#線形代数入門 60 #行列 の… ･#固有値 と #固有ベクトル による #対角化 ･#ジョルダン分解，#ジョルダン標準形 ↑ これらの背景にある理論は 「#単因子論」である。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… ・行列の #単因子(invariant factor)とは， 行列の #標準形 を定める #不変量 のこと。

#線形代数入門 59 前ツイまでで取りあげた 「#連立漸化式 を #ジョルダン標準形 で解く」 というのは， 東大工学系研究科(平成14年度) の #院試 過去問に 丁寧な誘導を付けて改題したものである。 twitter.com/mathematics_ta…

#線形代数入門 58 #WolframAlpha で… ▶#行列 の #ジョルダン分解 (#ジョルダン標準形)を求める方法: 行列を入力するだけ。 {{0,4,5},{-2,3,2},{0,2,4}} wolframalpha.com/input?i=%7B%7B… M=S J S^(-1) S= (1|3/2|2 -2|1|-1 2|0|2) J= (2|1|0 0|2|0 0|0|3)

#線形代数入門 57 3項間 #連立漸化式 を解くため #行列 のn乗を利用する， という問題を再び考えよう。 {{1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3}} は #対角化可能 で，n乗を求められた。 {{0,4,5}, {-2,3,2}, {0,2,4}} の場合，対角化不能。 →かわりに #ジョルダン分解 しよう！

#線形代数入門 56 #行列 を #対角化 すれば n乗しやすくなるのと同じように， 行列を #ジョルダン分解 すれば n乗しやすくなる。 ∵ A = P J P^{-1} のとき A^n = (P J P^{-1}) … (P J P^{-1}) = P (J^n) P^{-1} ここで #ジョルダン標準形 J のn乗 J^n は求まるので A^n も求まる。

#線形代数入門 55 任意の #正方行列 Aは， 適当な #正則行列 Pにより， 「#ジョルダン細胞 によって #ブロック対角化 された #行列」J: J = P^{-1} AP とできる。 この J を #ジョルダン標準形 という。 変形すると A = P J P^{-1} で，この形を A の #ジョルダン分解 という。

#線形代数入門 54 ①#対角行列 はn乗しやすい ↓ 任意の #行列 は #対角化 すればn乗しやすくなる。 ②#ジョルダン行列 はn乗しやすい。 ③「#ジョルダン細胞 を並べて #ブロック対角化 された #行列」 もn乗しやすい。 ↓ 任意の行列は #ジョルダン標準形 にすれば n乗しやすくなる！

#線形代数入門 52 #対角行列 は #対角成分 をn乗するだけで 簡単に「#行列 のn乗」を計算可能。 また，対角行列でない場合でも 前ツイまでで見た通り #ジョルダン行列 はn乗の一般項を求められる。 さらに 「#ジョルダン細胞 で #ブロック対角化 された #行列」も n乗を計算しやすい。

#線形代数入門 51 #ジョルダン行列 のn乗 4次 #正方行列 で #対角成分 が2の場合… Simplify[ { {2,1,0,0}, {0,2,1,0}, {0,0,2,1}, {0,0,0,2} }^n ] wolframalpha.com/input?i=Simpli… 出力結果を見ると，#上三角行列 になり #対角成分 は 2^n 非対角成分も n の式で表せている。

#線形代数入門 50 #ジョルダン行列 のn乗 3次 #正方行列 で #対角成分 が2の場合… Simplify[ {{2,1,0}, {0,2,1}, {0,0,2}}^n ] wolframalpha.com/input?i=Simpli… 出力: (2^n | (2^(n-1)) n | (2^(n-3)) (n-1) n 0 | 2^n | (2^(n-1)) n 0 | 0 | 2^n)

#線形代数入門 49 #ジョルダン細胞(#ジョルダン行列) のn乗を求めてみよう。 2次 #正方行列 で， #対角成分 が2の場合… Simplify[ { { 2, 1 }, { 0, 2 } }^n ] wolframalpha.com/input?i=Simpli… 出力: (2^n | 2^(n - 1) n 0 | 2^n)

#線形代数入門 48 Jordan matrix (ジョルダン行列) en.wikipedia.org/wiki/Jordan_ma… 全ブロック対角成分が 下記のJordan blockの形である行列. { { λ, 1, 0,　　 …, 0 }, { 0, λ, 1, 0,　 …, 0 }, { 0, 0, λ, 1, 0, …, 0 }, …, { 0, 0, …,　 0, λ, 1 }, { 0, 0, …,　 0, 0, λ } }

#線形代数入門 47 #行列 Aの #最小多項式 p(x) における #根 λ_i の「重複度」を n とし， ･#対角成分 を λ_i ･対角成分の「真上」の値を1 ･他の要素は0 …としたn次 #正方行列 が， #ジョルダン細胞 J_n( λ_i ) である。

#線形代数入門 45 Jordan normal form(#ジョルダン標準形) en.wikipedia.org/wiki/Jordan_no… a square complex matrix A is similar to a block diagonal matrix. 一般的に複素 #正方行列 は ブロック対角行列と #相似。 So there exists an invertible matrix P such that P^{−1}AP = J.

#線形代数入門 44 #ジョルダン標準形 (Jordan normal form) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8… 任意の #正方行列 Aは本質的に ただ1つのジョルダン標準形Jと #相似。 #ジョルダン細胞 によって #ブロック対角化 された #行列 J を考えると， 適当な #正則行列 Pにより J＝P^{-1} AP とできる。

#線形代数入門 43 #行列 を #対角化 できない場合， かわりに #ジョルダン標準形 を求めればよい という定石がある。 ジョルダン標準形とは #対角成分 として #ジョルダン細胞 をもち ほかの値が0であるような行列のこと。 #対角行列 と同じく 「n乗を求めやすい」という性質がある。

#線形代数入門 42 #WolframAlpha で… ▶#行列 の #固有方程式(#特性方程式)を解く方法: 「{ {0,4,5}, {-2,3,2}, {0,2,4} }の固有多項式 = 0」 ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 出力: -λ^3 + 7 λ^2 - 16 λ + 12 = 0 λ == 2 || λ == 3

#線形代数入門 41 #WolframAlpha で… ▶#行列 の #固有多項式(#特性多項式)を求める方法: 「{ {0,4,5}, {-2,3,2}, {0,2,4} }の固有多項式」 ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 出力結果: -λ^3 + 7 λ^2 - 16 λ + 12 ＝ -((-3 + λ) (-2 + λ)^2) ←因数分解された形

#線形代数入門 40 #固有方程式，#特性方程式 (characteristic equation) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BA… #行列 A に対し det(λE－A)＝0 すなわち， #固有多項式(#特性多項式)＝0 なる方程式のこと。 行列の #固有値 を求める事ができる。

#線形代数入門 39 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80… λが行列Aの #固有多項式 の #根 である事と， λが行列Aの #最小多項式 の根である事とは同値。 #行列 Aの 最小多項式 p(x) における 根 λ の #重複度 は， λ に対応する A の #ジョルダン細胞 の 最大 #次数 を表す。

#線形代数入門 38 最小多項式 (minimal polynomial) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80… 最小多項式は， 常に固有多項式を割り切る。 例えば #単位行列 E_n に対し A ＝ 2 E_n を考えると， #行列 A の… ･#固有多項式 は (x－2)^n ･#最小多項式 は (x－2)

#線形代数入門 37 「#対角化可能 であるための #必要十分条件」 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… ･#行列 Aの #固有ベクトル だけで n次元 #ベクトル空間 の #基底 が構成できるなら #対角化 可能。 ･行列Aの #最小多項式 が #重根 をもたないことも 対角化可能であるための必要十分条件。

#線形代数入門 36 #固有多項式(characteristic polynomial)， #特性多項式 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BA… #行列 A の 「重複を込めた全ての #固有値」を #根 にもつ 最小次数の #モニック な(最高次係数が1の) n次 #多項式。 p(λ) ＝ det( λE－A )

#線形代数入門 35 M_1 = { {1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3} } M_2 = { {0,4,5}, {-2,3,2}, {0,2,4} } M_1 は #対角行列 J により M_1 = S J S^{-1} の形に #対角化 できる。 M_2 はそれができない。 この差は，各行列の #固有多項式(#特性多項式) #最小多項式 を見るとわかる。

#線形代数入門 34 #行列 M = { {0,4,5}, {-2,3,2}, {0,2,4} } のn乗を求めたいが このMを #対角化 できないことを確かめよう。 「{ { 0, 4, 5 }, { -2, 3, 2 }, { 0, 2, 4 } }を対角化」 ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 「対角化不可能」と出力される。

#線形代数入門 33 「#行列 のn乗」の演習問題: a(n+1) = 4 b(n) + 5 c(n) b(n+1) = - 2 a(n) + 3 b(n) + 2 c(n) c(n+1) = 2 b(n) + 4 c(n) 行列M = { {0,4,5}, {-2,3,2}, {0,2,4} } のn乗を使って， これら3つの数列の一般項を求めよ。 ただしMは #対角化 できない。 どうする？

#線形代数入門 32 前ツイまでで， 3変数の #数列 の #連立漸化式 を #行列 の #対角化 によって解いた。 次に，それと似た問題設定だが 同じ方法が使えないパターンを見てみよう。 「行列を対角化できない場合は， どうやって行列のn乗を求めるのか？」 というものである。

#線形代数入門 31 #固有値 が1,2,3であるような #対角化可能 な #行列 Mの数値例として 下記出典のものを使用した。 共立出版「詳解 線形代数演習」 5章「固有値と固有ベクトル」問題[4](2)より。 なおここでは， #対角化 に用いる #変換行列 Sは #直交行列 にする旨の指定はない。

#線形代数入門 30 ↑x(n)={ a(n), b(n), c(n) } M={ {1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3} } とおくと， #数列 の #連立漸化式 を ↑x(i+1) = M ↑x(i) と書けて ↑x(n) = M^n ↑x(0) ここで #行列 Mの #対角化 を使えば M^n は求まるので， 数列の一般項 ↑x(n) も求まったことになる。

#線形代数入門 29 #行列 Mに対し， ① M^n ② Mの #対角化 M = S J S^{-1} による形式 (M^n =) S J^n S^{-1} ↑ この２つが一致する事の検算。 ①－②を計算してみると… ja.wolframalpha.com/input?i=%7B%7B… 出力は #零行列 になる。

#線形代数入門 28 #行列 M の #対角化 M = S J S^{-1} がもしできた場合， S^{-1} S = E の性質を使えば 行列のn乗は M^n = (S J S^{-1}) … (S J S^{-1}) = S J^n S^{-1} であり， #対角行列 のn乗 J^n は楽に求まるので， M^n も楽に計算できる。

#線形代数入門 27 #行列 M を #対角化 し #対角行列 J により M = S J S^{-1} という形に書けたとする。 このとき S^{-1} S = E (#単位行列) という #逆行列 の性質を使えば M^2 = ( S J S^{-1} ) ( S J S^{-1} ) = S J ( S^{-1} S ) J S^{-1} = S J ( E ) J S^{-1} = S J^2 S^{-1}

#線形代数入門 26 #WolframAlpha で DiagonalMatrix関数で #対角行列 を作り そのn乗を求め， 計算結果をシンプル表示(#簡約化)するには… Simplify[ ( DiagonalMatrix[ {1,2,3,4} ] )^n ] wolframalpha.com/input?i=Simpli… 出力 ( 1 |0|0|0 0| 2^n |0|0 0|0| 3^n |0 0|0|0| 4^n )

#線形代数入門 25 #WolframAlpha で… ▶#対角行列 をシンプルに書く方法 DiagonalMatrix[ {1,2,3,4} ] wolframalpha.com/input?i=Diagon… これで { {1,0,0,0}, {0,2,0,0}, {0,0,3,0}, {0,0,0,4} } という #行列 になる。 #対角成分 を並べるだけで書けて楽！

#線形代数入門 24 #対角行列 のn乗は， 各 #対角成分 をそれぞれn乗すればよい。 対角行列 J に対し J^n を求める具体例: { {2,0,0}, {0,3,0}, {0,0,4} }^n ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 出力: { {2^n, 0, 0}, {0, 3^n, 0}, {0, 0, 4^n} } 対角成分ごとのn乗である。

#線形代数入門 23 JordanDecomposition[ { {1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3} } ] ↓ 出力: M = S J S^(-1)　★ S = { {-1,-2,-1}, {3,5,3}, {0,2,2} } J = { {1,0,0 }, {0,2,0}, {0,0,3}} ★式を検算してみると… ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 確かに，S J S^(-1) が M と同じになった。

#線形代数入門 22 #WolframAlpha で… ▶#行列 を #対角化 する方法: JordanDecomposition[ { {1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3} } ] ja.wolframalpha.com/input?i=Jordan… 出力: M = S J S^(-1) S = { {-1, -2, -1 }, {3, 5, 3}, {0, 2, 2} } J = { {1, 0, 0 }, {0, 2, 0}, {0, 0, 3}}

#線形代数入門 21 前ツイで，#行列 Mのn乗を 容易に #WolframAlpha で計算できた理由は， このMが「#対角化 できる」という 良い性質をもった行列だったから。 Mを対角化するとは， #対角成分 のみ非ゼロの値を持つ行列 (#対角行列)Jにより M = S J S^(-1) の形に分解するということ。

#線形代数入門 20 #WolframAlpha で… ▶#行列 のn乗を求める方法 {{1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3}}^n ja.wolframalpha.com/input?i=%7B%7B… 成分ごとにnの式で表した一般項が出力される。 #固有値･#固有ベクトル を 手計算で求めることなく 一発で検算･確認できるのは便利！

#線形代数入門 19 #数列 の一般項 ↑x(n) = M^n ↑x(0) を求めるには，#行列 M = { { 1, 0, -1 }, { 3, 2, 3 }, { 6, 2, 3 } } のn乗 M^n を求める必要が生じる。 これは行列Mを #対角化 することで 求められる。 そのためには，行列Mの #固有値，#固有ベクトル を求めればよい。