＜#代数学の参考書＞ 「有限単純群」 (紀伊國屋書店1987鈴木) 前書きより引用: 『#巡回群，#交代群 は よく知られた #群 であるから， 本書では主として #Lie型 の群および #散在群 について述べた。 Lie型の群を #定義 するには， #Lie代数 の #分類 を使う #Chevalley の方法に従った。』

解析er 「#懐石 料理！」 代数er 「#抽象代数学 の大・中・小の部分」 群論er 「#群 の『君，ヒツジ』の部分」 連続群論er 「#ポントリャーギン のおんどりゃーの部分」 表現論er 「#指標表 のうひょうひょの部分」 関西人の環論er 「#ネーター環 は #寝たアカン！」　#寝たあかん！

#群論の知識 「#位数 59以下の #群 は #可解 である。」 ↑ これを確かめるために， 位数が1から59までの 全ての場合について どうして可解と言えるのか 一覧表を作って網羅している記事がある。 「群が可解でないための位数の条件を炙り出す」 peng225.hatenablog.com/entry/2017/09/… .

＜#代数学の参考書＞ 「有限単純群」 (紀伊國屋書店1987鈴木) 前書きより引用: 『まず #有限単純群 の性質を よく調べることが必要である。 本書では #分類定理 に出てくる 有限単純群を定義し， それらの #群 の性質， 特にその #単純性 を #証明 することを目標とした。』

＜#代数学の参考書＞ 『物理で「群」とはこんなもの』(共立出版1995) 書評より: 『#三次元物体 を #コンピュータ が #認識 する場合も #群 の考え方が注目される. #偏微分方程式 の #解 を 求める方法として 古くから知られる #自己相似解 においても 群の考え方が 解の #探索 に役立ち…』

＜#代数学の参考書＞ 「有限単純群」(紀伊國屋書店1987鈴木) 前書きより: 『過去 #30年 に渡る 数多くの人達の #努力 によって 最近 #ついに #単純群 の #分類定理 が #証明 された. #有限単純群 は ①#素数 位数の #巡回群 ②#交代群 ③#Lie型 の #群 ④#散在群 のいずれかと #同形.』

＜#代数学の参考書＞ シュプリンガー 「古典群　不変式と表現」(2004ワイル) 序文より引用: 『我々の関心は ある #線形 な #変換法則 に従っている 様々な種類の「#量」にあって， それらは #テンソル を素材として， それぞれの #群 の #支配 のもとで 作り上げられるようなものだろう。』

#群論の知識 #指標表 (character table) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87… ・ある #群 の全ての #既約表現 の #指標 を 表にまとめたもの. ・ #点群 の指標表は， 化学，結晶学，分光学などにおいて有用.

＜#代数学の参考書＞ 紀伊國屋数学叢書28 「有限単純群」 (紀伊國屋書店1987鈴木) bookmeter.com/books/2248311 前書きより引用: 『#有限群 はすべて #単純群 を積み重ねて得られる。 そこで， 単純群はどのような #群 であろうか という質問は #有限群論 の根本にある 重要な問題であった。』

＜#代数学の参考書＞ 「群論への30講」(朝倉書店1989志賀) 前書きより: 『おしまいの方では #位相群 にも触れておいた. そうする事によって #群 が #現代数学 の いろいろな諸概念と ごく自然に結びつき そのために群はいまなお 現代数学の #根幹 にあって 積極的に働き続けている事を…』

#群論の知識 #指標群 (character group) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87… ・ #指標 全体の集合がなす #群 が指標群. ・ #有限アーベル群 G の指標全体の集合は やはり有限アーベル群で，指標群である.

＜#代数学の参考書＞ シュプリンガー 「古典群　不変式と表現」(2004ワイル) 序文より引用: 『(#半単純連続群)の中でも #最も重要 な #群， 特に #非特異線形変換 全体の群や #直交群 に対する 決定的な結果を， 直接的な #代数的構成 によって導く という目標に向かい合ってきた。』

#群論の知識 (#群論 での) #指標 (character) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87… ①#群 Gから複素数体の乗法群への #群準同型 を指す. 群G上の乗法的指標，Gの #指標群. ②#ベクトル空間 上の 群Gの #表現 の #トレース を指す.

#群論の知識 #指標理論 (character theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87… ・群の #表現 の #指標(character): #群 の各元に 対応する #行列 の #トレース を対応させる #写像. 指標は，表現の 本質的な情報を凝縮された形で持つ. ・指標理論は #有限単純群 の分類において本質的な道具.

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) 後書きより: 『#大学 の #新入生 を相手に #群論 の #講義 を試みたが， 最初は急がず #群 の #具体例 を通し #抽象的 な扱いに #慣れる ための #時間 を十分とるなど 慎重な #配慮 をしなければ 大多数はついて行けない事を知った。』

#群論の知識 #類関数(class function) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A1%9E… ・中心函数(central function)，中心的な関数とも ・ #共役元 どうしの間で(#共役類 上で) 値が不変となる関数. #群 G の任意の元s,tに対し f( s^{-1} t s)＝f(t) ・複素数値の類函数は #コンパクト群 の #表現論 で重要

#群論の知識 「#群 の #表現論 といっても #ジョルダン標準形 の話と ある意味で同じである。 本書第3章の趣旨は， ジョルダン標準形の理論は K[T] #加群 の分類に等しい という事であった。 すなわちそれは， #モノイド N_0 の表現論なのである。」 (朝倉書店「加群十話」より)

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p205より引用: 『#平面 上に #限りなく 広がる #反復性 の #デザイン は 同じ #基本型 を 常に #複写 するものであり， #群 に対応する。 #壁紙，#服地，#建築装飾 などに 使用されるデザインに しばしば #群の表現 を見る。』

#解析力学_保存量と対称性編 9 Q. #対称性 を記述する数学とは. A. 保存則と対称性(Conservation laws and symmetry) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… "物理的対称性を記述する変換は #群. #群論 は物理学のための数学として重要. 連続的対称性は #連続群(#リー群)によって数学的に規定される."

＜#代数学の参考書＞ 「リー群の話」(1982佐武) 前書きより 『#リー群 は #抽象群論 が 展開される遥か以前から #変換群 として ユークリッド以来の #幾何学 や #微分方程式論 に 影の役者として登場していた. #群 や #多様体 の概念は この #幾何学的変換群 を 1つの母体として #抽象化』

#群論の知識 #大直交性定理 (Schur orthogonality relations) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7… #群 G の #既約表現 α の #ユニタリ表現 行列 D^(α) の 行列要素 D^(α)_ij (G) について その間に成り立つ直交関係のこと. #シューアの補題 から導かれる.

＜#代数学の参考書＞ 「ガロアの夢　群論と微分方程式」(1968久賀) 前書きより: 『#微分方程式 の #定義域 のつながり具合を 示すのに使われる， 純粋に #位相幾何学的 に 定義される #群。 それは #基本群 とか #モノドロミー群 とか呼ばれている。 微分方程式の解の #多価性 をも表現…』

＜#代数学の参考書＞ 「リー群の話」(日本評論社1982佐武) 前書きより 『#現代的 にいえば， #リー群 は "#群" と "#多様体" の2つの概念を #結合 させてできた物. この2つの "#良家" の #縁組 の結果生まれたリー群は， #数学 の多くの #重要 な分野に関係する #非常に大切 な基礎概念…』

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p176より引用: 『#20面体群 は， #5次方程式 の #可解性 に関する #ガロア の研究ゆえに有名。 一般5次方程式において #方程式 の #群 に 関連のある性質は， 20面体群が 真の #正規部分群 をもたない という事実に基づく。』

#群論の知識 #既約表現 (きやくひょうげん) irreducible representation; irrep ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A2… #群 などの表現論において #表現 ρ:G→GL(V)が #既約 とは 自明でない部分表現を持たないことをいう. 真の非自明な不変部分空間を持つ表現ρは #可約(reducible)という.

#群論の知識 群の #表現 / #既約表現 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… Gを #群，Tを #線形変換 とし { T(g) | g∈G } で不変な #表現空間 V ≠ {0} の #部分空間 が Vと {0} の2つ以外に存在しないとき， 表現 (V, T) は #既約 であるという. 既約でない表現を #可約 という.

＜#代数学の参考書＞ 日評数学選書 「リー群の話」 (日本評論社1982佐武) 前書きより引用: 『#リー群 の中で， #理論的 にも #応用上 も #最も大切 な #マトリックス の #群 だけに限って #説明 するならば， #大学初年級 の #知識 (#線形代数 や #微積分)で 十分 #間に合う と思われる。』

#群論の知識 #忠実 表現 (faithful representation) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%A0… ・ #群 G の異なる元 g が 異なる #線形写像 ρ(g) によって #表現 される 線型表現のこと. ・ #群準同型 が #単射 であるということ.

＜#代数学の参考書＞ 「有限置換群」(裳華房1981大山) 前書きより: 『本書では #有限集合 における #1対1写像 ―#置換 という―についての 基本的な性質を述べたいと思う。 さらに置換の #集合 は #写像 の #積 により #群 ―#置換群 という―をつくり， #群論 における重要な一部門である。』

＜#代数学の参考書＞ 「リー群の話」 (日本評論社1982佐武) 出版社による紹介: 『本書は主として 大学の2，3年を対象にした #リー群論 の入門書。 現代的にいえば， #群 と #多様体 を 結んでできた物が #リー群。 数学の多くの分野に関連する #基礎概念 として重要。 類を見ない決定版』

＜#代数学の参考書＞ 「群論への30講」(朝倉書店1989志賀) 前書きより引用: 『#群 の #動的 な働きの中から #静的 な形が抽出されてくる この #過程 の中で， 動と静の微妙な #対照 と #調和 が綾※をなし， そこに群の #生命感 が息づいている.』 ※綾(アヤ)をなす: 互い違いになること.

#群論の知識 群の #表現 (group representation) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… ・抽象的な #群 Gの元gに対し 具体的な #線形空間 Vの #正則 な #線形変換 としての実現を与える #準同型写像 π: G→GL(V) のこと. ・群Gから 線形空間V上の正則な線形変換のつくる群への 準同型写像.

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p155より引用: 『#ガロア は， 各 #代数方程式 には ある #有限群 が対応し その #方程式 の #根 の性質は 対応する #群 の #正規部分群 の性質に 依存する事を示した. 正規部分群は 代数方程式の #解 の性質を 決定する基礎を提供.』

#群論の知識 Q. 数学において一般的に #表現 とは A. 表現 (representation) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8… 「ある体系に対して それを類型的に書き表すことのできる 数理モデルを構成すること」 またはそのモデルそのもの. 例: ・ #線形写像 の #行列 による表現 ・ #群 の #置換 による表現

＜#代数学の参考書＞ 「ガロアの夢　群論と微分方程式」 (日本評論社1968久賀) bookmeter.com/books/91575 前書きより引用: 『#線型常微分方程式 を #群論 的に扱う試みは， #Riemann によっても試みられた。 Riemannは #Lie の扱ったような #連続群 ではなく， #不連続 な #群 を用いた。』

#群論の知識 #作用 を持つ #群(group with operators) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%9C… 名称: ・集合Ωの作用を持つ群 ・Ω-群 ・ #作用域 Ωを持つ群 Ω: 作用域(operator domain) 作用域Ωの元: G上の #作用素(operator)， Gの #相似変換(homotheties) ※「群作用を持つ集合」とは別物なので注意.

#群論の知識 Q. 群が #完全可約 であるとは. A. ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84… #群 G が 有限個の #単純群 の #直積 に 分解可能である場合， Gは 完全可約(completely reducible)または #半単純(semisimple)であるという.

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン) p73より: 『#正多角形 の #合同移動 の #群 は #2面体群(dihedral groups) という. dihedralという言葉は 「2つの #平面」に #起因 する. 2面体群の 一般的な #記号 として Dを用いる. #正三角形 の #位数 6 の2面体群はD_3.』

＜#代数学の参考書＞ 「群と表現」(1996吉川) p5より 『空間の性質に関連しなくても 物理系の構成要素の数により 高次の #群 が応用される. #量子力学系 では その #力学系 特有の #対称性 が 隠れて存在している場合もある. これらの事情で一般の #コンパクト単純リー群 の #表現論 を…』