返信先:@I_______nuコーシー完備(任意のコーシー列は収束する)+アルキメデス的⇒順序完備(空でない上に有界な集合は上限をもつ)が知られています。 (コーシー列の方の)完備化で作ったℝはコーシー完備かつアルキメデス的なので、ここから従います。 詳しくは齋藤正彦『数学の基礎』を参照してみてください。

解析学を始めるために有理数体を完備化しよう

有理数の完備化によって実数を定義したときに、ℝの上に有界な部分集合が上限を持つのってなんで？

朝から測度の完備化の定義に驚くなど！(電車)

やっぱりQの完備化としての性質は実数の「定理」であって「定義」にするとやなんだよなぁ

Euclid距離による完備化って言っていただけませんか？

返信先:@otima344とりあえずB4終わるまでにBourbaki読んで，それで思ったことをある程度記事にまとめてみようかなとは思う それで解決しなかったらもう実数は切断で定義して，そこから完備化を導入することにする

そうするか，実数の定義は切断によって行われていて，それから完備化という操作が定義されるという感じで ただ，そうするとQの絶対値による完備化が実数になるというのはあんまり自明じゃなくなる(やってみればそりゃそうなんだけども)

返信先:@study_unnaturalどっちが？ 個人的に完備化の定義自体に思想として実数の存在が暗黙の内に入っていてキモいって感じはしてる

面倒なので，切断で先に実数を構成してから完備化という操作を定義した方がいいんじゃないかと思っていたりする

完備化の発想が自然←分かる 完備化で実数を構成する←キモい

返信先:@otima344それはそうなのだけれど，完備化の思想の裏に実数の存在を暗黙の了解として認めているように見えるので気持ちが悪い

返信先:@Cru_Khanate完備化ならコーシー列全体を差が0に収束する同値関係で割るっていうのは割と自然な考えな気がする。 極限を考え始めるまでは数として使うのは代数的数だけだけど高校で代数的数を説明するくらいなら初めから実数と複素数を使えばよくねって小さく定義を書いて使ってるだけだと思う。

完備化する派閥ですが，まぁ何がきもいかは一回完備化をやったことある人なら分かるんじゃないかなみたいな

完備化は拡張で、商写像は制限って感じか。

イデアルによる完備化では保ってくれる！

返信先:@kara1216_最近聞いたのだと、結び目は結び目群で決まるけど、結び目群の副有限完備化でも決まるのか？みたいな観点でアレキサンダー多項式とかを調べる文脈があるらしいのですが、 その操作の幾何的な意味はなんぞ？とかに興味があります。

返信先:@chiee007今見た。交換法則は群や体などを定義するときには公理だけど、一般には実数は具体的な性質を満たす演算可能な集合が体の性質を満たす具体例と思うべきかな。 例えば、実数の定義を整数の商集合である有理数の完備化とするときに整数の構築方法によっては公理と言えるかもしれない。

返信先:@MisoSoupMinis割と完備化って操作は思想だけ同じ... (Qを用意して, そういう操作をすると実数が得られる)

返信先:@NOCO_1002測度のsigma-拡張の一意性と完備化の一意性とって本質的に違う話題？

実数の「パラドックス」 ・実数は「枚挙可能稠密の完備化」として得られる ・実数の濃度は「非可算」

ZFC-Inf では ・稠密代数が仮に「無限集合だとすれば」その完備化は非可算が示せる。

紫外完備化できませんでした論文結構お気に入りなんだよね もっと深めてD取りたい

リーマン過積分な関数の空間を完備化しても積分で捉えられるという

返信先:@skm_sugawara2009年に某所で講演後にAC氏と話し込んでいたら（昼休み）気づいたら誰もいなくなっていたので二人で食事に行ったことがありました。その際に以前から気になっていた「なぜZからQや完備化を経由せずに直接Rを構成しようと思ったのですか？」と尋ねた際の答えがこれです。 x.com/mosaico/status…

「pを素数とし、Zのイデアルの降鎖列(p^nZ)_{n∈N}に関する完備化をZ_pと置き、Z_pの商体をQ_pと置く。Q_pの元を……」 「実数で通じます」

Polish space という単語を大量に見た後に Polishing という単語を別の記事で見かけて、完備化か何かするんか…？と考えてしまった

完備化のせいで面倒

完備化という手続きを知っている状態では、上の定義を見たとき実数が有理数の完備化であることは自明だな。

tightnessにアクセスするには位相的に良くないといけないから必要そうではある(完備化すればいいだけなはずだからそんなに影響はないけど気になった)

返信先:@math095562いえいえ、こちらこそ変な書き方をしてしまってすみません。 今のところ可分距離空間Sを完備化したらpolishになり、polishはborel spaceなので[0,1]⊂Rに送ってやることができて、ここでは特性函数の議論をし、Sに引き戻してくる、みたいなことをぼんやり思い描いてます。

けどなんとなく、環を経由すると(やっぱり二重双対を使うときに)完備性が出てくるから完備化したものしか捕まらないというのがちょっと正しそうに見えてくる

空間Xの完備化(?) X→X^がとれるとすると？ X →Fun(RFib(X),S) →Fun(Sp(RFib(X)),Sp(S)) からX^→Fun(Sp(RFib(X)),Sp(S)) がとれてSp(X^)→Fun(Sp(RFib(X)),Sp(S))がとれそう？ このループ空間が……いやそれも違う？

返信先:@nu_math_otogeとてもじゃないけどCauchy列を用いた有理数の完備化とか無理でしょう…

返信先:@BoufrawFrodo2> コーシー列のほうが論理が綺麗 それは聞きますね。それに有理数→実数の拡張だけじゃなくて、一般的な完備化の話ができるのはデデキントの切断と違うとも。 ただまあ、自然数ペア→整数、整数ペア→有理数とか、そこらへんの話から大分浮いちゃうので、ざっくり説明したい時どうかな、と。

可算稠密を完備化すると非可算→「へーそうなんだ」 連続体仮説は独立→「へーそうなんだ」 これらの結果をそのまま受け入れるんだ。へーそうなんだ。

現代でコーシーの完備化なりデデキントの切断なりをするのは実数を自然数(とその集合)に帰着させるのがデファクトになったからなんだろうけど、当時は極限操作に関するヤバイことが色々わかってきて基礎をきちんとしたかったという側面が多分あって……みたいな話の方が一般受けはしそう

デデキントカットで作った（たぶんコーシー完備化でも良い）実数は空集合を元として持たず、さらに上部構造と交わりを持たないようにできるはず（フォン・ノイマン自然数が有限ステップでは作りきれず、ゆえに「大量の有理数の集合」を持てないから？）だからZFC内の超準解析はこれで良いと信じている

豊穣homotopy完備化の論文を書いてて、sSet-Catを考える時に、sSetに通常はQuillen model structure入れるけれども、それだと上手くいかなくてJoyal model structureなら上手く行く場面がある 其処で論文にJoyal model structureの復習を書こうとする次の２点が気になった 続