ガンマ関数の相反公式 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ Γ(z)=∫[0,∞]e⁻ᵗtᶻ⁻¹dt(Re z>0),Γ(z)=Γ(z+1)/z(z∈ℂ\ℤ≤0)に対し, Γ(z)Γ(1-z)=π/sin(πz) (z∈ℂ\ℤ). ∵▼Γ関数無限積(G) x.com/WirelesLANcabl… ▼sin無限積 x.com/WirelesLANcabl… 例: Π[j=1,6]Γ(j/6)=4π⁵⸍²/√3 が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/cMgdP50ys1

ヴィエトの公式 ￣￣￣￣￣￣￣ 2/π = Π[n=1,∞]aₙ/2 (a₁=√2,aₙ₊₁=√(2+aₙ)(n≧1)) = √2/2･√(2+√2)/2･√(2+√(2+√2))/2･... . ※sin(πz)/(πz) = Π[n=1,∞]cos(πz/2ⁿ) にz=1/2を代入し変形すると得られる ▼sinc関数の無限積表示(ii) twitter.com/WirelesLANcabl… が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/a3OJF2figw

ウォリス積 ￣￣￣￣￣ π/2 = Π[n=1,∞] (2n/(2n-1)･2n/(2n+1)) = (2/1･2/3)(4/3･4/5)(6/5･6/7)... ※ sin(πz)/(πz) = Π[n=1,∞] (1-z²/n²) に z=1/2 を代入し変形すると得られる ▼sinc関数の無限積表示 (i) twitter.com/WirelesLANcabl… が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/CRN9zVGM98

ガンマ関数の無限積表示(W) #毎日公式予想 (補足画像) pic.twitter.com/RjaSwh0JqF

イェンセンの不等式 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣ n:正整数, tₖ(1≦k≦n):t₁+t₂+...+tₙ=1(0≦tₖ≦1)を満たすn個の実数, I⊂ℝ:区間とする 関数f(x)(x∈I)が(下に)凸のとき, xₖ∈I(1≦k≦n) に対して, f(t₁x₁+t₂x₂+..+tₙxₙ) ≦ t₁f(x₁)+t₂f(x₂)+...+tₙf(xₙ) が成立 が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/d7BlptrRnF

正接のマクローリン展開 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ tan(z) = Σ[n=0,∞] (-1)ⁿ⁻¹(16ⁿ-4ⁿ)B₂ₙ z²ⁿ⁻¹/(2n)! = z + z³/3 + 2z⁵/15 +...(|z| < π/2) ここで, B₀=1,B₂=1/6,B₄=-1/30,B₆=1/42,...である ▼余接のローラン展開 x.com/WirelesLANcabl… が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/qWMr268L51

略証だけ載せておきます(ガンマ関数の無限積表示(G)) #毎日公式予想 pic.twitter.com/I43vcLZmt5

ガンマ関数の無限積表示(G) ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ D=ℂ\{n|0≧n∈ℤ}上の正則関数列{gₙ(z)}_{n≧1},gₙ(z)=(nᶻn!)/(z(z+1)...(z+n))はD上の正則関数g(z)に一様収束し, また, g(z)=lim[n→∞](nᶻn!)/(z(z+1)...(z+n)) はΓ(z)(=∫[0,∞]e⁻ᵗ tᶻ⁻¹dt)とRe(z)>0で一致 が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/wwoko3FAvW

除法の原理 ￣￣￣￣￣ b>0を満たす任意の二整数の組(a, b)に対して, ある二整数の組(q, r)が一意に存在し, a = bq + r (0 ≦ r < b) が成立 が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/DLKKoRvtyF

円分多項式(定義) ￣￣￣￣￣￣￣￣ 正整数nに対し, ζₙ=cos(2π/n)+isin(2π/n)(1の原始n乗根)とするとき, (n番目の)円分多項式Φₙ(z)を Φₙ(z)=Π[g.c.d.(k,n)=1,1≦k≦n] (z - ζₙᵏ) で定める. 例: Φ₁(z)=z-1,Φ₂(z)=z+1,Φ₃(z)=z²+z+1,Φ₄(z)=z²+1,Φ₅(z)=z⁴+z³+z²+z+1, が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/CUSAVJCGsa

余接のローラン展開 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣ cot(z) = Σ[n=0,∞] (-4)ⁿB₂ₙz²ⁿ⁻¹/(2n)! = 1/z - z/3 - z³/45 - 2z⁵/945 +… (0 < |z| < π) ここで, cot(z)=cos(z)/sin(z), B₂ₙは偶数番目の関-ベルヌーイ数(B₀=1,B₂=1/6,B₄=-1/30,B₆=1/42,...) twitter.com/WirelesLANcabl… が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/gcoSASAj2Z

[定義] 関-ベルヌーイ数 生成関数(母関数) x/(eˣ-1)=Σ[n=0,∞]Bₙxⁿ/n! により定まる数列{Bₙ}_{n≥0}の各項を 関-ベルヌーイ数 と呼ぶ ★B₀=1,B₁=-1/2,B₂=1/6,B₃=0,B₄=-1/30,... ※他の定義:xeˣ/(eˣ-1)=Σ[n=0,∞]Bₙ*xⁿ/n! ★B₀*=1,B₁*=1/2,Bⱼ*=Bⱼ(1<j∈ℤ) が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/TMfb0nA8Lj

【曲線の長さ(定義)】 a, bを実数とする. なめらかな平面曲線γ(t)=(x(t),y(t))(a≦t≦b)の長さLを L=∫ₐᵇ√((dx/dt)²+(dy/dt)²)dt で定義する ここで,なめらかな平面曲線(x(t),y(t))(a≦t≦b)はC¹-級関数(x,yが共に微分可能で,導関数dx/dt,dy/dtが共に連続)により定めた が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/jB4fxrRmLZ

【sinc関数の無限積表示】 (sin(πz))/(πz) (=sinc(z)) (z∈ℂ) に対して, (i) (sin(πz))/(πz) = Π[n=1,∞] (1-z²/n²) (ii) (sin(πz))/(πz) = Π[n=1,∞] cos(πz/2ⁿ) が成立. ただし, sinc(0) = 1 とする. ▼参考：正弦無限積表示 twitter.com/WirelesLANcabl… が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/4Wii1h9E21

【相加・相乗・調和平均の関係】 nを正整数, aₖ(1≦k≦n)を正実数とするとき, (1/n)Σ[k=1,n]aₖ≧ⁿ√(Π[k=1,n]aₖ)≧n/(Σ[k=1,n]1/aₖ) が成立. ただし,等号成立は共にa₁=a₂=…=aₙのとき. 例: n=2のとき,a=a₁,b=a₂とおくと, (a+b)/2≧√(ab)≧2/(1/a+1/b) が成立. が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/j36RWa5CIv

【余弦無限積表示】 cos(πz) = Π[n=1,∞] (1-4z²/(2n-1)²) (z∈ℂ) が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/kfZf6ZJ5Z4

【正弦無限積表示】 sin(πz) = πzΠ[n=1,∞] (1-z²/n²) (z∈ℂ) 系(余接部分分数展開): πcot(πz) = 1/z + Σ[n=1,∞]2z/(z²-n²) ここで, cos z=Σ[n=0,∞](-1)ⁿz²ⁿ/(2n)! (z∈ℂ) sin z=Σ[n=0,∞](-1)ⁿz²ⁿ⁺¹/(2n+1)! (z∈ℂ) cot z=cos z/sin z (z∈ℂ\{nπ|n∈ℤ}) が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/zCVPsi1rwM

【正弦4倍角公式】 sin(4θ) = cosθ(4sinθ-8sin³θ) が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/D8Z7C2G9Le

【グリーンの面積公式】a,bを実数とする. 原点を始点,なめらかな平面曲線γ(t)=(x(t),y(t))(a≦t≦b)上の動点を終点とする線分の通過領域の符号付き面積は S=∫ₐᵇ(1/2)(x(dy/dt)-y(dx/dt))dt である 例:γ(θ)=(r(θ)cosθ,r(θ)sinθ)(a≦θ≦b)のとき S=∫ₐᵇ(1/2)(r(θ))²dθ が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/Sc1VsLTnLd

【レムニスケート周率】広義積分∫₀¹ dr/√(1-r⁴)(=lim[b→1-0]∫₀ᵇdr/√(1-r⁴))は正値で, ∫₀¹dr/√(1-r)=2で上から押さえられる ∴有限値に収束 レムニスケート周率 ϖ=2 ∫₀¹dr/√(1-r⁴)=2.622057554… を定めると,∞:r²=2a²cos2θ(a>0)の周長はL=2ϖa ※面積はS=2a² が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/1EarmIR5Rk

【上昇階乗冪の和公式】m,nを非負整数とするとき, Σ[k=1,n] (k)ₘ = (n)ₘ₊₁/(m+1) が成立 例:m=3のとき Σ[k=1,n] k(k+1)(k+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4 ※0≦m∈ℤ,x∈ℂに対し,上昇m-乗(x)ₘを (x)ₘ = Π[j=1,m] (x+j-1) (空積:1) で定義((x)₍ₘ₎や(x)⁽ᵐ⁾とも表す) が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/OjqnJJEdjK

【レムニスケート(連珠形)】a>0 とする. 2定点 F(a, 0), F'(-a,0)からの距離の積が一定値 a² である点Pの軌跡をレムニスケートと呼ぶ (画像のグラフは a=1 のケース). ●直交座標表示 : (x²+y²)² - 2a²(x²-y²) = 0 ●極座標表示 : r² = 2a²cos2θ ※その他は画像orALT参照 が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/o1oq8BMImW

【オイラー・マスケローニ定数】無限級数の和 Σ[n=1,∞] (1/n - log(1+1/n)) は収束する これを オイラー・マスケローニ定数 といい, γ = Σ[n=1,∞] (1/n - log(1+1/n)) で表す ※γ = 0.5772156649… である が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/ZEm1ZZGiBm

【ピトーの定理】凸四角形ABCDが円Oに外接していて, a=AB,b=BC,c=CD,d=DA とするとき, a+c = b+d が成立 ★半周長を s(=a+b+c+d) とすると, s = a+c (= b+d) も成立 ※凸四角形とは2本の対角線がともに四角形の周または内部に含まれる(つまり, 凹んでいない)四角形 が来る？ #毎日公式予想 pic.twitter.com/KxpoCVRdFa