＜ #京大数学の過去問 ＞ 正の数列 a_n (n＝1,2,3,…) が， 不等式 (a_n)^3 + 3 (a_n)^2 - (9 + 1/n) a_n + 5 ＜ 0 を満たしている。 次の (i), (ii) を証明せよ。 ただし，(ii) を先に証明してもよい。 (i) lim{n→∞} a_n ＝ 1 (ii) (a_n - 1)^2 ＜ 1 / (4n) (1976年・京都大学入試問題)

＜ #京大数学の過去問 ＞ n個の自然数 a_1, a_2, …, a_n を 条件(1),(2) を同時にみたすよう選ぶ時 選び方は何通りあるか? (1) どの a_i も 1, 2, …, m (m＞n) の中から選ぶ。 (2) a_1, a_2, …, a_n のうち 適当な n－1 個を選べば それらは互いに異なる。 (1977年 京都大学・入試問題 文系)

＜ #京大数学の過去問 ＞ p が素数であれば， どんな自然数 n についても n^p － n は p で割り切れる。 このことを，n についての数学的帰納法で証明せよ。 (1977年 京都大学・入試問題 文系)

＜#京大数学の過去問＞ f(x)は実数係数多項式 1) "全ての整数kに対し f(k)が整数である必要十分条件は, f(0)が整数で, 全ての整数kに対しf(k)－f(k-1)が整数となる事" を示せ. 2) f(x)＝ax^2+bx+c の時, 全ての整数kに対しf(k)が整数となる a,b,cの必要十分条件は? 1978年 京都大学・文系

＜ #京大数学の過去問 ＞ m, n は整数とし f(x)＝x^3＋m x^2＋nx＋2 とおく。 (1) 方程式 f(x)＝0 が 少なくとも1つの整数解をもつために m, n が満たすべき必要十分条件を求めよ。 (2) |m|≦5, |n|≦5 の範囲で (1)の条件を満たす m, n の組は何通りあるか。 (1978年 京都大学 入試問題)

＜ #京大数学の過去問 ＞ a, b, c を正の数とするとき 不等式 2{ (a＋b)/2 - √ab } ≦ 3{ (a＋b＋c)/3 - (abc)^(1/3) } を証明せよ。 また，等号が成立するのはどんな場合か。 (1978年・京都大学入試問題)

＜ #京大数学の過去問 ＞ f(x)＝a x^3＋b x^2＋cx を xの3次式とする。 すべての整数 n に対して f(n) が整数となるための必要十分条件は, 適当な整数 p, q, r をとると f(x)＝(p/6) x(x＋1)(x＋2) ＋ (q/2) x(x＋1) ＋ rx と表されることであることを示せ。 (1988年・京都大学入試問題　文系)

＜ #京大数学の過去問 ＞ n≧3として， n 個の実数 a_1, a_2, …, a_n があり どの a_i も他の n - 1 個の相加平均より大きくはないという。 このような a_1, a_2, …, a_n の組をすべて求めよ。 (1989年・京都大学入試問題・理系)

＜ #京大数学の過去問 ＞ a,bは互いに素な正の整数。 O( 0, 0 ) A( a, b ) B( a, b＋1 ) C( 0, 1 ) (1) 平行四辺形OABCの内部(辺は含まない)に 格子点はいくつあるか? (2) (1)の格子点全体を P_1, …, P_i とするとき 三角形 O P_i A の面積のうちの最小値は? (1989年 京都大学・入試問題 後期)

＜ #京大数学の過去問 ＞ 2つの奇数 a, b に対して m＝11 a＋b, n＝3 a＋b とおく。 次の (1), (2) を証明せよ。 (1) m, n の最大公約数は, a, b の最大公約数を d として, 2d, 4d, 8d のいずれかである。 (2) m, n がともに平方数であることはない。 (1989年 京都大学・入試問題 後期文理共通)

＜ #京大数学の過去問 ＞ 5 つの実数 a1, a2, a3, a4, a5 があり どの a も他の 4 つの相加平均より大きくはないという。 このような a1, a2, a3, a4, a5 をすべて求めよ。 (1989年・京都大学入試問題・文系)

＜ #京大数学の過去問 ＞ 三角形 ABC において ∠B＝60°, B の対辺の長さ b は整数, 他の 2 辺の長さ a, c はいずれも素数である。 このとき三角形 ABC は 正三角形であることを示せ。 (1990年 京都大学・入試問題 文理共通)

＜ #京大数学の過去問 ＞ n は奇数。 f(x)＝| sin( 2πx / n ) | (1) 集合 { f(k) | k は整数 } はいくつの要素を持つか? (2) m, n を互いに素な整数とすると 集合 { f( mk ) | k は 0 ≦ k ≦ (n－1)/2 なる整数 } は m によらず一定であることを示せ。 (1990年 京都大学・後期理学部 入試問題)

＜#京大数学の過去問＞ 1からn(≧4)までの n個の自然数から2個を取り出し 大きい方を X_1 小さい方を Y_1 とする. 次に 残りの n－2 個の自然数から2個を取り出し 大きい方を X_2 小さい方を Y_2 とする. この時 X_1＋Y_1, X_1, Y_2 の各々の期待値は? (1991年 京都大学・後期 文理共通)

＜#京大数学の過去問＞ 原点を始点とする 長さ1の空間ベクトル ↑a, ↑b, ↑c がある. ↑a, ↑b のなす角 γ ↑b, ↑c のなす角 α ↑c, ↑a のなす角 β 0 ≦ (cos α)^2＋(cos β)^2＋(cos γ)^2 － 2 cos α cos β cos γ ≦ 1 を示せ. 等号はいつ成立するか? (1991年 京都大学・後期)

＜ #京大数学の過去問 ＞ f(x) は x に関する n 次の整式(多項式)とする。 (n≧0) ある定数 c があって f( x ＋ y ) － f( x ) ＝ y f ′ ( x ＋ cy ) が成立すれば， f( x ) の次数は 2 以下であることを示せ。 (1991年 京都大学・入試問題 後期理系)

＜ #京大数学の過去問 ＞ 整数を係数とする3次の多項式 f(x) が 次の条件 (*) を満たしている。 (*) 任意の自然数 n に対して f(n) は n(n＋1)(n＋2) で割り切れる。 このとき，ある整数 a があって f(x)＝ax(x＋1)(x＋2)となることを示せ。 (1991年 京都大学 入試問題)

＜ #京大数学の過去問 ＞ 袋の中に N 個の白玉と 3 個の赤玉がある。 「袋の中の (N + 3) 個の玉から無作為に 1 個を取り出し， 次に外部にある白玉を 1 個袋に入れる」 という試行を繰り返す。 n 回目の試行で赤玉をとり出す確率 P_n を求めよ。 (1991年・京都大学入試問題)

＜#京大数学の過去問＞ a1,b1,c1は正の整数で (a1)^2＋(b1)^2＝(c1)^2 a_{n+1}＝| 2c_n－a_n－2b_n | b_{n+1}＝| 2c_n－2a_n－b_n | c_{n+1}＝3c_n－2a_n－2b_n 1) c_n＞0 c_n≧c_{n+1} を示せ. 2) c_m ＞ c_{m+1} = c_{m+2} となった時のmについて a_m：b_m：c_mは? (1992年・京都大学)

＜ #京大数学の過去問 ＞ kは整数でk≧0とする。 方程式 x^2－y^2＝k の解(a,b)でa,bがともに奇数であるものを奇数解とよぶ。 (1) x^2－y^2＝k が奇数解をもてば, k は 8 の倍数であることを示せ。 (2) x^2－y^2＝k が奇数解をもつための必要十分条件は? (1992年 京都大学・入試問題 後期文系)

＜ #京大数学の過去問 ＞ θ は 0＜θ＜π/2 の範囲の角とする。 (1) sin 3θ ＝ sin 2θ を満たすθを求めよ。 (2) m, n を 0 以上の整数とする。 θ についての方程式 sin 3θ ＝ m sin 2θ＋n sin θ が解をもつときの (m, n) と,その時の解 θ を求めよ。 (1992年 京都大学入試問題 文理共通)

＜ #京大数学の過去問 ＞ a は正の定数とする。 不等式 a^x ≧ ax がすべての正の数 x に対して成り立つという。 このとき a はどのようなものか。 (1993年 京都大学・入試問題 後期)

＜#京大数学の過去問＞ n は 0 以上の整数. {a_n}: a_0 ＝ 1 a_1 ＝ 2 a_{n+2} ＝ a_{n+1} ＋ a_n a_n を 3 で割った余りを b_n とし c_n ＝ b_0 ＋ … ＋ b_n とする. (1) c_{n+8} ＝ c_n ＋ c_7 を示せ. (2) n＋1 ≦ c_n ≦ (3 / 2)(n＋1) を示せ. (1994年 京都大学・入試問題)

＜#京大数学の過去問＞ u, v, c は整数. p は素数. u はpで割り切れない. {c_n}: c_0 = 0 c_1 = c c_{n+2} － u・c_{n+1} ＋ v・c_n = 0 (n≧0) ある自然数 k について c_k と c_{k+1} が p で割り切れるなら, 全ての n に対し c_n は p で割り切れることを示せ. (1994年 京都大学・後期)

＜ #京大数学の過去問 ＞ Aは0,1,2,…,nと書かれた(n＋1)枚の札を Bは1,2,…,nと書かれたn枚の札をもつ。 まずBがAの札を1つ取り 番号の一致する札があればその2枚を捨てる。 次いでAも同様にし 先に札のなくなったほうが勝ちとする。 Aが勝つ確率p_nを求めよ (1995年 京都大学・入試問題 後期)

＜ #京大数学の過去問 ＞ a，b は a ＞ b をみたす自然数とし， p，d は素数で p ＞ 2 とする。 このとき， a^p − b^p = d であるならば， d を 2p で割った余りが 1 であることを示せ。 (1995年・京都大学入試問題)

＜ #京大数学の過去問 ＞ f(n)＝(n を7で割った余り) g(n)＝3f( Σ{k＝1→7} k^n ) とする。 あなたの好きな自然数nを1つ決め g(n) を求めよ。 その g(n) の値をこの設問の得点とする。 ※注記：なぜその n によって g(n) が最大化されるのか理由も示せ。 (1995年・京都大学入試問題・後期文系)

＜ #京大数学の過去問 ＞ x, y は x＋y＞0， x－y＞0 をみたす実数とする。 ある4面体のある隣り合う2辺の長さが √(x＋y), √(x－y) で， 残り4辺の長さはすべて1であるという。 このような条件をみたす 点 (x, y) の存在範囲を図示せよ。 (1996年・京都大学 入試問題・後期理系)

＜ #京大数学の過去問 ＞ m, n は自然数で m ＜ n をみたすものとする。 m^n＋1 と n^m＋1 が ともに10の倍数となるような m, n を1組与えよ。 (1996年・京都大学 入試問題・後期理系)

＜#京大数学の過去問＞ nは自然数 1) 全ての実数θに対し, cos nθ＝f_n(cosθ) sin nθ＝g_n(cosθ) sinθ を満たし 係数が全て整数である n次式f_n(x)と n-1次式g_n(x)が存在する事を示せ. 2) 素数p≧3. f_p(x)のp-1次以下の係数は 全てpで割り切れる事を示せ. (1996年 京都大学・ 後期)

＜#京大数学の過去問＞ kは自然数. [ ]はガウス記号. a_1 = 0 a_n = [ ( a_{n-1} + k ) / 3 ] 1) 全ての自然数nに対し a_n ≦ (k-1)/2 a_n ≦ a_{n+1} を示せ 2) a_n = a_{n+1} ならば n以上の全ての自然数mに対し a_n = a_m である事を示し この時の a_n の値を求めよ (1996年 京都大学)

＜ #京大数学の過去問 ＞ a≧0 とする。 －1/2 ≦ (x－y) / (x＋y) ≦ 1/2 をみたすすべての正の実数 x, y に対し， x^3 － 3 a^2・x・y^2 ＋ 2 y^3 ≧ 0 が成り立つような a の範囲を求めよ。 (1996年・京都大学 入試問題・後期)

＜ #京大数学の過去問 ＞ (1) cos 5θ＝f( cosθ ) をみたす多項式 f(x) を求めよ。 (2) cos( π/10 )cos( 3π/10 )cos( 7π/10 )cos( 9π/10 ) ＝5 / 16 を示せ。 (1996年・京都大学 入試問題・後期)

＜ #京大数学の過去問 ＞ pは素数 a_0, …, a_(n-1)は整数 f(x)＝x^n +p・a_(n-1)・x^(n-1) +… +p・a_i・x^i +… +p・a_0　 (n≧2) (1) f(x)＝0が整数解αを持てば αはpで割り切れる事を示せ (2) a_0がpで割り切れなければ f(x)＝0は整数解を持たない事を示せ (1996年・京都大学入試問題　文系)

＜ #京大数学の過去問 ＞ 自然数nの約数の個数をdとする。 nの約数すべてを小さい順に並べて得られる数列を a_k (1≦k≦d)とする。 次の2つの条件が同値であることを示せ。 (イ) nは60の倍数 (ロ) nは6個以上の約数を持ち 1 / a_3 ＋ 1 / a_6 ＝ 1 / a_2 (1997年 京都大学 入試問題・文系)

＜ #京大数学の過去問 ＞ n が，相異なる素数 p, q の積 n = pq であるとき (n − 1) 個の数 nCk ( 1 ≦ k ≦ n − 1 ) の最大公約数は 1 であることを示せ． (1997年・京都大学入試問題)

＜#京大数学の過去問＞ 1) m, n は正整数. cos m° sin m° cos n° sin n° の全てが有理数である時 cos(m＋n)° sin(m＋n)° はともに有理数である事を示せ. 2) n が60の約数の時 cos n° と sin n° のうち 少なくとも一方は無理数である事を示せ. (1997年 京都大学・後期 文系)

＜ #京大数学の過去問 ＞ 箱の中に青,赤,黄のカードが 3枚,2枚,1枚入っている。 1回の試行で箱からカードを1枚取り出し 取り出したカードと同じ色のカードを1枚加え 再び箱の中に戻す。 n回目の試行が完了した時 箱の中にある青のカードの枚数の期待値E(n)は? (1997年 京都大学・入試問題 後期)

＜#京大数学の過去問＞ f(x)=x^2+7 nは自然数 1) n≧3で ある自然数aに対し f(a) が 2^n の倍数となる時, f(a) と f( a+2^{n-1} ) の少なくとも一方は 2^{n+1} の倍数である事を示せ. 2) 任意のnに対し, f( a_n ) が 2^n の倍数となる 自然数 a_n が存在する事を示せ. (1998年 京都大学)