##統計 Brunner-Munzel検定の帰無仮説は母集団1に対する母集団2の勝率pに関する「p=1/2」であり、「2つの母集団分布の中央値が等しい」とは全然同値ではないです。 同様にWilcoxon-Mann-Whitney検定も中央値の違いに関する検定ではないです。続く scholar.google.co.jp/scholar?cluste… Brunner-Munzel 2000 ↓ pic.twitter.com/MuzbsBx4rm

#統計 Wilcoxon-Mann-Whitney検定では、モデル内で「Xの分布とYの分布は等しい」という超絶強い条件を仮定して検定統計量Uもしくはp̂を扱いますが、Brunner-Munzel検定ではp=1/2とある種の中心極限定理による近似のみを仮定します。だから、後者の方がずっと頑健な検定法になります。

#統計 Wilcoxon-Mann-Whitney検定では、分布1と分布2が等しいという仮定の元で検定統計量Uもしくはp̂=U/(mn)を扱います。連続分布の場合にはその仮定の下で、自明にp=1/2となり、さらにp̂の分散は(m+n+1)/(12mn)になることを容易に示せます。続く

#統計 補足: Wilcoxon-Mann-Whitney検定のαエラー率の頑健性のテストでは、テスト用の仮想的母集団分布として P(X<Y)+P(X=Y)/2 = 1/2 を満たすものを使う必要がある理由は、検定統計量Uの定義を見れば分かります。続く

#統計 Wilcoxon-Mann-Whitney検定は、2つの群の優劣をつける目的には非常に脆弱な検定法で、本当は優劣を付けられない場合であっても「有意差」を過剰に出しがちな検定法です。それにも関わらず、無警告で安易に使われ続けている。 これも大問題だと思います。

#統計 Wilcoxon-Mann-Whitney検定とBrunner-Munzel検定などを中央値の違いに関する検定だとみなすことは、それらの検定法についてほとんど何も理解していないことを意味するので、そういう内容の論文は本当なら査読に回す価値さえないと思います。

#統計 標本の数値の順位情報しか使わないWilcoxon-Mann-Whitney検定とBrunner-Munzel検定について、中央値が等しい2つの対数正規分布で性能検査することは、平均値が等しい2つの正規分布で性能検査することと同じことになる。正規母集団と本質的に異なる場合の結果も見るべきなので注意が必要。続く

#統計 例えば、 hoxo-m.hatenablog.com/entry/20150217… の第4節では、中央値が等しい2つの対数正規分布をテスト用母集団分布として使っているせいで、Wilcoxon-Mann-Whitney検定とBrunner-Munzel検定が中央値の違いに関する検定法で__ない__ことが分かるシミュレーション結果を得ることに失敗しています。

#統計 Wilcoxon-Mann-Whitney検定とBrunner-Munzel検定の検定統計量は、本質的に母勝率と1/2の違いの推定値になっています。ここで母勝率とはP(X<Y)+P(X=Y)/2のことです。 2群の違いをそのように測りたいときにはBrunner-Munzel検定を使うことが合理的になる。

#統計 警告：Wilcoxon-Mann-Whitney検定やBrunner-Munzel検定は母中央値の違いに関する検定法では__ない__。 それらは母勝率と1/2の差に関する検定法です。 母勝率による優劣の付け方が適切な場合に限ってそれらの検定法は使える場合が出てきます。

#統計 もしも自分の先生が、 * Studentのt検定を使う前に正規性検定とF検定を行え と言って来たり、 * Mann-WhitneyのU検定(=Wilcoxonの順位和検定)なら無条件で使える と言って来たら、その先生には統計学についてまともな素養がないので、学生の側は警戒した方が良いです。 経験談を募集中。