【今日の数学者】今年2月15日に48歳で亡くなられた数学者 二コラ・ベルジュロン先生🇫🇷の追悼特集が #PublmathIHES 誌から出版されました.💐 #数論 #幾何学 42歳のとき #高木レクチャー 招待講演のため来日, 同年8月には #ICM2018 Rioで招待講演. 翌年 #PublmathIHES 誌の編集長に就任されています.

#黄金比はなぜ特別な数なのか 55 数論，整数論の中で ・黄金比 φ とフィボナッチ数 ・連分数 ・実数の有理数近似，ディオファントス近似 などの世界は実はとても奥深い。 ぜひ下記の書籍などで 調べてみることをお勧めしたい。 「連分数のふしぎ」 amazon.co.jp/dp/4062577704/ #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 54 「黄金比φは もっとも有理数近似しにくい数だ」 という事の意味が これでわかった。 整数比によって"良い近似"がしにくい数 という意味で「単純ではない」比なのだ。 ゆえにφは，デザイン的にも 「絶妙なバランスの割合」として 活用されている。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 53 実数xを #正則連分数 に展開する時 分数の入れ子を途中で打ち切り★ 有理数近似を得る。 が，分母の整数部分が1だと★の正当性が弱い。 黄金比φは「分母が1」が無限に入れ子で 打ちきりの正当性がいつまでも来ず 良い有理数近似が永遠にできない。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 52 #黄金比 を #正則連分数 に展開し 「分母の整数だけを並べて書く」記法で表示すると… ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3… φ ＝(1＋√5)/2 ＝1＋1/( 1＋1/( 1＋… ) ) ＝[ 1; 1, 1, 1, 1, … ] (※1が無限に続く) 1より大きい数が いつまでも現れない。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 51 #黄金比 φ＝(1＋√5)/2 は #正則連分数 に連分数展開すると φ＝1＋1/( 1＋1/( 1＋… ) ) のように 全ての 「入れ子になった分数の分母の整数部分」が 1ばかりになる，という性質を持つ。 おかげで，どのタイミングでも 小数部分を切り捨てづらい。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 50 連分数展開した時 「すべての分母の整数部分が1」 となるような実数xは x ＝ 1 ＋ 1 / x を満たす。 両辺にxをかけて x^2－x－1＝0 ∴ x ＝ ( 1 ± √5 ) / 2 x＞0という条件を付けると x ＝ ( 1 ＋ √5 ) / 2 なんと…。 これは #黄金比 φである。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 49 連分数展開した時 「すべての分母の整数部分が1」① となるような実数xは… x ＝ 1 ＋ 1 / (1 ＋ 1/(1 ＋ …))　② のような形をしているが よく見ると ①の第2項の分母は x そのものである。 よって x ＝ 1 ＋ 1 / x　③ ③の解が①を満たすはず。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 48 「連分数展開で 小数部分をカット(打ち切り)する 良いタイミングは，整数部分≠1」 ↓ そのタイミングが いつまでも訪れないような数はある？ ↓ 実際に作ればよい。 連分数展開した時 「すべての分母の整数部分が1」 となるような実数を考える。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 47 「連分数展開で 小数部分をカット(打ち切り)する 良いタイミングを見計らうには 整数部分≠1となればよい」 ↑ もし， この条件がいつまでも満たされなかったら…？ 入れ子を打ち切るタイミングが 永遠に訪れなかったら？ そのような数はあるのか？ #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 46 連分数展開 x ＝ 1 ＋ 1/(a_1 ＋ b_1) b_1 ＝ 1/(a_2 ＋ b_2) … で 小数部分をカット(打ち切り)する 良いタイミングを見計らうには 整数部分a_n≠1 (n≧1)となればよい。 a_n≧2なるnが見つかれば そこで入れ子を打ち切ると 良い有理数近似になる。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 45 連分数展開 x=1+1/(a_1+b_1) で a_1=1だとする。 この場合 小数部分 b_1 をカット(打ち切り)するのは 得策でない。 比 b_1/a_1 が十分に小さくないので 微小量として打ち切れないのだ。 a_n＞1 (n≧1)なるa_nを得るまで 入れ子を作り続けるべき。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 44 連分数展開の 整数部分a＋小数部分b に分解する操作で aの大きさは 「その箇所での打ち切りのしやすさ」を表す。 aが大きければ そこで小数部をカットしてよい。 逆に，aが1など小さい値なら そこで小数部をカットすると近似が悪くなるリスク有り。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 43 連分数展開で良い近似値を得るために 「分母の入れ子を どこで打ち切ったらよいか？」 を判断する指標は… 整数部分a_n≧1 小数部分0≦b_n＜1として 【比 b_n/a_n の小ささ】 または b_n のことを考えず，単に 【a_n の大きさ】だけを見ればよい。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 42 連分数展開のもう1つの例… x＝1＋1/(1＋0.99) の第2項の分母は 「整数部分：小数部分」の比が ほとんど1:1である(51:49)。 小数部分 0.99 を切り捨てると， 分母のうち49％をも占める値がカットされ 近似の誤差が大きくなる。 悪い近似である。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 41 連分数展開の例として x ＝ 1 ＋ 1/(1000＋0.5) という実数がある場合 この第2項の分母は 「整数部分：小数部分」の比が2000もある。 この比が大きければ， 「(分母の)小数部分の切り捨て」を正当化しやすく， その切り捨ては良い近似だ。と言える。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 40 「10進表示の桁を途中で打ち切る」 という方法は 打ちきり前後の項の比は10。 「#正則連分数 に展開し 分母の入れ子を途中で打ち切る」 という方法は 整数部分 a_n ≧ 1 小数部分 0≦ b_n ＜1より 打ちきり前後の項の比が いくらでも大きくなれる！ #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 39 連分数展開で，分母を 整数部分 a_n と 小数部分 b_n に分解する際の 大きさの比は？ a_n ≧ 1 0≦ b_n ＜1 ここで，整数値 a_n に 上限が無いことがポイント！ 比 | b_n / a_n | は いくらでも小さくなり得るのだ。 打ち切りを正当化しやすい！ #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 38 連分数展開で 整数部分と小数部分に分解する漸化式 1/b_{n-1}＝a_n＋b_n において， 整数a_nは 1 以上 実数b_nは 0≦b_n＜1 b_n を「微小量」として無視し 強制的に0とおく(切り捨てる)近似により， 「分母の入れ子を作る操作」がストップする。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 37 #正則連分数 に展開する時， Σで表せる級数和の形ではなく 漸化式により再帰的に構造が決まる。 この連分数展開の 分母の入れ子操作の打ち切りの前後で 大小を比較できる量は… 「整数部分と小数部分に分解」という部分。 (1/b_n)＝a_{n+1}＋b_{n+1} #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 36 有理数近似が 「10進表示の桁の打ち切り」という方法だと 打ちきり前後の項の比★は 平均的に約10倍。 「10分の1の大きさの後続桁を捨てる」ということ。 では 「#正則連分数 に展開し 分母の入れ子を途中で打ち切り」 という方法だと比★はいくつ？ #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 35 実数 π＝3.1415… を 10^n の級数和の形で 「10進表示の桁ごとに分解」してみよう。 π=Σ{n=0→∞} a_n・10^{-n} π≒3 π≒3.1 π≒3.14 … 「10進表示の打ち切り」という近似で 打ち切る前後の項の比は (a_n・10^{-n})/(a_{n+1}・10^{-n-1}) ≒1/10 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 34 「テイラー展開の 2次微小量を無視する近似」は 切り捨ての前後の項の比はO(x)。 では 「πの10進表示を ある桁で打ち切って作った有理数近似」 の場合， 切り捨ての前後の項の比は大体いくつ？ π＝3.1415… π≒3 π≒3.1 π≒3.14 答えは「10」。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 33 e^x=1+x+x^2 / 2!+x^3 / 3!+… |x|≪1の時 e^x≒1+x 切り捨てる前後(直前と直後)に注目する。 ギリギリ切り捨てなかった量はx ギリギリ切り捨てた量はx^2 / 2! これらの比はO(x)。 切り捨ての前後で次数O(x)の比が生まれ 切り捨てが正当化される。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 32 近似とは ①大きいもの＋②小さいもの |①|≫|②| 例: #テイラー展開 する時 e^x=1+x+x^2 / 2!+x^3 / 3!+… |x|≪1なら二次の微小量は小さいので ①(1＋x)=大きい量 ②(x^2 / 2!＋x^3 / 3!＋…)=小さい量 ②を切り捨て e^x≒1+x という近似が成立。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 31 近似の「精度の良さ」を追究するために まず近似とはそもそも何なのか 考えてみよう。 近似とは，あるものを (①大きいもの)＋(②小さいもの) に分離し ②を切り捨てること。 ①と②の大小がかけ離れていればいるほど 良い近似となる。 |①|≫|②| #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 30 「実数を有理数近似する際， 10進表示の打ち切りよりも 連分数展開の打ち切りのほうが 近似の精度が良い」 ↑ なぜそうなるのか？ どういう近似をすれば 精度が上がるのだろうか？ そして 「#黄金比 φは最も有理数近似しづらい数」 なのはなぜか？ #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 29 ①10進表示を単純に打ち切って作った有理数近似 31 / 10 ＝ 3.1 314 / 100 ＝ 3.14 ②連分数展開で作った有理数近似 22 / 7 ＝ 3.14… 333 / 106 ＝ 3.1415… ①より②のほうが 近似の精度が良い。 より効率よく， より正確に実数を表せる。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 28 π＝3.14159265… ①10進表示をある桁で打ち切り 10のべき乗で割って作った有理数近似 π≒3/1=3 π≒31/10=3.1 π≒314/100=157/50=3.14 ②連分数展開で作った有理数近似 π≒[3;7]=22/7=3.142857… π≒[3;7,15]=333/106=3.141509… 近似の精度が良い！ #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 27 有理数近似において， 「連分数展開しなくても もっと簡単に分数を作れるのでは？」 と考える人もいるだろう。 例えば π＝3.14159265… という10進表示を 桁ごとに打ち切って10のべき乗で割れば π ≒ 31/10 π ≒ 314/100＝157/50 π ≒ 3141/1000 … #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 26 π ≒ 3＋1/7＝ [ 3; 7 ] π ≒ 3＋1/(7＋1/15)＝ [ 3; 7, 15 ] … πの値を #正則連分数 で表した 最初の100項や1万項を 下記URLから見れる。 円周率.jp/value/cfrac.ht… πは #無理数 なので， 100項や1万項どころか いつまでも連分数展開が終わらない。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 25 #正則連分数 の 分母の値だけを連ねる記法: π ≒ 3＋1/7＝ [ 3; 7 ] (=22/7) π ≒ 3＋1/(7＋1/15)＝ [ 3; 7, 15 ] (=333/106) πの値を正則連分数で表した 最初の100項や1万項を 下記URLから閲覧できる。 円周率.jp/value/cfrac.ht… #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 24 π ≒ 3＋1/7　① =22/7 π ≒ 3＋1/(7＋1/15)　② =333/106 ①，②の式に現れるような 「全・分子が1である連分数」を #正則連分数 という。 分子が1と決まっているので ①＝[ 3; 7 ] ②＝[ 3; 7, 15 ] のように 分母の値だけを連ねる記法もある。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 23 π=3.141592… ① =3+1/(7+1/(15+0.996594…)) ② ≒3+1/(7+1/15) ③ =333/106 ①→②は 「整数部分と小数部分に分解」 という操作の繰り返し。 ②→③は 「15より0.996594…のほうが小さいので 切り捨て可能」 こうして分数で近似値を得てゆける。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 22 π=3.141592… =3+0.141592… =3+1/(7+0.062513…) ① a_1=3 b_1=0.141592… a_2=7 b_2=0.062513… 1/b_2=15.996594…を整数部分と小数部分に分解 a_3=15 b_3=0.996594… ①=3+1/(7+1/(1/b_2)) =3+1/(7+1/(15+0.996594…)) ≒3+1/(7+1/15)=333/106 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 21 π=3.141592… ① =3＋0.141592… ② =3＋1 / (7＋0.062513…) ③ ≒3＋1 / 7 ④ =22 / 7 ①→②→③は 「整数部分と小数部分に分解」 という操作の繰り返し。 ③→④は 「7 より 0.062513… のほうが 遥かに小さい(100分の1)ので 切り捨て可能」 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 20 πを整数部分と小数部分に分解 a_1＝[π]＝3 b_1＝π－[π]＝0.14159… π＝a_1＋b_1 ＝a_1＋1/(1/b_1) 1/b1＝7.062513… を整数部分と小数部分に分解 a_2＝7 b_2＝0.062513… ∴ π＝3 ＋ 1 / (7 ＋ 0.062513…) ≒3＋1/7 ＝22/7 これは有名な分数近似。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 19 「#連分数展開 による有理数近似」 ためしに円周率πを近似してみよう。 πを整数部分と小数部分に分解すると… 整数部分 a_1＝[π]＝3 小数部分 b_1＝π－[π]＝0.14159265… すなわち，πの最も粗い有理数近似は π ≒ a_1＝3 では b_1を近似すると？ #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 18 x は #無理数 ⇔ 連分数展開の入れ子が 無限に続く(終わらない)。 つまり， ・ #円周率 π ・√5 ・ #黄金比 φ＝ (1＋√5) / 2 などの無理数を連分数展開した時に， どれだけ分母の入れ子を続けても 決して 「小数部分＝0」は訪れないのである。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 17 実数xを #正則連分数 によって 連分数展開する際， 下記のような性質がある。 ①連分数展開の入れ子が 有限回で終了する事と， xが #有理数 である事は同値。 ②連分数展開の入れ子が 無限に続く(終わらない)事と， xが #無理数 である事は同値。 #数論