＜#東大数学の過去問＞ 曲線C: y ＝ f(x) ＝ x / (x^3 ＋ 3) 点 A( 1, f(1) ) における C の接線を L: y ＝ g(x) とする。 (1) C と L の共有点で A と異なるものが ただ1つ存在することを示し， その点のx座標αを求めよ。 (2) ∫{α→1} {f(x)－g(x)}^2 dx を求めよ。 (2021年 東京大学)

＜#東大数学の過去問＞ (2) x^2 / a^2 ＋ y^2 / b^2 ＝1, 及 x＋y＝a ノ囲ム面積ヲ求ム。 (3) x^(x^x) ヲ微分セヨ。 (4) 四辺形ノ各辺ノ長サソレゾレ一定ナルトキソノ面積最大ナルモノヲ求ム。 昭和十年 (1935年) 東京帝国大学・農学部 入試問題「数学」

＜ #東大数学の過去問 ＞ a＞0 pは正の有理数 C_1 y＝a x^p (x＞0) C_2 y＝log x (x＞0) 2曲線の共有点は1点のみとし その共有点をQとする。 2曲線とx軸で囲まれる図形を x軸のまわりに1回転してできる立体の体積は？ ※lim{x→∞} x^p / log x＝∞ を用いてよい。 (2015年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ xyz空間において 点 A ( 0, 0, 0 ) 点 B ( 8, 0, 0 ) 点 C ( 6, 2√3, 0 ) 点Pが⊿ABC の辺上を一周するとき， Pを中心とし半径1の球が 通過する点全体のつくる立体をKとする。 (1) Kを平面z＝0で切った切り口の面積は？ (2) Kの体積は？ (1985年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 25m隔てたP,Qに A,B二人がそれぞれ立ち 同時に向かい合って走り出す。 t秒後のA,Bの速度を PからQへ向く方向を正として u[m/秒]，v[m/秒]とし uは一定 v＝(3/4)t^2－3t BがQに帰るまでに AがBに出会うかまたは追いつくための uの条件は? (1970年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ α＞0 A(-α,-3) 0≦θ≦π P(θ+sinθ, cosθ) f(θ)=(線分APの長さ)^2 1) 0＜θ＜π に f ' (θ)=0 となるθが ただ1つ存在することを示せ. 2) 「0≦θ≦πにおける関数f(θ)は 区間0＜θ＜π/2の ある点において最大になる」 が成り立つαの範囲は? (2021年 東京大学)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 0＜p＜1 q＞0 f(x)＝(1－p) x＋(1－x)(1－e^(－qx)) p＜qのとき， c＝f(c) 0＜c＜1 をみたす実数cが存在することを示せ。 ※必要であれば， 1＋x≦e^x がすべての実数xに対して成り立つことを 証明なしに用いてよい。 (2014年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ ⊿ABC の内部に ⊿A'B'C' をとり 3辺 A'B', B'C', C'A' は各々 ⊿ABC の3辺 AB, BC, CA に平行で 対応する辺の間の距離はいずれもh。 a＝BC b＝CA c＝ABとする。 ⊿A'B'C' の周が ⊿ABC の周の 1/2 であるとき h を a, b, c で表わせ。 (1959年 東京大学・入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ y＝∫{0→x} sint / t dt (x≧0)の概略のグラフを描け。 昭和二十一年 (1946年) 東京大学・工学部 入試問題

＜ #東大数学の過去問 ＞ 点 A, B, C はそれぞれ x, y, z 軸上の正の部分にあり， AB＝2L－1 BC＝2L CA＝2L＋1 ( L＞2) 四面体ABCDのすべての面は合同である。 四面体ABCDの体積を V(L) とするとき， 次の極限値を求めよ。 lim{L→2} V(L) / √(L－2) (1993年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ xy平面上の y≧x^2 で表される領域をDとする。 Dに含まれる1辺の長さ t の正方形で 各辺が座標軸と平行または45°の角をなすものを 全て考える。 このとき これらの正方形の中心の y 座標の最小値を t の関数として表し，そのグラフをかけ。 (1983年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ xyz空間で O(0,0,0) A(1,0,0) B(0,1,0) 0＜r＜1 とし， 空間内の点Pで |↑PA|＝|↑PB|＝r |↑PO| を満たすものが存在するとする。 内積 ↑PA・↑PB の 最大値 M(r) 最小値 m(r) 左からの極限 lim{r→1－0} (1－r)^2 {M(r)－m(r)} の値は? (1997年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ xyz空間において次のような 3つの互いに合同な長方形 L_1, L_2, L_3を考える。 L_1: xy平面に含まれ， P_1 (a, b, 0) Q_1 (－a, b, 0) R_1 (－a, －b, 0) S_1 (a, －b, 0) を頂点とする。 続きは下図参照 (2002年 東京大学・入試問題 後期) pic.x.com/jkkBXOvoKW

＜ #東大数学の過去問 ＞ Cを y＝x^3－x (－1≦x≦1) で与えられる xy平面上の図形とする。 次の条件をみたす xy平面上の点P全体の集合を図示せよ。 「Cを平行移動した図形で 点Pを通り，もとの図形Cとの共有点が ただ1点であるようなものが ちょうど3個存在する」 (1988年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 数列 {p_n} p_1＝1 p_2＝2 p_(n+2)＝( (p_(n+1))^2 ＋1 ) / p_n 数列 {q_n} q_1＝1 q_2＝1 q_(n+2)＝q_(n+1)＋q_n (1) ( (p_(n+1))^2＋(p_n)^2＋1 ) / ( p_(n+1) p_n ) が n によらないことを示せ。 (2) n≧1 の時 p_n＝q_(2n-1) を示せ。 (2015年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 座標平面上で x(t)＝(1＋t)√(1＋t) y(t)＝3(1＋t)√(1－t) P( x(t), y(t) ) tが－1≦t≦1を動くときのPの軌跡をCとし Cとx軸で囲まれた領域をDとする。 原点を中心として Dを時計回りに90°回転させるとき Dが通過する領域の面積は? (2020年 東京大学・理系 入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 半径 r なる円より扇形を切り取り残余を以て成るべく大なる体積を有する直円錐を作らんとす切り取るべき角の大き及び直円錐の高さを索めよ。 大正十一年 (1922年) 東京帝国大学・理学部 入試問題「数学」

＜ #東大数学の過去問 ＞ kを実数の定数とし f(x) ＝ | x^3 － 3kx | が －1 ≦ x ≦ 1 の範囲でとる最大値をM(k)とする。 k が実数全体を動くとき， M(k) が最小となる k の値 および M(k) の最小値を求めよ。 (1977年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 長さ2の線分ABが 次の2条件を同時に満たしながら 座標空間内を動く。 (a) 点Aは平面z＝0上にある (b) 点C(0,0,1)が線分AB上にある この時，線分ABが通過できる範囲をKとする。 Kと不等式 z ≧ 1 の表す範囲との共通部分の体積を求めよ。 (2016年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ xy平面で x ≧ 0 y ≧ 0 xy ≦ 1 をみたす点の集合をDとする。 三点 A ( a, 0 ) ※a≧0 B ( 0, b ) ※b≧0 A ( c, 1/c ) ※c＞0 を頂点とし，Dに含まれる三角形ABCは どのような場合に面積が最大となるか。 また面積の最大値を求めよ。 (1986年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 平面上の楕円C: x^2 / 2 ＋ y^2 ＝ 1 0＜r＜1 とし， 2 x^2 ＋ y^2 ＜ r^2 が表す領域を D とおく。 D 内のすべての点 P が 下図の条件を満たすような 実数 r (0＜r＜1) が存在することを示せ。 (2020年 東京大学・入試問題 理系) pic.x.com/fytrLvzi7U

＜#東大数学の過去問＞ 2つの相交はらざる球の中心 A, B の距離 c， 其半径を a, b とし 直線 AB 上に一点 P を取り， P に於ける光源によりて照らさる 二球表面の面積を最大ならしめんとす P の位置を求めよ。 大正十二年 (1923年) 東京帝国大学・理学部 入試問題「数学」

＜ #東大数学の過去問 ＞ a,bは正の数 xy平面上で, A(a,0) B(0,b) C:第１象限の点 ABCは正三角形 (1) 三角形ABCが D＝{(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1} に含まれるような(a,b)の範囲は? (2) (a,b)が(1)の範囲を動く時 三角形ABCの面積Sが最大となる(a,b)と その時のSの値は? (1997年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 1つの定点に至る距離と1つの定直線に至る距離との比が一定なる点の軌跡を求む。 大正十二年 (1923年) 東京帝国大学・理学部 入試問題「数学」

＜ #東大数学の過去問 ＞ xy平面上の双曲線 x^2 / a^2 － y^2 / b^2 ＝ 1 上の点Pにおける接線と 2つの漸近線との交点をQ,Rとする。 原点をOとし 三角形OQRの面積をSとする。 a＝5e^(2t)＋e^(－t) b＝e^(2t)＋e^(－t) として 実数tを変化させるとき， Sの最小値は？ (1995年・東京大学入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ f( x, √( x^2 － 1 ) ) が x と √( x^2 － 1 ) との有理関数なるとき， ∫ f( x, √( x^2 － 1 ) ) dx を索むる方法を示せ。 大正十三年 (1924年) 東京帝国大学・理学部 入試問題「数学」

＜#東大数学の過去問＞ 楕円の短軸の一端より引ける弦の中にて極大なるものを索めよ 大正十三年 (1924年) 東京帝国大学・理学部 入試問題「数学」

＜ #東大数学の過去問 ＞ 複数のボールを某地へ運搬する。 x人が毎回y個ずつ運ぶとちょうど往復9回かかる。 xを7名増やしyを20個減らすとちょうど往復8回かかる。 xを4名減らしyを10個増やすとちょうど往復10回かかる。 ボールの個数とxを求めよ。 (1936年・東京大学入試問題。問題文を一部修正)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 三角形 ABC において BC＝32 CA＝36 AB＝25 とする。 この三角形の二辺の上に両端をもつ線分 PQ によって， この三角形の面積を二等分する。 そのような PQ の長さが最短になる場合の P と Q の位置を求めよ． (1975年・東京大学入試問題・理系)

＜#東大数学の過去問＞ (1) 定楕円に外接する長方形の 対角線の長さが 一定であることを証明せよ。 (2) 0 ＜ θ ＜ π/2 の時 sinθ ≧ 2θ / π を証明せよ。 (3) ∫{0→∞} { x / ( 1 ＋ x ＋ x^2 )^(3/2) } dx 昭和21年(1946年) 東京大学・理学部 入試問題

＜ #東大数学の過去問 ＞ (i) 微分係数(導函数とも云う)の定義を述べよ。 (ii) 定義に従って cos x に関する微分係数を求めよ。 (1946年 東京大学・薬学科 入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 次の不定積分を計算せよ。 ∫ dx / ( x－√(x^2－1) ) (1946年 東京大学・医学部 入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 点 ( x, y ) は， 原点を中心とする半径 1 の円の内部を動く。 点 ( x＋y, xy ) の動く範囲を図示せよ。 (1954年 東京大学・入試問題) ※５０年後，2005年の東工大の前期数学で 同じ問題が出題された。

＜ #東大数学の過去問 ＞ ⊿ABC の辺 BC の中点を M とする。 ∠BAM＋∠ACB が直角であるとき， ⊿ABC はどのような形であるか。 (1957年・東京大学入試問題)

＜ #東大数学の過去問 ＞ 連立方程式 0.5 x ＋ 1.2 y ＝ 4.1 0.3 x ＋ 1.8 y ＝ 4.4 がある。 左辺の係数および右辺の数値が いずれも小数第二位を 四捨五入した近似値であるとすれば， x の真の値はどのような範囲にあるか。 (1958年 東京大学・入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 放物線 C が 下の条件 (i), (ii) を満たしながら動く。 (i) C は 放物線 y ＝ x^2 を平行移動して得られる。 (ii) C は 放物線 y ＝ 1 － x^2 に接する。 このとき C の頂点のえがく図形を求めよ。 (1960年 東京大学・入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 水平におかれた机に， 直角をはさむ二辺の長さが それぞれ 9 [cm], 12 [cm] であるような 直角三角形の穴をあけ， この穴に半径 5 [cm] の球をのせる。 この球の 机の表面より上にある部分の体積を求めよ。 (1960年 東京大学・入試問題)

＜#東大数学の過去問＞ 水道料金＝ 基本料金(120円)＋ 超過料金(1か月の使用水量がA(整数)㎥を超えた場合1㎥あたりB円)＋ メーター使用料(10の整数倍で50円以下のC円) ある家の水道代金： 　使用水量　水道料金 1月 23㎥ 332円 2月 19㎥ 276円 A, B, C を定めよ。 (1960年 東京大学)

＜#東大数学の過去問＞ 正の整数 x が2進法で書かれているとき 右から3桁ずつ区切っていき 2進法で各区切りの表す数 y_0, y_1, …, y_m を考える。 これらの和 y_0 ＋ y_1 ＋ … ＋ y_m が 7 で割り切れるならば， x も 7 で割り切れることを証明せよ。 (1970年 東京大学・入試問題 文系)

＜#東大数学の過去問＞ 三角形 ABC の外心を O とし， 3辺 BC, CA, AB に関して O と対称な3点を それぞれ A', B', C' とする。 三角形 A' B' C' は 三角形 ABC に合同であることを証明せよ。 (1960年 東京大学・入試問題)