#数学コーヒーブレイク 「自然数 n を割り切る全ての素数」の積を rad(n) で表す。 例: rad(8)＝2 rad(45)＝rad(3^2・5)＝3・5＝15 下記の2条件を同時に満たす 互いに素な自然数a,b,cは 有限個しか存在しないことを示せ. i) a＋b＝c ii) 任意の ε ＞0 に対し c ＞ { rad(abc) }^(1＋ε)

#数学コーヒーブレイク 90－79＝11 790－679＝111 6790－5679＝1111 56790－45679＝11111 … (1桁ずつ増やす) 123456790－12345679＝111111111 (*) (*)の左辺 ＝12345679×(10－1) ＝12345679×9＝Aとおく。 (*)の右辺は 1が9桁並ぶので， Aに任意の1桁の整数Bをかけると Bが9桁並ぶ。

#数学コーヒーブレイク フェルマーの小定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95… "素数pが法の時 整数と そのp乗は同じ扱い(合同)" a^p ≡ a (mod p) a^{p-1} ≡ 1 (mod p) pとaは素 p乗やp-1乗という累乗操作を消し べき乗の無いシンプルな形に変換できる点で価値がある 証明の出題例:1977京大

#数学コーヒーブレイク ▶フェルマー予想 x^3 + y^3 = z^3 x^4 + y^4 = z^4 x^5 + y^5 = z^5 … に自然数解は無い. →1995年に証明済 ▶オイラー予想 x^4 + y^4 + z^4 = w^4 x^5 + y^5 + z^5 + w^5 = v^5 … に自然数解は無い? →反例発見済 問 どうやって反例を絞り込み,見つけるのか?

#数学コーヒーブレイク いくらでも伸びる1mのゴムひもGの 一端Oから芋虫が毎分1cm進む. 1分経つたび Gは全体が一様に1m伸びる. T分後に芋虫がいる位置までの Oからの距離[cm]は X_T = ( X_{T－1}＋1 ){ T/(T－1) } T分後のGの長さは L_T = 100(1＋T) 芋虫がGの他端に到達する時刻は?

#数学コーヒーブレイク 1)～4)の各場合について 与えられた x の値が 方程式 f(x) = 0 の解の1つとなるような 整数係数の多項式 f(x) を1つ求めよ. そのような f(x) が存在しない場合は 存在しないことを証明せよ. 1) x = √2 2) x = ∛2 3) x = π (円周率) 4) x = e (自然対数の底)

#数学コーヒーブレイク lim{θ→+0} sinθ / θ = 1　…① (sin x)' = cos x　…② (1) ①を使い②を証明せよ. (2) 高校の教科書では ①はおうぎ形の面積を使って証明される. この方法で①を証明せよ. (3) (2)はしばしば循環論法とされる. 理由を説明せよ. (4) (3)の循環論法を解消せよ.

#数学コーヒーブレイク x^n ＋ y^n ＝ z^n に自然数解 (x,y,z) は無い. (n≧3) ▶n=4の場合 17世紀にフェルマー自身が証明. ▶n=3の場合 1760年にオイラーが証明. →問. どのように証明したか? 「具体的な n に対する フェルマーの最終定理の証明のリスト」 en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_… .

#数学コーヒーブレイク #カタラン数 凸なn+2角形で 頂点同士を結ぶ線を互いに交差しないように引き n個の三角形に分割する方法がK(n)通りとする. 1) K(n)をnで表せ. 2) N=2^k-1(kは自然数)であるNをメルセンヌ数という. K(n)が奇数となる必要十分条件は nがメルセンヌ数である事を示せ.

#数学コーヒーブレイク n が2以上の自然数のとき n! は平方数になれません。 ( √(n!) は無理数) このことは，高校生でも(初等的に) 証明できます。 あなたは何も見ず証明できますか? ※解答は下記 chart.co.jp/subject/sugaku… ベルトラン=チェビシェフの定理の初等的な証明を利用します。

#数学コーヒーブレイク 無理数 α が条件(*)を満たす. 条件(*): 整数係数の多項式 f(x) が存在し f(α)＝0 となる. このとき 全ての実数 ε＞0 に対し， |α － p/q| ＜ 1 / q^{2＋ε} を満たす既約分数 p/q は 有限個しか存在しないことを示せ. ※トゥエ・ジーゲル・ロスの定理

#数学コーヒーブレイク 「3以上の全ての自然数nに対し， x^n ＋ y^n ＝ z^n に自然数解 (x,y,z) は無い.」…① ①を証明するには， 下記②と③を示せばよい. ②n=4の場合に成立する事を証明 ③nが奇素数(奇数かつ素数)の場合に成立する事を証明 問: なぜ，②と③から①が言えるのか？

#数学コーヒーブレイク Cは二項係数. ベルヌーイ数を B_0 = 1 B_n = －{1/(n+1)} Σ{k=0→n-1} C(n+1, k)・B_k で定義する. (1) Σ{j=0→n} j^k = {1/(k+1)} Σ{j=0→k} C(k+1, j)・B_j・n^{k-j+1} を示せ. (2) Σ{n=1→∞} 1 / n^(2k) = (-1)^{k+1}・B_{2k} (2π)^{2k} / 2・(2k)! を示せ.

#数学コーヒーブレイク 12345679×9 = 111111111 (*) (右辺は1が9個) (*)はなぜ成り立つ? (1) (*)の右辺 =111111111 =Σ{k=1→9} 10^(k－1) より a_k＝10^(k－1) とおく. a_k / 9 (1≦k≦9)をそれぞれ循環小数で表せ. (2) (1)で求めた循環小数表示を 1≦k≦9の範囲で 足し合わせてみよ.

#数学コーヒーブレイク 「x 以下の素数の個数」を π(x) とおくと, lim{n→∞} { π(x)・log x } / x = 1 ↑ この式は, 高校生でも(初等的に) 証明できます。 あなたは, 何も見ず証明できますか? ※解答は下記URL jstor.org/stable/1969455… 1949年 セルバーグによる素数定理の初等的証明

#数学コーヒーブレイク 二項係数が整数であることを証明せよ。 ただし下記を参照。 ①二項係数の定義: nCm ＝ n! / (n－m)! m! ②二項係数の意味: n個の物からm個選ぶ組み合せの総数。 ↑ ②を使うと，①が整数であることは自明だが… ②を使わず，①が整数であることを証明できるか？

#数学コーヒーブレイク フェルマーの最終定理 x^n ＋ y^n ＝ z^n　…① n≧3の時，①に自然数解 (x,y,z,n) は無い. 問: 背理法(※)を使い x^4 ＋ y^4 ＝ z^2　…② に自然数解 (x,y,z) が無い事を示せ. これにより， フェルマーの最終定理のn=4の場合を証明せよ. ※無限降下法とも言う

#数学コーヒーブレイク 1がn個並んだ数を レピュニット(Repunit)と呼び R_n で表す. R_n が素数の時 「レピュニット素数」と呼ぶ. その例: R_2 ＝ 11 ※素数 R_19 ＝ 1111111111111111111 ※素数 R_23 ＝ 11111111111111111111111 ※素数 … 問 レピュニット素数は，無限に存在するか？

#数学コーヒーブレイク 2倍角, 3倍角, 半角, 和積, 積和の公式… もちろんスラスラ言えますよね！ 「n 倍角」はどうですか？ 難関大でよく出ますよ！ 「三角関数のn倍角」sin nθ, cos nθ, tan nθ の良問！ チェビシェフ多項式, ド・モアブルの定理, オイラーの公式 togetter.com/li/1486613 .

#数学コーヒーブレイク 1) Σ{n=1→∞} 1 / n → ∞ を示せ 2) Σ{n=1→∞} 1 / n^2 → π^2 / 6 を示せ 3) Σ{n=1→∞} 1 / n^3 → (2π^2 / 7) log2＋(16/7)∫{0→π/2} x log sin x dx を示せ 4) Σ{n=1→∞} 1 / { n^3・(sin n)^2} は，いかなる値に収束(or発散)するか? #FlintHills級数

#数学コーヒーブレイク どのような自然数 n を考えても， n と 2n の間に 必ず素数が存在します。 (n＜p≦2n) 例: 1＜2≦2 2＜3≦4 3＜5≦6 4＜7≦8 … この定理は，高校生でも(初等的に) 証明できます。 あなたは，何も見ず証明できますか？ ※ベルトラン=チェビシェフの定理

#数学コーヒーブレイク フェルマー数 F_n = 2^{2^n}＋1 問: 素因数が不明なのに， F_20とF_24が合成数だとなぜ分かる？ ▶素数 F_0＝3 F_1＝5 F_2＝17 F_3＝257 F_4＝65537 ▶合成数 F_5＝4294967297 ※641で割れる ▶合成数 (※素因数は未知) F_20＝2^{2^20}＋1 F_24＝2^{2^24}＋1

#数学コーヒーブレイク (1) y ＝ f(x) ＝ e^x の逆関数が x ＝ f^{-1} (y) ＝ log y である事を示せ。 (※logは自然対数) (2) y ＝ g(x) ＝ x・e^x の逆関数 x ＝ g^{-1} (y) を求めよ。 #ランベルトのW関数

#数学コーヒーブレイク シンプルなのに，なぜ解けない…！？ 問: 四角形 ABCD に対角線を２本引く。 ∠B と ∠C が対角線で分割される角度を 図のように p, q, r, s とおく。 ∠ADB は何度？ ※計算しづらかったら 角度に具体的な数値を代入して解いてみてね pic.x.com/Cm2u6u717z

#数学コーヒーブレイク 「原点中心の半径 r＞0 の円周上に 存在する有理点の個数」 を N(r) とおく. (1) N(1) = ∞ を示せ. (2) N(√3) = 0 を示せ. (3) r が変化すると N(r) の取る値はどう変わるか? ※参考 ・suri-joshi.jp/enjoy/rational… ・www3.risc.jku.at/publications/d… p10, Theorem 1

#数学コーヒーブレイク 3つの扉の内1つが当たり. あなたは1つ選んだ. クイズ司会者が残り2つの内1つを開けたら偶然外れだった. 「最後残り1つの扉に選択を変えるか?」と質問 もしここで選択する扉を変えた場合,当たる確率は？ (答えは1/3でも2/3でもない.) ※モンティホール問題の亜種

#数学コーヒーブレイク フェルマー数 F_n = 2^{2^n}＋1 (1) F_n を F_{n-1} で表せ. (2) F_n を F_0 から F_{n-1} までの積 F_0 … F_{n-1} で表せ. (3) どのフェルマー数も 互いに素であることを示せ. (4) F_0, …, F_4 は素数. それより大きな F_n で 素数であるものが存在するか?

#数学コーヒーブレイク 0 でない整数 x が 「素数 p で何回割り切れるか」を ν_p ( x ) と書く. p は奇素数. x, y は p で 割り切れない整数. x－y は p の倍数. この時 ν_p ( x^n － y^n ) ＝ ν_p ( x － y ) ＋ ν_p ( n ) である事を示せ. ※LTEの補題 (Lifting-the-exponent lemma)

#数学コーヒーブレイク 0 でない整数 x が 「素数 p で何回割り切れるか」を ν_p ( x ) と書く. p は奇素数. x, y は p で 割り切れない整数. x－y は p の倍数. この時 ν_p ( x^n － y^n ) ＝ ν_p ( x － y ) ＋ ν_p ( n ) である事を示せ. ※LTEの補題 (Lifting-the-exponent lemma)

#数学コーヒーブレイク lim{θ→+0} sinθ / θ = 1　…① (sin x)' = cos x　…② (1) ①を使い②を証明せよ. (2) 高校の教科書では ①はおうぎ形の面積を使って証明される. この方法で①を証明せよ. (3) (2)はしばしば循環論法とされる. 理由を説明せよ. (4) (3)の循環論法を解消せよ.

#数学コーヒーブレイク シンプルなのに，なぜ解けない…！？ 問: 四角形 ABCD に対角線を２本引く。 ∠B と ∠C が対角線で分割される角度を 図のように p, q, r, s とおく。 ∠ADB は何度？ ※計算しづらかったら 角度に具体的な数値を代入して解いてみてね pic.x.com/RHAukqZUGn

#数学コーヒーブレイク フェルマー数 F_n ＝ 2^{2^n}＋1 F_0, …, F_4 は素数. (フェルマー素数) (1) n ≧ 2 の時 F_n の全ての素因数が p ＝ k・2^{n+2} + 1 の形をしていることを示せ. ※ヒント: フェルマーの小定理を使う (2) (1)で k=5 の場合を調べ F_5 が素数でないことを示せ.

#数学コーヒーブレイク 3つの扉のうち1つが当たり. あなたは1つ選んだ. クイズ司会者は,残り2つの扉のうち外れの扉をわざと開き,「最後残り1つの扉に選択を変えるか?」と尋ねた. もしここで選択する扉を変えた場合,当たりの確率は？ (答えは1/3でも1/2でもない.) ※モンティホール問題