疑わしくはないはず.

#解析力学_Lagrange形式編 93 #運動エネルギー T(v)＝(1/2)mv^2 #位置エネルギー U(h)＝mgh の時， #ラグランジアン は L(h, v)=T－U =(1/2)mv^2－mgh という 「2つの独立変数 h, v に依存する2変数関数」. m＝1[kg] g＝9.8[m/s^2] とした L(h, v) のグラフ: pic.x.com/jWcXwDUo9p

#解析力学_Lagrange形式編 11 Hamilton's principle en.wikipedia.org/wiki/Hamilton'… Hamilton's formulation of the principle of stationary action. 「#最小作用の原理 を #ハミルトン が定式化したものが， #ハミルトンの原理 である」 (※要は，同じ物なのである。)

#解析力学_Lagrange形式編 92 (余談: 説明の途中， グラフ描画するにあたり 位置変数をqではなくhと書いた箇所がある点をご容赦頂きたい. これはどうしてかというと， Wolfram Alphaでグラフ描画する際に q, v という文字のペアだと グラフ描画の命令が受理されなかったため.)

#解析力学_Lagrange形式編 91 #運動エネルギー T(v)＝(1/2)mv^2 は 座標値hに依存せず 速度値vに応じた放物線となる. #位置エネルギー U(h)＝mgh は 速度値vに依存せず 座標値hに応じた1次関数となる. ∴ vとhは互いに独立で， それぞれ自由な数値をとれる. pic.x.com/rCZoPDIQn6

#解析力学_Lagrange形式編 90 同様に， #位置エネルギー U(q)＝mgq を考える際も… 「qの微分はvだから， 位置エネルギーUは 座標値qだけでなく 速度値vにも依存する！」 …などと主張しても誤りとなる. なぜなら 関数としてのq(t)ではなく 数値としてのqの値を使い議論すべきだから.