＜ #東大数学の過去問 ＞ (i) 微分係数(導函数とも云う)の定義を述べよ。 (ii) 定義に従って cos x に関する微分係数を求めよ。 (1946年 東京大学・薬学科 入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 点 ( x, y ) は， 原点を中心とする半径 1 の円の内部を動く。 点 ( x＋y, xy ) の動く範囲を図示せよ。 (1954年 東京大学・入試問題) ※５０年後，2005年の東工大の前期数学で 同じ問題が出題された。

＜ #東大数学の過去問 ＞ ⊿ABC の辺 BC の中点を M とする。 ∠BAM＋∠ACB が直角であるとき， ⊿ABC はどのような形であるか。 (1957年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 連立方程式 0.5 x ＋ 1.2 y ＝ 4.1 0.3 x ＋ 1.8 y ＝ 4.4 がある。 左辺の係数および右辺の数値が いずれも小数第二位を 四捨五入した近似値であるとすれば， x の真の値はどのような範囲にあるか。 (1958年 東京大学・入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 放物線 C が 下の条件 (i), (ii) を満たしながら動く。 (i) C は 放物線 y ＝ x^2 を平行移動して得られる。 (ii) C は 放物線 y ＝ 1 － x^2 に接する。 このとき C の頂点のえがく図形を求めよ。 (1960年 東京大学・入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 水平におかれた机に， 直角をはさむ二辺の長さが それぞれ 9 [cm], 12 [cm] であるような 直角三角形の穴をあけ， この穴に半径 5 [cm] の球をのせる。 この球の 机の表面より上にある部分の体積を求めよ。 (1960年 東京大学・入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 水道料金＝ 基本料金(120円)＋ 超過料金(1か月の使用水量がA(整数)㎥を超えた場合1㎥あたりB円)＋ メーター使用料(10の整数倍で50円以下のC円) ある家の水道代金： 　使用水量　水道料金 1月 23㎥ 332円 2月 19㎥ 276円 A, B, C を定めよ。 (1960年 東京大学)

＜#東大数学の過去問＞ 三角形 ABC の外心を O とし， 3辺 BC, CA, AB に関して O と対称な3点を それぞれ A', B', C' とする。 三角形 A' B' C' は 三角形 ABC に合同であることを証明せよ。 (1960年 東京大学・入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 半径 a の半球に外接する直円錐について， その全表面積Sを最小化せよ。 ただしSは側面積と底面積の和であり， 直円錐の底面は半球の底面と同じ平面上にある。　 (1961年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ １つの頂点から出る3辺の長さが x, y, z であるような直方体において， x, y, z の和が6 全表面積が18である。 このような直方体の体積の最大値は？ (1962年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ A, B, C は3つの山頂. Aから見るとCは 真北より東10°の方向にあって仰角15° Bから見るとCは 真北より西20°の方向にあって仰角30° BからAを見る仰角は30° A, Bの高さがそれぞれ 海抜1600m, 1210mの時 Cの高さは海抜何メートル? (1965年 東京大学・文理共通)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 方程式 x/9－sin(πx/6)＝0 の最大の根にもっとも近い整数を求めよ。 (1966年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ ある鉄道の運賃は 距離300km以下の分は1kmにつきa円 300kmを超過した分は1kmにつきb円で 合計額の10円未満の端数は10円に切り上げる。 (aもbも0.1の整数倍の数) 距離319km, 349kmの運賃は 各々970円, 1010円である。 aとbを求めよ。 (1966年 東京大学・入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 南北に水平でまっすぐな道路を 車が南から北へ時速100kmで走る。 飛行機が一定の高度で 一直線上を時速(√7)×100kmで飛ぶ。 車から飛行機は ちょうど西の方向に仰角30度。 36秒後，北から30度西の方向に仰角30度に見えた。 飛行機の高度は? (1967年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ a ＞0 n は正の整数 x ≧ 0 とする。 不等式 a x^(n+1) ＋ a^(-1/n) ＞ x を示せ。 (1967年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ (1) 0≦x≦1 αは有理数で 0＜α＜1 の時 1＋αx / 2 ≦ (1＋x)^α を示せ。 (2) 20^200 は何桁か。 また，最上位の数は何か。 ※log_10 ( 2 ) ≒ 0.3010 だが この値を証明に用いてはならない。 (3) 0.300＜ log_10 ( 2 ) ＜ 0.302 を示せ。 (1968年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 正方形ABCDを底面とし Vを頂点とする正四角錘がある。 底面と斜面のなす角が45°のとき， 隣り合う2つの斜面どうしのなす角を求めよ。 ※なお，面と面のなす角を二面角と呼ぶ。 (1968年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 一辺の長さが 1 の正方形 ABCD の 内部に点 P をとって ∠APB， ∠BPC， ∠CPD， ∠DPA が いずれも 3π / 4（＝135°）を超えないようにする時， 点 P の動き得る範囲の面積を求めよ。 だたし C は A と隣りあわない頂点とする。 (1968年・東京大学入試問題・文系)

＜#東大数学の過去問＞ f(x) ＝ a x^2 ＋ bx ＋ c とし， a, b, c は a ＋ b ＋ c ＝ 1 を満たしながら動く。 また，α, β を実数とする。 座標 ( f( α ), f( β ) ) は 平面上でどのような領域を描くか。 (1968年 東京大学・入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ a ＝ cos(π/3) ＋ i sin(π/3) n は全ての自然数を動く. 1) a^n は何個の異なる値をとり得るか. 2) { (1－a^n)・ (1－a^(2n))・ (1－a^(3n))・ (1－a^(4n))・ (1－a^(5n)) } / { (1－a)・ (1－a^2)・ (1－a^3)・ (1－a^4)・ (1－a^5) } を求めよ. (1970年 東京大学)

＜#東大数学の過去問＞ x軸上の原点から出発し， 貨幣を投げ 表が出たら右へ1進み 裏が出たら左へ1進む。 (1) 4回繰り返した時 x＝0, ±1, ±2, ±3, ±4 の各点にいる確率を求めよ。 (2) n回繰り返した時 x＝n－2 にいる確率と x＝n－4 にいる確率を求めよ。 (1970年 東京大学・入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 3人でジャンケンをして勝者を決める。 負けた人は次の回に参加しないことにして ちょうど一人の勝者が決まるまで ジャンケンを繰り返す。 k 回目に初めて ちょうど一人の勝者が決まる確率を求めよ。 (1971年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 実数係数の整式 f(x) が ∫{0→1} f(x) dx＝2 ∫{0→1} x f(x) dx＝3 をみたす。 ∫{0→1} { f(x) －ax－b }^2 dx の値を最小にするような 実数 a, b の値を求めよ。 (1971年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 平面上に1辺の長さが1の正方形 S がある。 この平面上で S を平行移動して得られる正方形で 点Pを中心にもつものを T(P) とする。 このとき，共通部分 S ∩ T(P) の面積が 1/2 以上となるような 点Pの存在範囲を図示し その面積を求めよ。 (1973年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ x_1, x_2, …, x_n はおのおの 0, 1, 2 のどれかの値を取る。 f_1 ＝ Σ{i＝1→n} x_i f_2 ＝ Σ{i＝1→n} (x_i)^2 のとき， f_k ＝ Σ{i＝1→n} (x_i)^k (k＝1,2,3,…) を f_1 と f_2 で表せ。 (1973年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ Sは，中心Oで半径aの不透明な球面。 Nは球面S上の1点。 点Oにおいて線分ONと角度π/3で交わる 一つの平面上で， 点Pが点Oを中心に等速円運動をし 角速度は毎秒π/12 OP＝4a 点Nから点Pを観測すると， Pは見え始めてから何秒間見え続けるか？ (1973年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ A,Bの2チームが あるスポーツの試合をして 先に3回勝ったほうを優勝とする。 1回の試合で Aが勝つ確率p＞0 Bが勝つ確率q＞0 (※p＋q＝1) 優勝チームが決まるまでの試合数をNとする。 Nの期待値を最大にする p およびその時のNの期待値は？ (1974年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ Aは，原点Oに中心を持つ 半径2の固定円板。 半径1の円板Bの中心Cが 点(3,0)に重なるよう置く時 点(4,0)に重なるBの周上の点をMとする。 BをAの周囲に滑らず転がし OCがx軸の正の方向となす角をθとし 0≦θ≦π/2 Mの描く曲線の弧の長さは？ (1974年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 自然数 n, p に対し n^p を十進法で書いたときの 1 の位の数を f_p (n) で表す。 ただし自然数とは 1, 2, 3, … のことである。 n が自然数の全体を動くとき， (1) f_5 (n) ＝ f_1 (n) を示せ。 (2) f_100 (n) の取る値を全部求めよ。 (1974年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ K, L, M, N は 負でない整数とする。 0 でないすべての x に対して 等式 ( ( x + 1 )^K / x^L ) － 1 ＝ ( x + 1 )^M / x^N を成り立たせるような K, L, M, N の組を求めよ。 (1975年 東京大学・入試問題 理系)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 数列 a_n を下記で定める。 a_1 = √2 a_(n+1) = √( 2 + a_n ) ここで，ある数列 θ_n (※ 0 ＜ θ_n ＜ π / 2 ) を使って a_n の一般項を a_n = 2 sin θ_n と表記するとき，θ_n を n で表せ。 (1975年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ f(x) ＝ x^5 － ax － 1 が 「整数係数の正次数の２つの整式の積」 となるような整数 a を求め， そのような a について f(x) を因数分解せよ。 (1976年 東京大学・入試問題 文系)

＜#東大数学の過去問＞ θ1,θ2,θ3,θ4,θ5＞0. 円に内接する5角形A1 A2 A3 A4 A5で 1≦i≦5に対し 角Aiがθiとなるものが存在する必要十分条件は θ1+θ2+θ3+θ4+θ5＝3π θ1+θ3＞π θ2+θ4＞π θ3+θ5＞π θ1+θ4＞π θ2+θ5＞π が同時に成り立つ事である事を示せ. (1977年 東京大学)

＜ #東大数学の過去問 ＞ xy平面上の3つの領域 A: x≧0 B: y≧0 C: √3 x＋y≦√3 点Pを中心として 領域A,B,Cのどれか少なくとも1つに含まれる円を考える。 このような円の半径の最大値は点Pによって定まり r(P)と表す。 点Pが平面全体を動く時 r(P)の動く範囲は？ (1977年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ xy平面上に原点Oとは異なる2点があり A( a_1, a_2 ) B( b_1, b_2 ) a_1, a_2, b_1, b_2 は有理数とする。 OA＝a OB＝b ∠AOB＝θ とおく。 次の3条件が互いに同値であることを示せ。 (i) abは有理数 (ii) cosθは有理数 (iii) sinθは有理数 (1977年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 三角形ABCにおいて各辺の長さを BC＝a CA＝b AB＝c と記す。 辺BCを n 等分する点を P_1, P_2, P_(n-1) とし P_n＝C とする。 このとき極限 lim{n→∞} { (AP_1)^2＋(AP_2)^2＋…＋(AP_n)^2 } / n を求め，これを a, b, c で表せ。 (1978年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 座標平面上で P_0 (1,0) P_1 (0,a) ※a＞0 P_2 (0,0) 以下の手続きで順次,点列{P_k}を定める。 P_n から P_(n-2) P_(n-1) に垂線を下ろし それと P_(n-2) P_(n-1) との交点をP_(n+1) とする。 点列{P_k}はどのような点に限りなく近づくか？ (1979年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ xy平面上で Aを第1象限の点 Bをx軸上の点 Oを原点とする。 ⊿OABは 線分OBを底辺とする二等辺三角形(AO＝AB)で その面積を s とする。 この三角形と 不等式 xy ≦ 1 で表される領域との共通部分の面積 T を求め T を s の関数として表せ。 (1980年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ n, a, b, c, d は 0 以上の整数とし a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = n^2 - 6 a + b + c + d ≦ n a ≧ b ≧ c ≧ d を満たす。 このような組 ( n, a, b, c, d ) を全て求めよ。 (1980年・東京大学入試問題)