#解析力学_Lagrange形式編 118 整理: 物理的安定性を要請すると 「#ラグランジアン は q̈など2階以上の変数を含まない」と仮定でき， L=L(q,q̇)とおけて #最小作用の原理 δS=δ∫Ldt=0 に代入すると， #オイラー・ラグランジュ方程式 や #ニュートンの運動方程式 は 2階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 117 「#オストログラドスキーの定理: 整合的な修正重力理論への道のり」(本橋，2016年) jps.or.jp/books/gakkaish… 『この定理自体は #一般相対論 の知識を用いず #拘束系 の #解析力学 の手法により理解できる。 定理の面白さと最近の研究における応用を紹介』

#解析力学_Lagrange形式編 116 Q. ミハイル･#オストログラツキー 主な業績は A. #電磁気学 で有名な #ガウスの定理(#発散定理)に 初めて証明を与えた. ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BA… 1762 #ラグランジュ が発見 1813 #ガウス が再発見 1825 #グリーン が再発見 1831 オストログラツキーが再発見

#解析力学_Lagrange形式編 115 Q. 物理世界で運動方程式が2階であることの 説明を与える #オストログラドスキーの定理. ↑ 誰が証明したのか？ A. ミハイル･ #オストログラツキー (Ostrogradsky，1801～1862) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F… ロシア出身の数学者&物理学者で #変分法 などを研究.

#解析力学_Lagrange形式編 114 「変分法と変分原理」(森北出版2017柴田) p143の引用の続き 『…一方，物理学を始め さまざまな興味深い問題を支配する常微分方程式は 2階常微分方程式に属するので， 4階以上の常微分方程式に支配される 複雑な問題を掘り下げることはしない。』

#解析力学_Lagrange形式編 113 「変分法と変分原理」(森北出版2017柴田)の 3-5「高階導関数を含む変分問題」に #ラグランジアン が2階導関数を含まない件が書かれている。 p143から引用： 『2階導関数までを含む場合のオイラー方程式は， 独立変数xの4階常微分方程式となる。(続)』

#解析力学_Lagrange形式編 112 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#オストログラドスキーの定理 は 通常の物理系の #運動方程式 が 2階微分方程式として定式化される理由を 説明する，と解釈される」 #ニュートンの運動方程式 や #オイラー・ラグランジュ方程式 が 2階なのは このためなんですね.

#解析力学_Lagrange形式編 111 現実の物理世界では #エネルギー は－∞に発散せず最小値を持つ. #ハミルトニアン が下に #有界 ↓ そのような系は #線型不安定性 (#オストログラドスキー不安定性)をもたない ↓ そのような系は #ラグランジアン にq̈を含まない (#オストログラドスキーの定理)

#解析力学_Lagrange形式編 110 現実の物理世界では… ▶#運動エネルギー は－∞に発散しない！ (#絶対零度 より冷たくなれない) ▶#位置エネルギー も－∞に発散しない！ (無限に地中深くへ埋没してゆけない) よって現実の物理世界では #エネルギー は下に有界。つまり最小値を持つ。

#解析力学_Lagrange形式編 109 Q. 「おわんの最下部で静止した球が ﾒﾘﾒﾘ…とめり込んで 無限に地中深くへ埋没してゆく事は無い」 ↑ 球が超重くて おわんや地面の材質が超ﾓｯﾌﾓﾌで柔らかい場合 起こりうるのでは？ A. 惑星の中心まで埋没した時点で停まる (=位置エネルギー最小値)

#解析力学_Lagrange形式編 108 固いおわんの内部に球を放つと 曲面に沿って少し運動した後 球は底で静止する. が，その後で球がひとりでに おわんの下部へ「ﾒﾘﾒﾘ…」とめり込んで 無限に地中深くへ埋没してゆくとしたら…? 「#エネルギー に最小値が無い」とは そういうありえない現象.

#解析力学_Lagrange形式編 107 物体を冷やし続け 温度が0[K](#絶対零度)になると 構成分子の #運動エネルギー がゼロゆえ さらに冷やすことは不可能！ 「エネルギーがマイナス無限大に発散」 というのは， この状況からさらにいくらでも "冷やす" 事ができてしまう ということ(起こり得ない)

#解析力学_Lagrange形式編 106 #線型不安定性 (#オストログラドスキー不安定性) をもつ系は… ・ #エネルギー の最小状態が存在せず 物理的に不安定. ・ #ハミルトニアン が下に非有界となり 物理的に不安定. 要するに エネルギーが －∞ に発散してしまい 現実にあり得ないわけだが…

#解析力学_Lagrange形式編 105 #オストログラドスキーの定理 theorem of Ostrogradsky ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 力学変数の高階微分を #運動方程式 に含むような系では， #ハミルトニアン が「下に非有界」となり， 物理的に不安定なモードが存在するため そのような系は「物理的ではない」.

#解析力学_Lagrange形式編 104 Q. 「LはL(q,q̇)とおく事ができ q̈や高階微分変数を含まない」 と仮定できる理由 A. 「#ラグランジアン がq̈を含む系は エネルギーの最小状態が存在せず 物理的に不安定になる」事が知られている. ・ #線型不安定性 ・ #オストログラドスキー不安定性 と呼ぶ.

#解析力学_Lagrange形式編 103 「#ラグランジアン Lが q̈やそれ以上の高階微分を 変数として含む時 #オイラー・ラグランジュ方程式 は 3階以上の微分方程式になる」 ということが分かった. でも普通の #解析力学 ではL=L(q,q̇)とおき #オイラー・ラグランジュ方程式 は2階. なぜそうおける?

#解析力学_Lagrange形式編 102 #ラグランジアン L(q,q̇,…,q^(n)) が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 は Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 Lがqの2階微分まで含み L=L(q,q̇,q̈)ならば ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＋(d^2/dt^2)(∂L/∂q̈)=0 qに関する4階微分方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 101 Lがqのn階微分まで含み L(q,q̇,q̈,q^(3),q^(4),…,q^(n)) である時 #最小作用の原理 δS＝δ∫Ldt＝0 にLを代入し #変分法 で計算すると 「一般化された #オイラー・ラグランジュ方程式」 として Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 を得る.

#解析力学_Lagrange形式編 100 Q. #ラグランジアン がもし qの二階以上の微分(高階の微分) を含む場合 #オイラー・ラグランジュ方程式 はどうなる？ A. 下記PDFの12ページに計算が. wwwacty.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~acts/mechanic… オイラー・ラグランジュ方程式は 2階ではなく もっと高階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 99 ここまで， #ラグランジアン が L(q, q̇) すなわち q の一階微分までを 変数として含む場合に限って計算を進め， 結果として #オイラー・ラグランジュ方程式 は 二階の微分方程式となった。 では， Lがqの二階以上の微分(高階の微分) を含む場合もあるのか？

#解析力学_Lagrange形式編 98 諸賢の方々のコメントを 下記URLにまとめてある。 "【記号不足】qとqドットは独立？ #解析力学 の 「#オイラー・ラグランジュ方程式」 の偏微分について詳しく知りたい！！ ∬∬∬ " togetter.com/li/1818857 ※Togetter編集部イチオシを受賞しました。

#解析力学_Lagrange形式編 96 このように… 具体的な #ラグランジアン を 2変数関数としてグラフ描画し 位置qと 速度vが #独立変数 で， 各々の変数でそれぞれ Lを #偏微分 できる. 偏微分の後で v＝q̇ を代入するのが #オイラー・ラグランジュ方程式. という事をよく理解できた.

#解析力学_Lagrange形式編 95 #ラグランジアン が L(h,v)＝T－U =(1/2)mv^2－mgh の時 #オイラー・ラグランジュ方程式 は… ∂L/∂h － (d/dt){ [ ∂L/∂v ]_{vにḣを代入} }＝0 ① ∂L/∂h＝－mg ∂L/∂v＝mv より，①は －mg－(d/dt)mḣ＝0 ∴ mḧ＝－mg #ニュートンの運動方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 94 #ラグランジアン が L(h, v) ＝T－U =(1/2)mv^2－mgh である時，Lを hとvでそれぞれ #偏微分 してみよう. 位置での偏微分: ∂L/∂h＝－mg 速度での偏微分: ∂L/∂v＝mv ↑ ここで，位置と速度で それぞれ独立に偏微分できている事は 疑わしくはないはず.

#解析力学_Lagrange形式編 93 #運動エネルギー T(v)＝(1/2)mv^2 #位置エネルギー U(h)＝mgh の時， #ラグランジアン は L(h, v)=T－U =(1/2)mv^2－mgh という 「2つの独立変数 h, v に依存する2変数関数」. m＝1[kg] g＝9.8[m/s^2] とした L(h, v) のグラフ: pic.twitter.com/jWcXwDUo9p

#解析力学_Lagrange形式編 92 (余談: 説明の途中， グラフ描画するにあたり 位置変数をqではなくhと書いた箇所がある点をご容赦頂きたい. これはどうしてかというと， Wolfram Alphaでグラフ描画する際に q, v という文字のペアだと グラフ描画の命令が受理されなかったため.)

#解析力学_Lagrange形式編 91 #運動エネルギー T(v)＝(1/2)mv^2 は 座標値hに依存せず 速度値vに応じた放物線となる. #位置エネルギー U(h)＝mgh は 速度値vに依存せず 座標値hに応じた1次関数となる. ∴ vとhは互いに独立で， それぞれ自由な数値をとれる. pic.twitter.com/rCZoPDIQn6

#解析力学_Lagrange形式編 90 同様に， #位置エネルギー U(q)＝mgq を考える際も… 「qの微分はvだから， 位置エネルギーUは 座標値qだけでなく 速度値vにも依存する！」 …などと主張しても誤りとなる. なぜなら 関数としてのq(t)ではなく 数値としてのqの値を使い議論すべきだから.

#解析力学_Lagrange形式編 89 #運動エネルギー T(v)＝(1/2)mv^2 を考える際， 「vはqの微分だから， 運動エネルギー T は 速度値vだけでなく 座標値qにも依存する！」 …などと主張しても誤りとなる. なぜなら 関数としてのv(t)ではなく 数値としてのvの値を使い議論すべきだから.

#解析力学_Lagrange形式編 88 「ある1つの時刻における #運動エネルギー T(v)＝(1/2)mv^2 の値が決まると， ある1つの時刻における #位置エネルギー U(q)＝mgq の値も決まってしまう」？ …なんて事は，起こらない。 ある1つの時刻において qとvは独立だし， TとUも独立なのである。

#解析力学_Lagrange形式編 87 q, v という 2つの #独立変数 を引数に取る 具体的な #ラグランジアン L( q, v ) として もっとも簡単な例は… L(q, v) ＝ T(v) － U(q) ・ #運動エネルギー は T(v)＝(1/2)mv^2 速度のみに依存. ・ #位置エネルギー は U(q)＝mgq 位置のみに依存.

#解析力学_Lagrange形式編 85 #オイラー・ラグランジュ方程式 で q, q̇ が独立変数であるかのような 入門時に誤解を招きやすい略記法が 一般に広く使われる. 「本当は q, q̇ ではなく q, v が独立変数だよ」と言われても まだ納得できない人のために… 具体的なL(q,v)を考えてみよう.

#解析力学_Lagrange形式編 84 ∂L(q,q̇)/∂q̇ の正体は [ ∂L(q,v)/∂v ]_{ vにq̇を代入 } で 「偏微分の後で代入する」という操作なので qの偏微分と vの偏微分は独立にとれる ↑ この説明を聞いても まだ納得できない人もいるだろう. 「qの時間微分がvだから独立じゃないでしょ」と。

#解析力学_Lagrange形式編 83 #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L(q,q̇)/∂q－(d/dt){ ∂L(q,q̇)/∂q̇ }＝0 ∂L(q,q̇)/∂q̇ は ①「q̇で偏微分」でなく ②「vで偏微分した後でvにq̇を代入」 を意味する. 従って ∂/∂q̇ の正体は ∂/∂v なので qとvは独立だからそれぞれ偏微分できる.

#解析力学_Lagrange形式編 82 #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L(q,q̇)/∂q－(d/dt){ ∂L(q,q̇)/∂q̇ }＝0 誤解のもとは ズバリ【記号不足】. ∂L(q,q̇)/∂q̇ は ①「q̇で偏微分」ではなく ②「vで偏微分した後でvにq̇を代入」なのだが この②の操作を表す数学記号が 無いのである！

#解析力学_Lagrange形式編 81 #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L(q,q̇)/∂q － (d/dt){ ∂L(q,q̇)/∂q̇ } ＝ 0 ↑ 略しすぎで誤解を招く記法！ 正しくは… [ ∂L(q,v)/∂q ]_{ vにq̇を代入 } － (d/dt){ [ ∂L(q,v)/∂v ]_{ vにq̇を代入 }※ } =0 ※vで偏微分した後で vにq̇を代入.

#解析力学_Lagrange形式編 80 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ↑ #偏微分 とは 「1つの独立変数だけを動かし ほかの独立変数をぜんぶ変化させない(停めておく)」 場合の微分. q(t) の変化を停めて q̇(t) だけを変化させるなんて不可能！ q̇ で偏微分はおかしい！ そう思って当然です…

#解析力学_Lagrange形式編 79 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ↑ 下記のように疑問に思うはず: 「 q(t) が決まれば q̇(t) も決まるんだから， q と q̇ は独立変数ではあり得ない。 独立では無いのだから， q での偏微分と q̇ での偏微分とが 1つの式中に混在する事はできないはずだ！」

#解析力学_Lagrange形式編 78 #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 について， 誰もが一度はいだくであろう疑問！ それは… 「 q̇ で偏微分するっておかしいのでは？」 「 q と q̇ は独立では無いだろう！」 これは皆つまずく。 togetter.com/li/1818857

#解析力学_Lagrange形式編 77 ①#最小作用の原理 δS=0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ①を "解く" のではなく， ①で代入・変形すると ②という #微分方程式 になる. ②を "解く" のではなく， ②で代入・変形すると #ニュートンの運動方程式 になる.