#数学コーヒーブレイク 自然数 1, 2, 3, … を 小数点以下に順番につなげて， 定数 c ＝ 0.123456789101112131415161718192021... を作る。 (1) c は有理数か？(証明せよ) (2) 整数係数の多項式 f(x) で f(c) ＝ 0 となるものが存在するか？(証明せよ) #チャンパーノウン定数

#数学コーヒーブレイク 対数積分 (1)　∫ log x dx 一瞬！ (2)　∫ ( log x ) / x dx 置換積分で暗算！ (3)　∫ 1 / ( x log x ) dx 置換積分で暗算！ (4)　∫ x log x dx 置換積分と部分積分で！ (5)　∫ 1 / ( log x ) dx (1)を逆数にしただけです。計算してみた経験，ありますか…？

#数学コーヒーブレイク 自然数n乗和 Σ{i=1→k} (x_i)^n = y^n ① ▶フェルマー予想 k=2, n≧3 の時 ①は自然数解を持たない→証明済 ▶オイラー予想 n＞kの時 ①は自然数解を持たない?→反証済 ▶ランダー･パーキン･セルフリッジ予想(1967) n-1＞kの時 ①は自然数解を持たない?→??

#数学コーヒーブレイク Cは二項係数. ベルヌーイ数を B_0 = 1 B_n = －{1/(n+1)} Σ{k=0→n-1} C(n+1, k)・B_k で定義する. (1) Σ{j=0→n} j^k = {1/(k+1)} Σ{j=0→k} C(k+1, j)・B_j・n^{k-j+1} を示せ. (2) Σ{n=1→∞} 1 / n^(2k) = (-1)^{k+1}・B_{2k} (2π)^{2k} / 2・(2k)! を示せ.

#数学コーヒーブレイク 整数論の種類，知ってますか？ ▶初等整数論 組み合わせや素因数分解など 易しめの知識で解けるやつ ▶解析的数論 微積分や無限和など解析学を駆使 ▶代数的数論 (超越数論も) 方程式の解になれる数を考える ▶数論幾何 曲線上に有理点や格子点が存在するかetc

#数学コーヒーブレイク 1729 ＝1^3＋12^3 ＝9^3＋10^3 タクシー数1729が 立方数ではないことを 2通りの方法で証明せよ。 (方法1) 素因数分解すると 1729＝7・13・19より 3乗の形に表せない。// (方法2) フェルマーの最終定理より x^3＋y^3＝z^3 の自然数解は存在しないから。// ←笑

#数学コーヒーブレイク ▶フェルマー予想 x^3 + y^3 = z^3 x^4 + y^4 = z^4 x^5 + y^5 = z^5 … に自然数解は無い. →1995年に証明済 ▶オイラー予想 x^4 + y^4 + z^4 = w^4 x^5 + y^5 + z^5 + w^5 = v^5 … に自然数解は無い? →反例発見済 問 どうやって反例を絞り込み,見つけるのか?

#数学コーヒーブレイク TeX(テフ)記法 数式を書く世界標準の方法。 大学生の必須スキル。 レポートや論文のPDFはTeXで作成します。 例 xのn乗(右上添え字) x^n 右下添え字 a_n 積分 \int_{0}^{1} f(x) dx 和と分数 \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} 極限 \lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n

#数学コーヒーブレイク 証明してみよう！「解の公式」 ▶1次方程式 ax＋b＝0 の解の公式 x ＝ － b / a ▶2次方程式 ax^2＋bx＋c＝0 の解の公式 x ＝ { －b ± √( b^2 － 4ac ) } / 2a ▶3次方程式 ax^3＋bx^2＋cx＋d＝0 の解の公式は…？ ↓ 下記画像の通り pic.x.com/43zpXxcig9

#数学コーヒーブレイク x^n ＋ y^n ＝ z^n に自然数解 (x,y,z) は無い. (n≧3) ▶n=4の場合 17世紀にフェルマー自身が証明. ▶n=3の場合 1760年にオイラーが証明. →問. どのように証明したか? 「具体的な n に対する フェルマーの最終定理の証明のリスト」 en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_… .

#数学コーヒーブレイク 1729 ＝1^3＋12^3 ＝9^3＋10^3 タクシー数1729が 立方数ではないことを 2通りの方法で証明せよ。 (方法1) 素因数分解すると 1729＝7・13・19より 3乗の形に表せない。// (方法2) フェルマーの最終定理より x^3＋y^3＝z^3 の自然数解は存在しないから。// ←笑

#数学コーヒーブレイク フェルマー数 F_n ＝ 2^{2^n}＋1 F_0, …, F_4 は素数. (フェルマー素数) (1) n ≧ 2 の時 F_n の全ての素因数が p ＝ k・2^{n+2} + 1 の形をしていることを示せ. ※ヒント: フェルマーの小定理を使う (2) (1)で n=5 の場合を調べ F_5 が素数でないことを示せ.

#数学コーヒーブレイク 自然数 1, 2, 3, … を 小数点以下に順番につなげて， 定数 c ＝ 0.123456789101112131415161718192021... を作る。 (1) c は有理数か？(証明せよ) (2) 整数係数の多項式 f(x) で f(c) ＝ 0 となるものが存在するか？(証明せよ) #チャンパーノウン定数

#数学コーヒーブレイク 「3以上の全ての自然数nに対し， x^n ＋ y^n ＝ z^n に自然数解 (x,y,z) は無い.」…① ①を証明するには， 下記②と③を示せばよい. ②n=4の場合に成立する事を証明 ③nが奇素数(奇数かつ素数)の場合に成立する事を証明 問: なぜ，②と③から①が言えるのか？

#数学コーヒーブレイク (リウヴィル数) 条件(*) 全ての自然数nに対し 0＜ |α － p/q| ＜1 / q^n を満たすような 既約分数 p/q が存在. 1) α = Σ{k=1→∞} 10^{－(k!)} は(*)を満たす事を示せ. 2) 1) の α について 整数係数の多項式 f(x) で f(α)＝0 となるものが 存在しない事を示せ.

#数学コーヒーブレイク xy平面上の4点 ( 0, 0 ) ( 1, 0 ) ( 0, 1 ) ( 1, 1 ) からなる正方形を #単位正方形 という. 1) この4頂点からの距離が いずれも有理数となる点が 単位正方形上に存在しないことを示せ. 2) この4頂点からの距離が いずれも有理数となる点は xy平面上に存在するか？

#数学コーヒーブレイク 自然数の k 乗に関する j 個の和で n 通りに表せる最小の自然数を 一般化タクシー数と呼び Taxicab(k, j, n) で表す. 例 Taxicab(1, 2, 2) = 4 = 1+3 = 2+2 問 あなたの好きな自然数k(k≧5)を1つ選び Taxicab(k, 2, 2) を求めよ. その値をこの設問の得点とする.

#数学コーヒーブレイク フェルマーの最終定理 x^n ＋ y^n ＝ z^n　…① n≧3の時，①に自然数解 (x,y,z,n) は無い. 問: 背理法(※)を使い x^4 ＋ y^4 ＝ z^2　…② に自然数解 (x,y,z) が無い事を示せ. これにより， フェルマーの最終定理のn=4の場合を証明せよ. ※無限降下法とも言う

#数学コーヒーブレイク [x]はxを越えない最大の整数. f(x) = 1 / [x] g(x) = 1 / x F(t) = ∫{1→t} f(x) dx G(t) = ∫{1→t} g(x) dx 1) 1つの図の中に y＝f(x) と y＝g(x) との概形を描け. 2) F(∞)＝∞ G(∞)＝∞ を示せ. 3) F(∞) － G(∞) が ある正の定数に収束する事を示せ.

#数学コーヒーブレイク 1)～4)の各場合について 与えられた x の値が 方程式 f(x) = 0 の解の1つとなるような 整数係数の多項式 f(x) を1つ求めよ. そのような f(x) が存在しない場合は 存在しないことを証明せよ. 1) x = √2 2) x = ∛2 3) x = π (円周率) 4) x = e (自然対数の底)

#数学コーヒーブレイク フェルマー数 F_n = 2^{2^n}＋1 問: 素因数が不明なのに， F_20とF_24が合成数だとなぜ分かる？ ▶素数 F_0＝3 F_1＝5 F_2＝17 F_3＝257 F_4＝65537 ▶合成数 F_5＝4294967297 ※641で割れる ▶合成数 (※素因数は未知) F_20＝2^{2^20}＋1 F_24＝2^{2^24}＋1

#数学コーヒーブレイク 「2つの立方数の和として n 通りに表せる最小の自然数」を n 番目のタクシー数と呼び， Ta( n ) で表す。 (1) Ta( 1 ) ＝ 1 を示せ。 (2) Ta( 2 ) ＝ 1729 を示せ。 (3) 全ての自然数 n に対し Ta( n ) が存在する事を示せ。 ※1954年に(あの)ハーディーが証明

#数学コーヒーブレイク いくらでも伸びる1mのゴムひもGの 一端Oから芋虫が毎分1cm進む. 1分経つたび Gは全体が一様に1m伸びる. T分後に芋虫がいる位置までの Oからの距離[cm]は X_T = ( X_{T－1}＋1 ){ T/(T－1) } T分後のGの長さは L_T = 100(1＋T) 芋虫がGの他端に到達する時刻は?

#数学コーヒーブレイク Σ{n=1→∞} 1 / n^2 ＝ 1 / 1^2 ＋ 1 / 2^2 ＋ 1 / 3^2 ＋ … ＝ π^2 / 6 この等式は「バーゼル問題」といって ・2020年慶応大 ・2018年気象大など 大学入試でも頻出。 つまり，高校生でも (初等的に)証明できる。 あなたはどうやって 高校範囲で証明するか？

#数学コーヒーブレイク フェルマー数 F_n = 2^{2^n}＋1 (1) F_n を F_{n-1} で表せ. (2) F_n を F_0 から F_{n-1} までの積 F_0 … F_{n-1} で表せ. (3) どのフェルマー数も 互いに素であることを示せ. (4) F_0, …, F_4 は素数. それより大きな F_n で 素数であるものが存在するか?

#数学コーヒーブレイク 「自然数 n を割り切る全ての素数」の積を rad(n) で表す。 例: rad(8)＝2 rad(45)＝rad(3^2・5)＝3・5＝15 下記の2条件を同時に満たす 互いに素な自然数a,b,cは 有限個しか存在しないことを示せ. i) a＋b＝c ii) 任意の ε ＞0 に対し c ＞ { rad(abc) }^(1＋ε)

#数学コーヒーブレイク 二項係数が整数であることを証明せよ。 ただし下記を参照。 ①二項係数の定義: nCm ＝ n! / (n－m)! m! ②二項係数の意味: n個の物からm個選ぶ組み合せの総数。 ↑ ②を使うと，①が整数であることは自明だが… ②を使わず，①が整数であることを証明できるか？

#数学コーヒーブレイク 整数 k は 9 で割ったときの余りが 4 でも 5 でもないとする。 このとき， x, y, z に関する方程式 x^3 ＋ y^3 ＋ z^3 ＝ k の整数解 ( x, y, z ) の個数を求めなさい。 ただし，値を入れ換えただけの解は 同一の組み合わせと見なす。

#数学コーヒーブレイク フェルマー数 F_n ＝ 2^{2^n}＋1 F_0, …, F_4 は素数. (フェルマー素数) (1) n ≧ 2 の時 F_n の全ての素因数が p ＝ k・2^{n+2} + 1 の形をしていることを示せ. ※ヒント: フェルマーの小定理を使う (2) (1)で k=5 の場合を調べ F_5 が素数でないことを示せ.

#数学コーヒーブレイク 証明してみよう！「解の公式」 ▶1次方程式 ax＋b＝0 の解の公式 x ＝ － b / a ▶2次方程式 ax^2＋bx＋c＝0 の解の公式 x ＝ { －b ± √( b^2 － 4ac ) } / 2a ▶3次方程式 ax^3＋bx^2＋cx＋d＝0 の解の公式は…？ ↓ 下記画像の通り pic.x.com/zqfLwedaw6

#数学コーヒーブレイク (1) y ＝ f(x) ＝ e^x の逆関数が x ＝ f^{-1} (y) ＝ log y である事を示せ。 (※logは自然対数) (2) y ＝ g(x) ＝ x・e^x の逆関数 x ＝ g^{-1} (y) を求めよ。 #ランベルトのW関数

#数学コーヒーブレイク γ ＝ lim{n→∞}( 1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋ … ＋ 1/n －log n ) 1) γ ＞1/2 を示せ. (1980年 東北大 入試問題) 2) 3/4 ＞γ を示せ. (2010年 東大 改題) shochandas.xsrv.jp/inquiry/inquir… 3) γ は有理数か? 4) 整数係数の多項式 f(x) で f(γ) = 0 を満たすものが存在するか?

#数学コーヒーブレイク x^3 ＋ y^3 ＋ z^3 = 35 の整数解として (x,y,z)＝(3,2,0) がある. x^3 ＋ y^3 ＋ z^3 = 34 の整数解として (x,y,z)＝(3,2,-1) がある. 下記の各々の整数解を求めよ. (1) x^3 ＋ y^3 ＋ z^3 ＝ 33 (2) x^3 ＋ y^3 ＋ z^3 ＝ 42 (3) x^3 ＋ y^3 ＋ z^3 ＝ 114

#数学コーヒーブレイク 12345679×9 = 111111111 (*) (右辺は1が9個) (*)はなぜ成り立つ? (1) (*)の右辺 =111111111 =Σ{k=1→9} 10^(k－1) より a_k＝10^(k－1) とおく. a_k / 9 (1≦k≦9)をそれぞれ循環小数で表せ. (2) (1)で求めた循環小数表示を 1≦k≦9の範囲で 足し合わせてみよ.

#数学コーヒーブレイク 「オイラーの定理」 n未満で nと互いに素な自然数の個数を φ(n) とおく。(＝オイラー関数) 整数 a, n が互いに素なら a^{ φ(n) } ≡ 1 (mod n) 問: このオイラーの定理が， フェルマーの小定理の一般化であることを示せ。 解答は下記 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95…

#数学コーヒーブレイク 積和の公式・2倍角・3倍角 何の役に立つ？ →三角関数の「次数」を下げ，積分可能にできます。 "積和"＝【積(2次式)を(1次式の)和に変換】 1次式なら積分できる！ ∫ sin ax cos bx dx ※三角関数の2次式 ∫ sin^3 ax dx ※三角関数の3次式 pic.x.com/yogu5IIhtw

#数学コーヒーブレイク 自然数n乗和 Σ{i=1→k} (x_i)^n = y^n ① ▶フェルマー予想 k=2, n≧3 の時 ①は自然数解を持たない→証明済 ▶オイラー予想 n＞kの時 ①は自然数解を持たない?→反証済 ▶ランダー･パーキン･セルフリッジ予想(1967) n-1＞kの時 ①は自然数解を持たない?→??

#数学コーヒーブレイク 「原点中心の半径 r＞0 の円周上に 存在する有理点の個数」 を N(r) とおく. (1) N(1) = ∞ を示せ. (2) N(√3) = 0 を示せ. (3) r が変化すると N(r) の取る値はどう変わるか? ※参考 ・suri-joshi.jp/enjoy/rational… ・www3.risc.jku.at/publications/d… p10, Theorem 1

#数学コーヒーブレイク 「自然数 n を割り切る全ての素数」の積を rad(n) で表す。 例: rad(8)＝2 rad(45)＝rad(3^2・5)＝3・5＝15 下記の2条件を同時に満たす 互いに素な自然数a,b,cは 有限個しか存在しないことを示せ. i) a＋b＝c ii) 任意の ε ＞0 に対し c ＞ { rad(abc) }^(1＋ε)