#巡回群とは 64 x, y ∈#群 Gの時 Gの情報が芋づる式にわかる！ ▶#巡回部分群 の性質より ①xが #生成 する巡回群 ‹ x › はGの #部分群 ②yが生成する巡回群 ‹ y › はGの部分群 ▶#部分集合が生成系となる部分群 の性質より ③{ x, y } が #生成系 となる群 ‹ x, y › はGの部分群

#巡回群とは 63 Q. 群の #部分集合が生成系となる部分群 について学ぶと 「複数の元」と #部分群 の関係について見方が変わる。 「#群 Gがある2元x,yを要素に持つ」 という事は，何を意味する? A. 「Gは，部分集合M={x,y}が #生成系 となる 群 ‹M› を部分群に持つ」という事を意味する.

#巡回群とは 61 Q. 群の #部分集合が生成系となる部分群 って スゴく便利なのでは？ A. #群 Gの複数の元の組み合わせで さまざまな部分集合Mを作れるが… そのどのMからも 「Mが #生成系 となる群」をつくれて その群は必ずGの #部分群 になる. Gの部分群をたくさん得たい時に，超便利！

#巡回群とは 56 #群 の部分集合によって #生成 される #部分群 について mathlandscape.com/group-generate/ 呼び名が長い. 群の #部分集合が生成する部分群 群の #部分集合が生成系となる部分群 #べき積 を作る際， 部分集合から元を取り出す操作において 重複があってもよい というのがポイント.

#巡回群とは 55 ① #群 Gの1元aが #生成 する Gの #巡回部分群 ‹a› ② 群Gの部分集合Mが生成する Gの #部分群 ‹M› は， ・「Mが生成するGの部分群」 ・「Mが #生成系 となるGの部分群」 ↑ ②に名前を付けると… #部分集合が生成する部分群 #部分集合が生成系となる部分群 長っ！