#数学コーヒーブレイク シンプルなのに，なぜ解けない…！？ 問: 四角形 ABCD に対角線を２本引く。 ∠B と ∠C が対角線で分割される角度を 図のように p, q, r, s とおく。 ∠ADB は何度？ ※計算しづらかったら 角度に具体的な数値を代入して解いてみてね pic.x.com/Cm2u6u717z

#数学コーヒーブレイク Aliceは， 公表したいメッセージの整数mを 秘密鍵dで署名し 署名済みメッセージsを作る. そして，s とともに 公開鍵(e,n)を公表する。 下記を示せ. 1) Bobは(s,e,n)からmを知る事が可能. 2) Bobは(m,e,n)からsを作る事が不可能. x.com/Todai_Exam_Tan…

#数学コーヒーブレイク フェルマー数 F_n = 2^{2^n}＋1 (1) F_n を F_{n-1} で表せ. (2) F_n を F_0 から F_{n-1} までの積 F_0 … F_{n-1} で表せ. (3) どのフェルマー数も 互いに素であることを示せ. (4) F_0, …, F_4 は素数. それより大きな F_n で 素数であるものが存在するか?

#数学コーヒーブレイク [x]はxを越えない最大の整数. f(x) = 1 / [x] g(x) = 1 / x F(t) = ∫{1→t} f(x) dx G(t) = ∫{1→t} g(x) dx 1) 1つの図の中に y＝f(x) と y＝g(x) との概形を描け. 2) F(∞)＝∞ G(∞)＝∞ を示せ. 3) F(∞) － G(∞) が ある正の定数に収束する事を示せ.

#数学コーヒーブレイク 0 でない整数 x が 「素数 p で何回割り切れるか」を ν_p ( x ) と書く. p は奇素数. x, y は p で 割り切れない整数. x－y は p の倍数. この時 ν_p ( x^n － y^n ) ＝ ν_p ( x － y ) ＋ ν_p ( n ) である事を示せ. ※LTEの補題 (Lifting-the-exponent lemma)

#数学コーヒーブレイク 秘密鍵dを使うと， s＝(m^d) mod n により 平文メッセージmから 署名済みメッセージsを作成できる。 公開鍵(e,n)を使うと， m＝(s^e) mod n により 署名済みメッセージsから 平文メッセージmを復号化し， 署名の有効性を検証できる。 x.com/Todai_Exam_Tan…

#数学コーヒーブレイク 条件(*) 「実数 s に対し 整数係数の多項式 f(s) で f(s)＝0 となるものが存在する。」 α は条件(*)を満たし， 0でも1でもない。 β は条件(*)を満たし， 有理数ではない。 このとき α^β は 条件(*)を満たさないことを示せ。 (ゲルフォント=シュナイダーの定理)

#数学コーヒーブレイク フェルマー数 F_n ＝ 2^{2^n}＋1 F_0, …, F_4 は素数. (フェルマー素数) (1) n ≧ 2 の時 F_n の全ての素因数が p ＝ k・2^{n+2} + 1 の形をしていることを示せ. ※ヒント: フェルマーの小定理を使う (2) (1)で k=5 の場合を調べ F_5 が素数でないことを示せ.

#数学コーヒーブレイク 2倍角, 3倍角, 半角, 和積, 積和の公式… もちろんスラスラ言えますよね！ 「n 倍角」はどうですか？ 難関大でよく出ますよ！ 「三角関数のn倍角」sin nθ, cos nθ, tan nθ の良問！ チェビシェフ多項式, ド・モアブルの定理, オイラーの公式 togetter.com/li/1486613 .

#数学コーヒーブレイク 「オイラーの定理」 n未満で nと互いに素な自然数の個数を φ(n) とおく。(＝オイラー関数) 整数 a, n が互いに素なら a^{ φ(n) } ≡ 1 (mod n) 問: このオイラーの定理が， フェルマーの小定理の一般化であることを示せ。 解答は下記 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95…

#数学コーヒーブレイク 楕円積分 1) ∫ √( 1－{sin θ}^2 ) dθ 一瞬！ 2) ∫ 1 / √( 1－{sin θ}^2 ) dθ ＝∫ ( 1 / cos θ ) dθ＝… 計算できる！ ↑に係数k＞0を付与 3) ∫ √( 1－k {sin θ}^2 ) dθ 4) ∫ 1 / √( 1－k {sin θ}^2 ) dθ 計算した事はありますか…?

#数学コーヒーブレイク 1) Σ{n=1→∞} 1 / n → ∞ を示せ 2) Σ{n=1→∞} 1 / n^2 → π^2 / 6 を示せ 3) Σ{n=1→∞} 1 / n^3 → (2π^2 / 7) log2＋(16/7)∫{0→π/2} x log sin x dx を示せ 4) Σ{n=1→∞} 1 / { n^3・(sin n)^2} は，いかなる値に収束(or発散)するか? #FlintHills級数

#数学コーヒーブレイク 1729 ＝1^3＋12^3 ＝9^3＋10^3 タクシー数1729が 立方数ではないことを 2通りの方法で証明せよ。 (方法1) 素因数分解すると 1729＝7・13・19より 3乗の形に表せない。// (方法2) フェルマーの最終定理より x^3＋y^3＝z^3 の自然数解は存在しないから。// ←笑

#数学コーヒーブレイク フェルマーの小定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95… "素数pが法の時 整数と そのp乗は同じ扱い(合同)" a^p ≡ a (mod p) a^{p-1} ≡ 1 (mod p) pとaは素 p乗やp-1乗という累乗操作を消し べき乗の無いシンプルな形に変換できる点で価値がある 証明の出題例:1977京大

#数学コーヒーブレイク (リウヴィル数) 条件(*) 全ての自然数nに対し 0＜ |α － p/q| ＜1 / q^n を満たすような 既約分数 p/q が存在. 1) α = Σ{k=1→∞} 10^{－(k!)} は(*)を満たす事を示せ. 2) 1) の α について 整数係数の多項式 f(x) で f(α)＝0 となるものが 存在しない事を示せ.

#数学コーヒーブレイク TeX(テフ)記法 数式を書く世界標準の方法。 大学生の必須スキル。 レポートや論文のPDFはTeXで作成します。 例 xのn乗(右上添え字) x^n 右下添え字 a_n 積分 \int_{0}^{1} f(x) dx 和と分数 \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} 極限 \lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n

#数学コーヒーブレイク 自然数の k 乗に関する j 個の和で n 通りに表せる最小の自然数を 一般化タクシー数と呼び Taxicab(k, j, n) で表す. 例 Taxicab(1, 2, 2) = 4 = 1+3 = 2+2 問 あなたの好きな自然数k(k≧5)を1つ選び Taxicab(k, 2, 2) を求めよ. その値をこの設問の得点とする.

#数学コーヒーブレイク 90－79＝11 790－679＝111 6790－5679＝1111 56790－45679＝11111 … (1桁ずつ増やす) 123456790－12345679＝111111111 (*) (*)の左辺 ＝12345679×(10－1) ＝12345679×9＝Aとおく。 (*)の右辺は 1が9桁並ぶので， Aに任意の1桁の整数Bをかけると Bが9桁並ぶ。

#数学コーヒーブレイク 公式暗記ではなく 帰納法も使わず 証明して下さい. (1) S_1 ＝ Σ{k=1→n} k ＝ n(n+1)/2 を証明せよ. (2) k^{n+1} － (k－1)^{n+1} が k の n 次式であることを示せ. (3) (2)を使い S_2 ＝ Σ{k=1→n} k^2 S_3 ＝ Σ{k=1→n} k^3 S_4 ＝ Σ{k=1→n} k^4 を求めよ.

#数学コーヒーブレイク n が2以上の自然数のとき n! は平方数になれません。 ( √(n!) は無理数) このことは，高校生でも(初等的に) 証明できます。 あなたは何も見ず証明できますか? ※解答は下記 chart.co.jp/subject/sugaku… ベルトラン=チェビシェフの定理の初等的な証明を利用します。

#数学コーヒーブレイク 「2つの立方数の和として n 通りに表せる最小の自然数」を n 番目のタクシー数と呼び， Ta( n ) で表す。 (1) Ta( 1 ) ＝ 1 を示せ。 (2) Ta( 2 ) ＝ 1729 を示せ。 (3) 全ての自然数 n に対し Ta( n ) が存在する事を示せ。 ※1954年に(あの)ハーディーが証明

#数学コーヒーブレイク 整数論の種類，知ってますか？ ▶初等整数論 組み合わせや素因数分解など 易しめの知識で解けるやつ ▶解析的数論 微積分や無限和など解析学を駆使 ▶代数的数論 (超越数論も) 方程式の解になれる数を考える ▶数論幾何 曲線上に有理点や格子点が存在するかetc

#数学コーヒーブレイク 楕円積分 1) ∫ √( 1－{sin θ}^2 ) dθ 一瞬！ 2) ∫ 1 / √( 1－{sin θ}^2 ) dθ ＝∫ ( 1 / cos θ ) dθ＝… 計算できる！ ↑に係数k＞0を付与 3) ∫ √( 1－k {sin θ}^2 ) dθ 4) ∫ 1 / √( 1－k {sin θ}^2 ) dθ 計算した事はありますか…?

#数学コーヒーブレイク 整数 k は 9 で割ったときの余りが 4 でも 5 でもないとする。 このとき， x, y, z に関する方程式 x^3 ＋ y^3 ＋ z^3 ＝ k の整数解 ( x, y, z ) の個数を求めなさい。 ただし，値を入れ換えただけの解は 同一の組み合わせと見なす。

#数学コーヒーブレイク 「x 以下の素数の個数」を π(x) とおくと, lim{n→∞} { π(x)・log x } / x = 1 ↑ この式は, 高校生でも(初等的に) 証明できます。 あなたは, 何も見ず証明できますか? ※解答は下記URL jstor.org/stable/1969455… 1949年 セルバーグによる素数定理の初等的証明

#数学コーヒーブレイク 自然数 1, 2, 3, … を 小数点以下に順番につなげて， 定数 c ＝ 0.123456789101112131415161718192021... を作る。 (1) c は有理数か？(証明せよ) (2) 整数係数の多項式 f(x) で f(c) ＝ 0 となるものが存在するか？(証明せよ) #チャンパーノウン定数

#数学コーヒーブレイク #カタラン数 凸なn+2角形で 頂点同士を結ぶ線を互いに交差しないように引き n個の三角形に分割する方法がK(n)通りとする. 1) K(n)をnで表せ. 2) N=2^k-1(kは自然数)であるNをメルセンヌ数という. K(n)が奇数となる必要十分条件は nがメルセンヌ数である事を示せ.

#数学コーヒーブレイク x^3 ＋ y^3 ＋ z^3 = 35 の整数解として (x,y,z)＝(3,2,0) がある. x^3 ＋ y^3 ＋ z^3 = 34 の整数解として (x,y,z)＝(3,2,-1) がある. 下記の各々の整数解を求めよ. (1) x^3 ＋ y^3 ＋ z^3 ＝ 33 (2) x^3 ＋ y^3 ＋ z^3 ＝ 42 (3) x^3 ＋ y^3 ＋ z^3 ＝ 114

#数学コーヒーブレイク どのような自然数 n を考えても， n と 2n の間に 必ず素数が存在します。 (n＜p≦2n) 例: 1＜2≦2 2＜3≦4 3＜5≦6 4＜7≦8 … この定理は，高校生でも(初等的に) 証明できます。 あなたは，何も見ず証明できますか？ ※ベルトラン=チェビシェフの定理

#数学コーヒーブレイク 対数積分 (1)　∫ log x dx 一瞬！ (2)　∫ ( log x ) / x dx 置換積分で暗算！ (3)　∫ 1 / ( x log x ) dx 置換積分で暗算！ (4)　∫ x log x dx 置換積分と部分積分で！ (5)　∫ 1 / ( log x ) dx (1)を逆数にしただけです。計算してみた経験，ありますか…？

#数学コーヒーブレイク 対数積分 (1)　∫ log x dx 一瞬！ (2)　∫ ( log x ) / x dx 置換積分で暗算！ (3)　∫ 1 / ( x log x ) dx 置換積分で暗算！ (4)　∫ x log x dx 置換積分と部分積分で！ (5)　∫ 1 / ( log x ) dx (1)を逆数にしただけです。計算してみた経験，ありますか…？

#数学コーヒーブレイク 自然数n乗和 Σ{i=1→k} (x_i)^n = y^n ① ▶フェルマー予想 k=2, n≧3 の時 ①は自然数解を持たない→証明済 ▶オイラー予想 n＞kの時 ①は自然数解を持たない?→反証済 ▶ランダー･パーキン･セルフリッジ予想(1967) n-1＞kの時 ①は自然数解を持たない?→??

#数学コーヒーブレイク (G) 6以上の整数nは 3素数の和で表せる. (G') 4以上の偶数2mは 2素数の和で表せる. 1) (G)と(G')が同値である事を示し， 具体的な n, m の例を挙げ 各々の成立を確かめよ. 2) 3^{3^15}より大きな全ての奇数は 3つの素数の和で表せる. どう証明されたのだろうか?

#数学コーヒーブレイク 整数論の種類，知ってますか？ ▶初等整数論 組み合わせや素因数分解など 易しめの知識で解けるやつ ▶解析的数論 微積分や無限和など解析学を駆使 ▶代数的数論 (超越数論も) 方程式の解になれる数を考える ▶数論幾何 曲線上に有理点や格子点が存在するかetc

#数学コーヒーブレイク 3つの扉の内1つが当たり. あなたは1つ選んだ. クイズ司会者が残り2つの内1つを開けたら偶然外れだった. 「最後残り1つの扉に選択を変えるか?」と質問 もしここで選択する扉を変えた場合,当たる確率は？ (答えは1/3でも2/3でもない.) ※モンティホール問題の亜種

#数学コーヒーブレイク ▶フェルマー予想 x^3 + y^3 = z^3 x^4 + y^4 = z^4 x^5 + y^5 = z^5 … に自然数解は無い. →1995年に証明済 ▶オイラー予想 x^4 + y^4 + z^4 = w^4 x^5 + y^5 + z^5 + w^5 = v^5 … に自然数解は無い? →反例発見済 問 どうやって反例を絞り込み,見つけるのか?

#数学コーヒーブレイク TeX(テフ)記法 数式を書く世界標準の方法。 大学生の必須スキル。 レポートや論文のPDFはTeXで作成します。 例 xのn乗(右上添え字) x^n 右下添え字 a_n 積分 \int_{0}^{1} f(x) dx 和と分数 \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} 極限 \lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n

#数学コーヒーブレイク 3つの扉のうち1つが当たり. あなたは1つ選んだ. クイズ司会者は,残り2つの扉のうち外れの扉をわざと開き,「最後残り1つの扉に選択を変えるか?」と尋ねた. もしここで選択する扉を変えた場合,当たりの確率は？ (答えは1/3でも1/2でもない.) ※モンティホール問題

#数学コーヒーブレイク x^n ＋ y^n ＝ z^n に自然数解 (x,y,z) は無い. (n≧3) ▶n=4の場合 17世紀にフェルマー自身が証明. ▶n=3の場合 1760年にオイラーが証明. →問. どのように証明したか? 「具体的な n に対する フェルマーの最終定理の証明のリスト」 en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_… .