返信先:@waga_integral楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oのなす有限生成アーベル群の階数（ランク）が、EのL関数 L(E, s) のs=1における零点の位数と一致する。

質問 楕円曲線 y^2+y=x^3-7x+6 の有理点を全て求める方法、結果だけでも。教えてほしいです、知りたいです。 ウルフラムアルファとmagmaの結果が違って、不思議に感じました！

返信先:@t88897937768いやえっとそれは楕円曲線ですね， xの次数が3次なので… xの次数が4次の場合のみ，単位元として働く有理点が必要になります， 分かりづらくてごめんなさい…

返信先:@Kaimochi_920Fermatの最終定理n=4のときに出てくる楕円曲線y^2=x^3-xが反例だと思います。実際、この楕円曲線の有理点は(0,0), (±1,0)しかありませんが、これらは単位元として働かないです。

返信先:@t88897937768接線の傾きが無限大となり新たな有理点が導出できない) で今回の有理点(x,y)=(2,4)は，この有理点から別の有理点(242/1241,±59356/73219)を導出することができます (与式)の両辺にx-3をかけると Y²=(4次式)となり，しかも(2,-4)を持つので楕円曲線といえる…ってことだと思います …違うかも……

返信先:@t88897937768“単位元として働く有理点を少なくとも1つ持つ”です， 単位元として働くっていうのは， そもそも楕円曲線は有理点Pから別の有理点2Pや3Pを定義･導出することができることがあります， このような有理点Pを単位元として働く有理点，といった(気が…する…) (単位元として働かない有理点の場合，

返信先:@t88897937768(ある有理点Pを定めたとき，“2P”が一意に定義できれば(加法P+P=2Pが定義できれば) 楕円曲線の有理点の演算は群構造を持つ，ハズです…) 楕円曲線の定義は Y²=(重解を持たない3次式)です， ですがY²=(重解を持たない4次式)も条件付きで楕円曲線となります この条件付きというのが，

返信先:@t88897937768a=1,b=2,k=2の場合は 単位元として働く有理点として (2,±4),(242/1241,±59356/73219), (6070036562/2054457161,±502757193374236/19848110632421)が存在したので楕円曲線と言える…と思います，

返信先:@sakGrothendieck有理点を調べるのは数論っぽいという立場だと、楕円曲線(に限らずアーベル多様体も)がまず群構造を持つためには無限遠点がないとダメとかがあります。