＜#東大数学の過去問＞ x＞0 f(x) ＝ (log x) / x h_n ＝ Σ{k＝1→n} 1/k (1) f(x) の n 次導関数が 数列 {a_n}, {b_n} を用いて f^(n) (x) ＝ ( a_n ＋ b_n log x ) / x^(n+1) と表されることを示せ。 (2) a_n，b_n の一般項を h_n で表せ。 (2005年 東京大学・入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 次の条件を満たす組を考える。 条件(A)： " x，y，z は正の整数で x^2 ＋ y^2 ＋ z^2 ＝ xyz および x ≦ y ≦ z を満たす。" 条件 (A) を満たす組 ( x，y，z ) は 無限個存在することを示せ。 (2006年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 数列の和の公式について一般的な考察をしてみよう。 (1) p+1 次多項式 S_p (x) があって Σ{k＝1→n} k^p が S_p (n) と表される事を示せ。 (4) 3以上の奇数pに対し (d/dx) S_p (x)＝p S_(p-1) (x) を示せ。 (2006年 東京大学・入試問題 後期) pic.twitter.com/iu3c5b3Kkz

＜ #東大数学の過去問 ＞ 整数 n を含む方程式 x^n ＋ y^n ＋ z^n ＝ xyz　…① について (1) n＝1の時，①を満たす【自然数】の組 (x,y,z) で x≦y≦z となるものを全て求めよ。 (2) n＝3の時，①を満たす【正の実数】の組 (x,y,z) が存在しない事を示せ。 (2006年・東京大学入試問題・文系)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 数列 a_n を下記で定める。 a_1 = 1 / 2 a_(n+1) = a_n / ( 1 + a_n )^2 (1) lim{n→∞} ( a_1 + a_2 + … + a_n ) / n　を求めよ。 (2) lim{n→∞} n・a_n　を求めよ。 (2006年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 正の整数の下2桁とは， 100 の位以上を無視した数をいう。 たとえば 2000, 12345 の下2桁はそれぞれ 0, 45である。 m が正の整数全体を動くとき， 5 m^4 の下2桁として現れる数を全て求めよ。 (2007年 東京大学・入試問題　文系)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 表が出る確率が p 裏が出る確率が 1－p であるような硬貨がある。(0＜p＜1) この硬貨を投げて，次のルール(R)の下で ブロック積みゲームを行なう。 (R) ①ブロックの高さは，最初…(続きは下図) (2007年 東京大学・入試問題 文理共通) pic.twitter.com/pA1kO0oblw

＜ #東大数学の過去問 ＞ n を 2 以上の整数とする。 平面上に n＋2 個の点 O, P_0, P_1, …, P_n があり， 次の条件をみたしている。 ・線分O P_0の長さは 1。 ・線分O P_1の長さは 1 ＋ 1 / n。 (続きは下図) (2007年 東京大学・入試問題) pic.twitter.com/GOReGCOf2R

＜#東大数学の過去問＞ n, k は自然数. P(x) は次数が n 以上の整式. 整式 { ( 1 + x )^k }・P(x) の n 次以下の項の係数が 全て整数ならば, P(x) の n 次以下の項の係数は 全て整数である事を示せ. ただし定数項については 項それ自身を係数とみなす. (2007年 東京大学・入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 自然数 n に対し f(n) ＝ ( 10^n － 1 ) / 9 ＝ 1111…111 (1がn個) とする。 例えば f(1)＝1 f(2)＝11 f(3)＝111 (1) m を 0 以上の整数とする。 f( 3^m ) は 3^m で割り切れるが 3^(m+1) …(続きは下図) (2008年 東京大学・入試問題) pic.twitter.com/B6ii4eT35w

＜ #東大数学の過去問 ＞ 正八面体の 互いに平行な2つの面について それぞれの重心を G1，G2 とする。 G1，G2 を通る直線を軸として この八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ。 なお八面体は内部も含むものとし，各辺の長さは1とする。 (2008年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 自然数 m≧2に対し m－1 個の二項係数 C( m, 1 ), C( m, 2 ), …, C( m, m－1 ) を考え これらすべての最大公約数を d_m とする。 d_m はこれらすべてを割り切る最大の自然数である。 mが偶数のとき， d_m は 1 または 2 であることを示せ。 (2009年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ (1) |x|＜1，x ≠ 0 のとき次の不等式を示せ。 ( 1 － x )^( 1 － 1/x ) ＜ ( 1 ＋ x )^( 1/x ) (2) 次の不等式を示せ。 0.9999^101 ＜ 0.99 ＜ 0.9999^100 (2009年 東京大学・入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ (1) 全ての自然数 k に対し 次の不等式を示せ. 1 / 2(k＋1) ＜ ∫{0→1} (1－x)(k＋x) dx ＜ 1 / 2k (2) 全ての自然数 m, n (m＞n) に対し 次の不等式を示せ. (m－n) / 2(m＋1)(n＋1) ＜ log( m / n ) － Σ{k＝n+1 → m} 1/k ＜ (m－n) / 2mn (2010年 東京大学)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 3辺の長さが a と b と c の直方体を 長さが b の1辺を回転軸として90°回転させる。 直方体が通過する点全体が作る立体をVとする。 a + b + c = 1 のとき，V の体積の取りうる値の範囲を求めよ。 （2010年・東京大学入試問題）

＜#東大数学の過去問＞ p, q は自然数. 整数 a, b, c で －q ≦ b ≦ 0 ≦ a ≦ p かつ b ≦ c ≦ a を満たすものを考え， このような a, b, c を [ a, b; c ] の形に並べたものを ( p, q ) パターンと呼ぶ. p＝q の時 ( p, q ) パターンの総数を求めよ. (2011年 東京大学・文理共通)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 平面上の点 P(t,0) (t＞0) 原点Oを中心とし点Pを通る円周上を Pから出発して反時計回りに 道のりL(L＞0)だけ進んだ点を Q( u(t), v(t) ) と表す。 f(a)＝∫{a→1} √( {u'(t)}^2＋{v'(t)}^2 ) dt とし lim{a→＋0} f(a) / log a を求めよ。 (2011年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ a は有理数で a = p / q (pは整数. qは自然数) 実数 x の小数部分を〈x〉で表す. 数列 {a_n}: a_1 =〈a〉 a_n ≠ 0 の時, a_{n+1} =〈 1 / a_n 〉 a_n = 0 の時, a_{n+1} = 0 q 以上の全ての自然数 n に対し a_n = 0 である事を示せ. (2011年 東京大学・文理共通)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 座標平面上の点 ( x, y ) が次の方程式を満たす。 2 x^2 + 4 xy + 3 y^2 + 4x + 5y − 4 ＝ 0 このとき，x のとりうる最大の値を求めよ。 (2012年・東京大学入試問題・文系)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 図のように正三角形を9つの部屋に区切り部屋P,Qを定める。 1つの球が部屋Pを出発し 1秒ごとにそのままその部屋にとどまる事なく 辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。 球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ。 (2012年・東京大学入試問題) pic.twitter.com/zXKlpEVDAk

＜ #東大数学の過去問 ＞ n を 2 以上の整数とする。 「自然数 (1以上の整数) の n 乗になる数」を 「n 乗数」と呼ぶことにする。 (1) 連続する 2 個の自然数の積は n 乗数でないことを示せ。 (2) 連続する n 個の自然数の積は n 乗数でないことを示せ。 (2012年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 正方形Sの4つの頂点： A( -1, 1, 0 ) B( 1, 1, 0 ) C( 1, -1, 0 ) D( -1, -1, 0 ) 正方形Sを直線BDを軸として回転させてできる立体をV1 正方形Sを直線ACを軸として回転させてできる立体をV2 とする。 V1とV2の共通部分の体積を求めよ。 (2013年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ (1) 自然数 y に対し x^3 + 3 y x^2 ＜ (x+y-1)(x+y)(x+y+1) ＜ x^3 + (3y+1) x^2 が成り立つ x＞0 の範囲は? (2) n は自然数。 P = n(n+1)(n+2) 「10進表記で，桁の中に 1 が連続して 99 個現れるような数P」 が存在することを示せ。 (2013年 東京大学・入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ r は 0 以上の整数。 数列 {a_n}: a_1 ＝ r a_2 ＝ r ＋ 1 a_{n+2} ＝ a_{n+1}・( a_n ＋ 1 ) p を素数とし， a_2, a_3, a_4, … に p で割り切れる数が現れないとする。 このとき， a_1 も p で割り切れないことを示せ。 (2014年 東京大学・入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 関数 h(x) を次のように定める。 |x|≦1 のとき h(x)＝－(π/2) sin(πx) |x|＞1 のとき h(x)＝0 次の極限を求めよ。 lim{n→∞} n^2 ∫{-1→1} h(nx) log(1＋e^(x+1)) dx (2015年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ サイコロを投げ， 出た目に応じて左から順に文字を書き 右につなげてゆく。 出た目が 1,2,3なら文字AA 4なら文字B 5なら文字C 6なら文字D n回(n≧2)サイコロを投げた時 文字列の左からn－1番目の文字がA かつn番目の文字がBとなる確率は？ (2015年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ a＞0 に対し， 座標平面上で次の放物線を考える。 C: y ＝ a x^2 ＋ (1－4 a^2) / 4a a が正の実数全体を動くとき C の通過する領域を図示せよ。 (2015年 東京大学・入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ C( 2015, m ) が偶数となる最小の m を求めよ。 ここでCは組み合わせの記号で， m は2015以下の正の整数とする。 (2015年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 1 ＜ a ＜ 3 P1 ( 1, 0, 1 ) P2 ( 1, 1, 1 ) P3 ( 1, 0, 3 ) Q ( 0, 0, a ) 直線 P1 Q, P2 Q, P3 Q と xy 平面の交点をそれぞれ R1, R2, R3 とし ⊿ R1 R2 R3 の面積を S(a) とする。 S(a) を最小にする a と その時の S(a) の値は？ (2016年 東京大学・入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 複素数 z について，複素数平面上の3点 A( 1 ) B( z ) C( z^2 ) が鋭角三角形をなすような z の範囲を求め，図示せよ。 (2016年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ p ＝ 2 ＋ √5 とおき， 自然数 n に対し a_n ＝ p^n ＋ (－1 / p)^n と定める。 (1) n≧2 のとき， 積 a_1 a_n を a_{n+1} と a_{n-1} で表せ。 (2) a_n は自然数であることを示せ。 (3) a_{n+1} と a_n の最大公約数を求めよ。 (2017年 東京大学・入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ x 座標と y 座標がいずれも整数である点を格子点と呼ぶ。 最初，点Pが原点Oにある。 点Pは毎秒 x方向に+1 x方向に-1 y方向に+1 y方向に-1 のいずれか一つの移動をする。 それぞれの移動確率は1/4である。 6秒後にPが原点にある確率は？ (2017年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 数列a_1, a_2, …を a_n ＝ C( 2n＋1, n ) / n! で定める。※Cは組み合わせの記号 (1) n≧2とする。 a_n / a_(n-1) を 既約分数 q_n / p_n として表したときの 分母 p_n≧1 と 分子 q_n を求めよ。 (2) a_n が整数となるn≧1を全て求めよ。 (2018年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 複素数α,β,γ,δと 実数a,bが 次の3条件をみたす. 条件1 α,β,γ,δは相異なる 条件2 α,β,γ,δは4次方程式 z^4－2 z^3－2 a z＋b＝0 の解 条件3 αβ＋γδ の 実部は0で 虚部は0でない. α+β が動く範囲を 複素数平面上に図示せよ. (2019年 東京大学)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 次の定積分を求めよ。 ∫{0→1} ( x^2 + x / √( 1 + x^2 ) )・ ( 1 + x / ( ( 1 + x^2 )√( 1 + x^2 ) ) ) dx (2019年・東京大学入試問題・理系)

＜#東大数学の過去問＞ n を 1 以上の整数とする。 (1) n^2 ＋ 1 と 5 n^2 ＋ 9 の 最大公約数 d_n を求めよ。 (2) ( n^2 + 1 )( 5 n^2 + 9 ) は整数の2乗にならないことを示せ。 (2019年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 三角形PQRの面積を⊿PQRで表す。 P,Q,Rが同一直線上にあるときは⊿PQR＝0とする。 A,B,Cを平面上の3点とし ⊿ABC＝1 とする。 平面上の点Xが 2 ≦ ⊿ABX＋⊿BCX＋⊿CAX ≦ 3 を満たしながら動く。 Xの動きうる範囲の面積を求めよ。 (2020年 東京大学・理系 入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ n,kは1≦k≦nを満たす整数。 n個の整数 2^m (m＝0,1,2,…,n－1) から 異なるk個を選び,それらの積をとる。 k個の整数の選び方すべてに対し このような積の和をとり a_(n,k) とおく。 下図の問に答えよ。 (2020年 東京大学・入試問題 文理共通) pic.twitter.com/CkcDQGOaiT

＜ #東大数学の過去問 ＞ a,b,c,pを実数とする。 ax^2＋bx＋c＞0 bx^2＋cx＋a＞0 cx^2＋ax＋b＞0 を全て満たす実数xの集合と， x＞pを満たす実数xの集合が一致している。 下記を示せ。 (1) a,b,cは全て0以上 (2) a,b,cのうち少なくとも1個が0 (3) p＝0 (2020年 東京大学・理系 入試問題)