そんな少し思い出のある論文だったので，出版のタイミングで少し長めのお話でした． ちなみに，Z係数局所系は超平面配置の被覆空間のホモロジー群との関連をモチベーションに調べた記憶がありますが，これについてはLiu--Liuによる二重被覆とZ局所系のホモロジー群の間の関係が述べられています↓

この個数は組合せ的に記述できることが従います．そこで「ということは複素化実超平面配置に限らず，一般の複素超平面配置で同じ結果が得られるのでは？」と思いConjecture 1.4を書きました． 当時はZ局所系がどれくらい興味を持たれるかわからないし，de Rhamコホモロジー等との対応もないから，

複素化実超平面配置の補集合の局所系係数コホモロジーは実構造の情報(=chamberの隣接関係)を用いて計算できることが知られており，CDOの消滅定理も復元できることが知られています．また実構造を用いた計算方法の強みは，(双対定理，同型定理などを経由することなく)セル分割に基づく計算

中でも2003年にCohen--Dimca--Orlikにより与えられた局所系に対する条件が強力なものでした(CDO条件と名付けました)．この論文(worldscientific.com/doi/10.1142/S0…)では複素化実超平面配置の補集合に対しZ係数の局所系係数コホモロジー群を計算し，CDO条件のもとで，消滅定理の類似が成り立つことを示しました．

内容はタイトル通り，複素超平面配置補集合のZ-局所系係数コホモロジーについてです．これまで複素係数の局所系係数コホモロジー群は盛んに研究されており，中心的な定理の一つに局所系がジェネリックな時に中間次元にだけコホモロジーが集まり他次元で消える「消滅定理」が知られていました．

Liu--Maxim--Wangによる論文"Cohomology of ℤ-Local Systems on Complex Hyperplane Arrangement Complements"がIMRNから出版されたようです． 実超平面配置に対してZ局所系を調べた論文(arxiv.org/abs/2209.02237)で自分が「予想」として述べたことが解決されました． academic.oup.com/imrn/advance-a…

「ホモトピー群の元として自明になる」のは、本当に自明なケースだけで、Salvetti複体のセルで内部を埋められるケースに対応します。難しいのは「ホモトピー群の元として消えていない」ケースです。実は超平面配置のホモトピー群の非自明な元の検出は、簡単ではないことが以前から知られています。

中心的実超平面配置と単位球面を考えると、もちろん球面は超平面にぶつかってしまいますが、「交線付近を複素方向にずらす」ことで複素化補集合に埋め込むことができます。こういうタイプの球面については、ホモトピー群の元として自明かどうかを簡単に判定できるようになりました。

プレプリントを投函。3月にSLMathで話した内容です。個人的にはすごく面白いと思っています。超平面配置の補集合のホモトピー群についてです。これまで「この球面が非自明な元」という明示的な構成はほとんどありませんでした（服部先生のgeneric配置の記述がほぼ唯一の例外）。

ハウスホルダー変換を使えば上三角行列にもできるが対角線より1つ下の成分までを残すことで相似変換にしてもHessenberg行列のままにできるので固有値を保つことができる Hessenberg行列はHessenberg多様体に一般化され、超平面配置やグラフ理論との関連も研究されていて面白い ms.u-tokyo.ac.jp/video/danwakai…

昨日はグラフの彩色多項式や超平面配置(直線配置)の特性多項式の話をしました．たくさんコメントもいただいてありがたい限りです．ノート，補足事項を共有しておきました． #osmh24

グラフと超平面配置の間に似た性質があるのがとても面白かった #osmh24

超平面配置はおもろい、わかる

6月に千歳で開催される研究集会「特異点論及びその周辺」にて講演させていただきます． japanese-singularities.net/workshop/ws202… 4月にarXivにアップした超平面配置のMilnor fiber boundaryについて講演する予定です

今日はこの講演を聞きしました。超平面配置が大まかにどんな分野か紹介して頂きました。スライドや話の構成を工夫して下さっていて、こういう発表ができるようになりたいと思いました。

前に菅原さんから私が考えてる配置空間がある超平面配置だから基本群がpure braid groupになるって話を聞いたな

第8回ミニトポロジーセミナーの参加登録を開始しました！ 「超平面配置のトポロジー」というタイトルでご講演いただけるようです🎉🎉 日程は5/10(金)のお昼です！ sites.google.com/g.ecc.u-tokyo.…