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ウォリスの積分公式の逆数。 ✴︎I(n)= ∫_0→π/2_sin^nxdxとして 0〜π/2においてI(2n+2)<I(2n+1)<I(2n+2)であることと、✴︎で部分積分を使ってI(2n+2)、I(2n+1)、I(2n+2)をnで表したのち、はさみうちの原理を使って証明する。
実数の連続性周りは伝統的に「原理」が多出する． アルキメデスの原理 区間縮小法の原理 はさみうちの原理 デデキントによる切断の原理 などなど．なぜ「定理」でなく「原理」なのか． それはこれらの主張が実数の連続性の公理に非常に近いことによると思う．
返信先:@Toge_maru0916sin h/h →1 (h→0) これは公式に近いから暗記でいいけど、証明は教科書に載ってる三角形と扇形の面積を用いたはさみうちの原理や、できるならマクローリン展開を使うのが良いかもですね
はさみうちの原理 ３つの数列 {𝑎ₙ}，{𝑏ₙ}，{𝑐ₙ} があって，すべての自然数 𝑛 について 𝑎ₙ≦𝑏ₙ≦𝑐ₙ が成り立つとする。数列{𝑎ₙ}と数列{𝑐ₙ}がともに𝛼に収束するならば，数列{𝑏ₙ}も𝛼に収束する。
本問のポイントはsinxの不等式を自分で出せるかどうかです。問題が難しいというよりも、その隠れた不等式を出せたかどうかです。はさみうちの原理に持ち込みたい→たりない不等式を自分で出さないといけない、という考え方になります。sinx≤xは知っておきましょう。 大阪公立大学 2024 理系 pic.twitter.com/Hw2qcGnkGF
返信先:@Rakumon_jplim(n→∞)e/n!=0 なので、はさみうちの原理より lim(n→∞)an=0 となる。 よって lim(n→∞)(1/e){(-1)^n}an=0 となるので lim(n→∞)Σ(k=2→n){(-1)^k}/k! =1/e となる。
返信先:@Rakumon_jpよって lim(n→∞)Σ(k=2→n){(-1)^k}/k! =lim(n→∞)(1/e){(-1)^n}anとなる。 ここでlim(n→∞)anを求める。 (2)より0≦an≦e/n!であり、lim(n→∞)e/n!=0なのではさみうちの原理より、lim(n→∞)an=0となる。 よってlim(n→∞)(1/e){(-1)^n}an=0となるので、lim(n→∞)Σ(k=2→n){(-1)^k}/k!=0
阪大理系数学24年[１]をupしました。 中間値の定理を用いて方程式の解の存在を示し、はさみうちの原理を用いて極限を求める典型問題です。 #大学入試 #阪大 #数学 kgkrkgk.com/math/gnm24os1.…
いまa>0において二次不等式ax²+bx+c>0の解はこの方程式の解をα<βとすればx<α,x>βが不等式の解。 しかし重解ならばα=βの場合x<α,x>αよりx≠αになる。 さらにa<0の場合はよりタチが悪く α<x<βから重解の場合α<x<αとなり(解析学でいうはさみうちの原理)x=αとなる 不等式なのに解が一つになってしまった。
こんばんは、赤筆先生です🖌️ 動画を投稿しました！ 今回は数列の極限の定義、ε-N論法についてのお話です。 高校数学の極限の話からε-N論法を構成し、使い方の例の紹介＋はさみうちの原理の証明をしました！ これに慣れるのが大学数学の第一歩って感じがしますね😌 youtu.be/Rnal9oLzih8
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