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返信先:@RabbitBogen他1人専門家は「完備代数を使う」「つまり≡」で考えると明言してるから、その意味での問題は起きません。 勝手に完備代数(実数)という説明もなしに 0.99...=1 とやると 数学的には嘘ですよ。
返信先:@RabbitBogen他1人数学に論理から離れた「普通」を持ち込みますか? ちなみに、現代数学では「完備代数を使う」って明言してるので、その意味での混乱は確かに起きません。 ただ「普通」だと思ってるので「超関数」界隈で「困ってます」ね。
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ところで、第1の方法による構成的方法でも、デデキントの順序完備化というのと、カントルの完備化というとがある。これも、ふつうに多いのはデデキントの方だが、デデキントよりもカントルの方が、方法論一般としては、数学の諸分野に適用場面が多いので、数学者の中にはカントルを好む人もある。
大学数学と 1=0.99... という話に絡むもの。 同値関係・同値類・同一視・代数指定・関数計算とwell-defined。 収束(ε-N論法)・稠密・完備・連続。 数列空間と様相論理(約積)。 無限10進展開。無限小解析。超関数。
大学数学では 数列の収束先を一致させる事によって「無理数」を作り出す。 →集合論による「完備代数による無理数の正当化」 有理数に無理数はない。完備化によって無理数が「追加される(ように見える)」。 有理数の完備化は「単に無理数を追加した代数」ではない。
Q. 0.99...は1に届かないかもしれないが、 0.99...=1 と考えてもいいじゃないか。 A. その考え方を「厳密にしたのが」 1>0.99...≡1(収束)。 「完備」の本質は「収束先の一致」。 完備代数では0.99...=1。なぜなら収束先はともに1だから。0.99... は1に漸近し「1にはならない」事もまた事実。
返信先:@I_______nuコーシー完備(任意のコーシー列は収束する)+アルキメデス的⇒順序完備(空でない上に有界な集合は上限をもつ)が知られています。 (コーシー列の方の)完備化で作ったℝはコーシー完備かつアルキメデス的なので、ここから従います。 詳しくは齋藤正彦『数学の基礎』を参照してみてください。
収束の定義(ε-N論法)を知っていても 完備代数の構築を知っていても 全体像が俯瞰できていなければ、トンチンカンにしかならない。 部分的に大学数学を持ってきて、最終的に「頭の中の連続性の直感」に帰結させてしまっては 大学数学を持ち出すだけ、たちがわるい。
😝 LoL >Banach 空間の定義を言ってみろと言われたのだ完備ノルム空間だが... と言いながら驚いて入国審査官を見つめると笑いながら自分は昔数学の大学院に行っていたのだと言われた.なぜ数学の大学院に行っていた人が入国審査官をやっているのかはわからなかった #入国審査 ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/immi…
0.99... = 1 ってなんだっけ? 大学数学を使うと x = 1 になるの? ε-N論法で xが1になるの? 「収束等値であれば 0.99...→1だから 0.99...=1」は分かるよ? 大学数学では「収束等値」を「同値関係」で定義して、「収束同値類」で考える(完備解釈)から [0.99...]=[1]。
== x =0.99...、10x=9.99...。 辺々引いて 9x=9。 == 理想 == 0.99... に展開される x を取る。 10x は9.99... に展開される。 10x-x は 8.99... にしか展開されない。 == 現実
思い込みによる「嘘」。 完備脳は「証明中に完備を勝手に想定する」。 完備を明示的に使っても「完備を使うのが『当然』」と思っている。 その「勝手な想定」や「当然」はどこから来ましたか? そういう「勝手」をしない為に「大学数学は論理に従っている」のだけれど。
この変更された定義は数学的にも自然なものになっている。実際、a が b を割り切るとき a ⪯ b とする ℤ_{≥0} 上の半順序を考えるとこの半順序は完備束となり、gcd は交わり、lcm は結びのことである。
数学的に無限大とか完備性とかを実証科学である物理学へ安易に持ち込む前に、ビッグクエスチョンとして研究者や物理学の皆さんに問いたいと思います。物理学を含む自然科学において、これまで無限大もしくは無限小のものは実験や観測で実証的に確認されたことはありますか?無いと私は考えています。
ヒルベルト空間とは~定義・具体例・基本的性質~ mathlandscape.com/hilbert/ #数学 確率空間が完備で内積を持つヒルベルト空間であるかどうかが重要なんじゃないかな。