#新型コロナ・Covid19を数学から考える 51 Q. #放射性同位体 の #半減期 T を #崩壊定数 λ で表せ. A. 時刻 t の #原子数 N(t) は N(t) ＝ N0・e^(－λt) 半減期の定義より N(T) ＝ N0 / 2 ＝ N0・e^(－λT) これを解くと T ＝ (log2) / λ ≒ 0.69 / λ #倍加時間 r と同じ形式の式を得る.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 49 Q. ウイルス感染者数 N を時系列で #片対数グラフ にプロットした場合 #倍加時間(#倍加日数) T は どんな意味を持つ？ A. N(t)＝N0・2^(t/T) y ＝ log N(t) ＝ ( log2 / T ) t ＋ log N0 t-y平面に描画するとy(t)は直線で， T が小さいほど急勾配.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 48 #72の法則(Rule of 72) ja.wikipedia.org/wiki/72%E3%81%… #資産運用 において， #元本 が2倍になるような #年利(#複利) r と年数 T を 簡易に求められる法則. 年利r(%)×倍加年数T(年)=72 ウイルス感染者数の #増加率 rと #倍加時間 Tにも近似適用できる.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 47 Q. #倍加時間 Tと #増加率 r %の関係式は 世間ではどんな名前で知られているか？ A. 前ツイより T ≒ 69.3 / r ≒ 70 / r ≒ 72 / r #72の法則 として有名. ja.wikipedia.org/wiki/72%E3%81%… 72＝3^2・2^3 を選ぶのは #約数 が多く #割り算 しやすいから.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 46 Q. 量N(t)が #指数関数的 に増加し #増加率 r %が小さい時 #倍加時間 Tを r の #近似式 で表せ. A. 前ツイより T＝log2 / log( 1 ＋ r/100 ) ★ 0＜ x ≪ 1 の時 log(1＋x) ≒ x より ★右辺 ≒ log2 / ( r/100 ) ＝ (100 log2) / r ≒ 69.3 / r

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 45 Q. 量 N(t) は #指数関数的 に増加. 単位時間あたりの #増加率 r %. #倍加時間 T. Tをrで表せ A. 増加率の定義より 1 ＋ r/100 ＝ N(t＋1) / N(t)★ N(t)=N0・2^(t/T) を代入し ★右辺=2^(1/T) ★両辺のlogをとり T ＝ log2 / log( 1 ＋ r/100 )

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 44 ▶#倍加時間，#倍加日数 #増加率 r が一定の場合， 量 N は #指数関数的 に増加する. この場合，#倍加時間 T は一定である. 時刻 t＝0 における 量の初期値 N(0)＝N0 とおき， この増加モデルを 倍加時間 T で表すと… N(t) ＝ N0・2^( t / T )

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 42 ▶#PCR検査 の #確率・統計学 Q. #真陽性 #偽陽性 #真陰性 #偽陰性 この4つで 最もまずいのはどれ？ A. ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%AC… #臨床検査 では「偽陰性」が大きな問題. 本当は病気なのに，治療不要という 誤ったメッセージを伝えてしまうから.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 41 ▶#PCR検査 の #確率・統計学 Q. 真陽性，偽陽性 真陰性，偽陰性 それぞれ略称は？ A. 下記にちょうどいい表が ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%AC… True / False Positive / Negative を組み合わせて… #真陽性 TP #偽陽性 FP #真陰性 TN #偽陰性 FN

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 40 ▶#PCR検査 の #確率・統計学 Q. 4つある #精度 の名が紛らわしく 覚えられない A. #陽性的中率 は 検査結果が #陽性 のうち"的中"してる率 #陰性的中率 は 検査結果が #陰性 のうち"的中"してる率 まず上記2つを記憶. pic.twitter.com/22Tme0PnZf

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 39 ▶#PCR検査 の #確率・統計学 Q. #偽陰性(False negative)を言い換え A. ･#第二種過誤(Type II error) ･#β過誤(β error) ･ぼんやり者の誤り #対立仮説 が本当は #真 なのに #帰無仮説 を採用してしまう #過誤. 真が抜け落ちる事によるエラー

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 38 ▶#PCR検査 の #確率・統計学 Q. #偽陽性(False positive)を 統計用語で A. ･#第一種過誤(Type I error) ･#α過誤(α error) ･あわて者の誤り ･#帰無仮説 が実際には #真 であるのに #棄却 してしまう #過誤 ･#偽 がヒットする事によるエラー

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 37 ▶#PCR検査 に関係する #確率・統計学 を学ぶ資料(6) 「#偽陽性」 「#偽陰性」を #統計学 の用語で表現すると… #第一種過誤(偽陽性)と #第二種過誤(偽陰性) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%AC… #仮説検定 において 統計的な #検定 の #過誤(error)を指す.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 36 ▶#PCR検査 の #確率統計学 Q. 「#偽陽性」 「#偽陰性」 とは A. 本当は #陰性 の人を 検査で陽性と誤診してしまったら 偽陽性と呼ぶ(図のF) 本当は #陽性 の人を 検査で陰性と誤診してしまったら 偽陰性と呼ぶ(図のG) pic.twitter.com/22Tme0PnZf

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 35 ▶#PCR検査 の #確率統計学 Q. 「#真陽性」 「#真陰性」 とは A. 本当に #陽性 の人を 検査で陽性と正しく診断できたら 真陽性と呼ぶ(図のE) 本当に #陰性 の人を 検査で陰性と正しく診断できたら 真陰性と呼ぶ(図のH) pic.twitter.com/22Tme0PnZf

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 34 ▶#PCR検査 の #確率統計学 Q. 検査の #精度 って一口にいうけど 「精度」には４種類あるってこと？ A. はい. (1)#陽性的中率 (2)#陰性的中率 (3)#感度 (4)#特異度 このうち，代表して(1)を 精度と呼ぶことが多い. pic.twitter.com/22Tme0PnZf

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 33 ▶#PCR検査 の #確率統計学 Q. #陰性的中率 と #特異度 の違い A. 陰性的中率= 検査結果が #陰性 の人数のうち 本当に陰性の人数 ＝H÷(G＋H) 特異度= 本当に陰性の人数のうち 検査結果が陰性の人数 ＝H÷(F＋H) pic.twitter.com/22Tme0PnZf

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 32 ▶#PCR検査 の #確率統計学 Q. #陽性的中率 と #感度 の違いは？ A. 陽性的中率= 検査結果が #陽性 の人数 のうち 本当に陽性の人数. ＝E ÷ (E＋F) 感度= 本当に陽性の人数 のうち 検査結果が陽性の人数. ＝E ÷ (E＋G) pic.twitter.com/22Tme0PnZf

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 30 ▶#PCR検査 に関係する #確率・統計学 を学ぶ資料(4) 検査の #精度 の用語: #特異度 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9… ある検査について 「#陰性 のものを正しく陰性と判定する確率」 のこと. ※「#陰性的中率」とは別物.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 29 ▶#PCR検査 に関係する #確率・統計学 を学ぶ資料(3) 検査の #精度 の用語 医学での「#感度」と「#特異度」 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%84%9F… 感度：ある検査について 「#陽性 と判定されるべきものを 正しく陽性と判定する確率」 ※#陽性的中率 とは別

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 27 ▶#PCR検査 に関係する #確率・統計学 を学ぶ資料(1) Q&A 感度・特異度・精度 jstage.jst.go.jp/article/igakut… 雑誌「医学図書館」2004年 Vol. 51 2ページのPDF記事 ･#感度(#真陽性率) ･#特異度(#真陰性率) ･#適合率=#陽性的中率 (="#精度")

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 26 「全人口の９割以上が #ワクチン 接種すべき」 の理由・数値的根拠を #四則演算 のかんたんな計算で導出する. togetter.com/li/1767040 ウイルスの素の強さ R_0＝8 (#デルタ株) 国内での #感染 の広がりの強さ R_e＝0.8 なら #免疫率 p＝0.9 です.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 25 基本用語の意味や 初歩的な計算式をまとめてありますぞ！ #感染症 の #パラメータ R0(アールゼロ)の意味は? 新型コロナを数学･#数理モデル で把握するための初歩 1:#基本再生産数 2:#実効再生産数 3:#集団免疫しきい値 togetter.com/li/1497933 .

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 24 ▶#集団免疫閾値(#HIT) Q. 集団免疫閾値 p＝1－1/R_0 の値にはどんな意味があるか. A. 人口の中で， 最低限この割合の人数に #ワクチン を接種するなどして #免疫 を持たせ感染対策すれば， 集団内での病気の #蔓延(#感染爆発)を 食い止められる.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 23 ▶#集団免疫閾値(#HIT) Q. HITの値 p を #基本再生産数 R_0 から導出せよ. A. #実効再生産数 R_e が1を下回れば 集団内で病気が #蔓延 しない. 臨界点の条件から R_e ＝ (1－p) R_0 ＜ 1 変形すると 1－p ＜ 1 / R_0 よって p ＝ 1 － 1 / R_0

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 22 #感染症の数理モデル 基礎用語 ▶#集団免疫閾値(herd immunity threshold，#HIT) #集団免疫レベル(herd immunity level，#HIL) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86… #免疫 を持つ人の割合が この臨界比率に達すると 病気は集団内に維持されなくなり蔓延終息.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 21 ▶#実効再生産数 R_e 何も対策しないと 1人の患者からR_0人に感染してしまうが… 集団全体の中で割合pの人に 感染症の対策を施せる場合 感染人数を R_e＝(1－p) R_0 人に減らせる. 下記では接触をpの割合で減らしている pic.twitter.com/ExOzaov71a

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 20 #感染症の数理モデル 基礎用語 ▶#実効再生産数(Effective reproduction number) 対策した場合の(現実の)#感染力 R_e. 対策しない場合の(素の)感染力R_0より低い. 対策とは ･手洗い，うがい ･外出自粛，接触削減 ･#ワクチン での免疫化など

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 18 ▶#基本再生産数 R0 #国立感染症研究所 による R0(素の #感染力)のデータ: #はしか 16～21 #おたふくかぜ 11～14 #SARS 2～5 #インフルエンザ 2～3 #MERS 0.8～1.3 #新型コロナ(2020年1月時点，#普通株) #WHO 暫定値1.4～2.5 香港や英国3.3～5.5

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 16 ▶#基本再生産数 R0 2020/1/23 (流行の初期，#普通株) #WHO のサイト上で… who.int/news-room/deta… Human-to-human transmission is occurring and a preliminary R0 estimate of 1.4-2.5 基本再生産数 R0 の暫定値を 1.4～2.5としていた.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 15 ▶#基本再生産数 R0 「1人の #患者 が R0倍の新規患者を生み出し， それらの新規患者たちが さらにR0倍の追加患者を新たに生み出し…」 という #連鎖，ドミノ倒しを起こすのが #感染症 のR0. ※集団の中で #ワクチン を持つ人がいない状況を想定

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 14 ▶#基本再生産数 R0 「一般の #感染症モデル では R0＞1 なら感染症は集団内で #蔓延 し始め R0＜1 なら蔓延しない. R0の値が大きいほど #流行 の #抑制 が困難」 「＞1」の部分は #高校数学･#数III で学ぶ #等比数列 の極限で理解できますね.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 13 ▶#基本再生産数 R0 引用 「R0の値は #数理モデル から推定され 使用する #モデル や 他の #パラメータ の値に依存する. よってR0の値は 特定の文脈においてのみ意味があり 古い値を使用したり 異なるモデルに基づく値を比較したりすべきでない」

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 12 ▶#基本再生産数 R0 R0は環境因子や 感染集団の行動による影響も受け， その #病原体 に関する生物学的な #定数 ではない. あくまで 特定の文脈の #数理モデル に基づく 推測された #パラメータ 値であり， 統計情報によって値が更新されてゆく.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 11 ▶#基本再生産数 R0 「他の個体が全員 #未感染 で 先天的な #免疫 も ワクチン等による後天的な免疫も持っていない 素の状況」での 感染者1人あたりによる #再生産 人数. 素の #感染力 を指すので，R0の値は #ワクチン 接種等により変更できない.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 10 ▶#基本再生産数 R0 続き R0は R zero #アールゼロ という読み方に加え R nought (R naught) とも呼ばれる. nought [nɔːt] en.wiktionary.org/wiki/nought ･#not の語源となった語. nothing ･#イギリス英語 でzeroの意 要するに #ゼロ である.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 9 #感染症の数理モデル 基礎用語 ▶#基本再生産数(Basic reproduction number) #疫学 で #感染症 に感染した1人の感染者が 平均で何人に直接 #感染 させるかという人数. 1人の感染者が #再生産 する2次感染者の期待数. 呼び名 R zero #アールゼロ

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 8 Q. #感染症の数理モデル での #基本再生産数 R_0 #実効再生産数 R_e の違い A. 基本再生産数 R_0: 対策しない場合の(素の)感染力 実効再生産数 R_e: 対策した場合の(現実の)感染力 #感染力 とは 1人の #患者 が何人に #感染 させるかという人数

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 6 ▶#感染症の数理モデル を学ぶ資料 (6) 一般向け記事 『科学が示す ｢コロナ長期化｣ という確実な将来: 3つの変数でわかる 私たちがとるべき対策』 toyokeizai.net/articles/-/345… 2020/04/22東洋経済 1 #基本再生産数 2 #実効再生産数 3 #集団免疫率

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 4 ▶#感染症の数理モデル を学ぶ資料 (4) 感染症流行の予測: #感染症数理モデル における定量的課題 ism.ac.jp/editsec/toukei… 2006年 統計数理研究所 PDF, 20ページ キーワード #感染症，#数理モデル，基本再生産数，最尤推定法，#マルチンゲール法