線形代数の知識があれば、リー代数の定義さえ確認すれば理解できるのでぜひどうぞ。なるべく新しい概念を使わず証明しました。 Classification of 3-dimentional Lie algebra. 3次元リー代数の分類 mathlog.info/articles/GBfy4…… #Mathlog #リー代数 #線形代数 #liealgebra

＜#物理数学の参考書＞ SGCライブラリ83 「共形場理論 現代数理物理の基礎として」(2011伊藤) 前書きより: 『本書を読むための予備知識としては ･#場の理論 の入門的事項 ･#リー代数 ･#リー群 等の知識を仮定している。また ･#複素関数 ･#楕円関数 ･#特殊関数 等の知識も用いる。』

＜#代数学の参考書＞ 「物理学におけるリー代数　原著第2版」 (ジョージァイ2010) 裏表紙より: 『#簡単 な #量子力学系 から #アイソスピン，そして SU(5) や SO(10) や #例外群 に基づく #大統一理論 に至るまで， #リー代数 とその #表現論 を #説明 してゆく #手際 は #見事 である。』

＜#代数学の参考書＞ SGCライブラリ 「物理のためのリー群とリー代数」(2008) 前書きより: 『#量子力学 や #素粒子論 への #応用 を念頭におくならば SU(2)やSU(3)といった #群 の #個別 の解説を避ける事はできない. 一方で将来の学習に備えるには #リー群 や #リー代数 の #一般論 も…』

#群論の知識 #ポアンカレ群 (Poincaré group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D… #ポアンカレ変換 のなす #変換群. 10次元の非コンパクト #リー群. ポアンカレ変換とは #ミンコフスキー空間 における等長変換で 並進と #ローレンツ変換 からなる. ポアンカレ群の #リー代数 が #ポアンカレ代数.

#群論の知識 #リー代数 の #表現 (representation of a Lie algebra) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… ・リー代数を #行列 の集合(#ベクトル空間 の #準同型) として記述する方法. ・大まかに言えば，リー代数の表現は #リー群 の表現の微分した形.

＜#代数学の参考書＞ SGCライブラリ 「物理のためのリー群とリー代数」(2008) 『#物理学 の 理論展開に求められる #数学的素養 の中で #連続群 に関係する部分は多い. 時代の趨勢に対応し #個別 の重要な #群 の解説と #リー群，#リー代数 の #一般論 との両立を図った #現代的 な教科書』

#群論の知識 #リー代数 (Lie algebra) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… ・ #リー環 とも. 古い文献では「無限小群」(infinitesimal group)と呼ばれた. ・「リー括弧積」(Lie bracket)と呼ばれる 非結合的な乗法 [x, y] を備えた #ベクトル空間.

#群論の知識 #リー群 の #表現 (representation of a Lie group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… ・連続対称性の研究で重要. ・物理学の文献では， リー群の表現と #リー代数 の表現との間の違いを 強調しないこともある.

まだまだ編集途中だけど~ 「multiplicatively cogredient」のときの分類定理がよくわからないなぁ。。。 Mathlogで記事を投稿したよ。 3次元リー代数の分類 mathlog.info/articles/GBfy4… #Mathlog ##リー代数 ##liealgebra

＜#代数学の参考書＞ 「リー代数と素粒子論」 (裳華房1983竹内) 前書きより 『過去10年間に #大統一理論 で #リー代数 が 用いられるようになって 事情が一変した. 10年前は #物理学者 が #ウェイト について語る という事は無かったが 今はその専門では多くの場合 ウェイトが用いられる.』

＜#代数学の参考書＞ 「リー代数と素粒子論」 (裳華房1983竹内) 前書きより: 『#リー代数 は #角運動量 の例からもわかるように #物理学者 には なじみの深い概念。 このためか リー代数がリー代数として 意識されることがかえって少なく #リー群 と混同して 考えられることが多かった。』

#リー群→ある #リー環→ある #リー体→無い #リー代数→ある #位相群→ある #位相環→ある ① #位相体→ある ② #位相代数→ある ③ #連続群→ある #連続環→言わない #連続体→ある ①② ポントリャーギン「連続群論」 ③ ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… ･位相線型環＝位相多元環，位相代数

#解析力学_Hamilton形式編 59 ①#歪対称性 ②#分配則(#ライプニッツ則) ③#ヤコビの恒等式 上記3つの性質を #公理 に持つ #代数系 は #ポアソン括弧 以外にも作れる. 例えば #軌道角運動量 ベクトルが満たす 「#角運動量 の代数」が挙げられ， #リー代数 の最も簡単な例となっている.

＜#物理数学の参考書＞ SGCライブラリ83 「共形場理論 現代数理物理の基礎として」(2011伊藤) 前書きより: 『本書を読むための予備知識としては ･#場の理論 の入門的事項 ･#リー代数 ･#リー群 等の知識を仮定している。また ･#複素関数 ･#楕円関数 ･#特殊関数 等の知識も用いる。』

#リー代数 er 「リー環に罹患！」 #雪江代数 er 「雪江本で行き得(ﾕｷｴ)る！！」 #モノイド er 「深さ300ｍもの井戸！！！」 #代数幾何学 er 「 "ハーツホーン" の正しい表記はハーツ㍂！！」 #代トポ er 「ドラムをたたいてド・ラーム・コホモロジー！！！」

＜#代数学の参考書＞ 「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988) p29より引用: 『いまの #代数学 では 色々な #環 の事を #代数(algebra)ともよぶ. ･#結合代数 ･#可換代数 ･#リー代数 という具合にである. つまり 　「#代数学とは環の研究である」 という #テーゼ が 立っているわけだ.』

＜#代数学の参考書＞ 「群と表現」(岩波書店1996吉川) 前書きより: 『8章以下では 一般の #連続群 について それぞれの #群 の #リー代数 の #表現 を求める という手続きをとる。 #リー群 または リー代数の表現は #数理物理学 はもちろん #原子核･#素粒子物理学 にも 広く #応用…』

＜#代数学の参考書＞ 「群と表現」(1996吉川) 前書きより: 『物体を ある #軸 の周りに #有限角度 だけ #回転 する事は， その軸の周りの #微小角度回転 の #積み重ね で表せる. その #微小回転 を表わすのが #リー代数 である. リー代数の #表現 を求め， 有限角度の #回転群 の表現を…』

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「弦とブレーン」(朝倉書店2017細道) p114より引用: 『#ゲージ場 の #ゲージ不変 な #運動項 ℒ_YM に基づく #ゲージ場の理論 は #ヤン・ミルズ理論 と呼ばれ， 任意の #コンパクトリー群 について 定義でき， ゲージ場は 対応する #リー代数 に 値をとる。』

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原) p1より引用: 『#量子力学 や #素粒子物理学 では さまざまな #対称性 を表わす #リー代数 が活躍するが， #共形場理論 においては #ビラソロ代数 が より「#支配的」な役割を果たす と言ってもよいであろう。』

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原) hanmoto.com/bd/isbn/978400… 前書きより引用: 『#ビラソロ代数 は， #弦理論 の #研究 を通じ 新しく #発見 された #リー代数. 2次元の #臨界現象 は #共形場 の #理論 によって ほぼ #完全に 解かれた と言ってよいであろう.』

＜#代数学の参考書＞ 「3次元回転 パラメータ計算とリー代数による最適化」 (共立出版2019金谷) 前書きより: 『#3次元回転 全体は #群 を成し #回転群 SO(3)と記される. #微小回転 は， #リー代数 と呼ばれる #線形空間 を作る. 本書では #最適化 の数値探索法として リー代数の方法を…』