#信号処理の数学の準備 10 ↑ このタグの復習… ･#信号処理 をしっかり学ぶには #三角関数 の #積分 計算が必要。 ･#オイラーの公式 を使えば #積和の公式 や #和積の公式 を導出できる。 ･三角関数の公式を 全て暗記する必要はない。 積分すると消える項があるから。 OKでしょうか。

#信号処理の数学の準備 9 #積和の公式 は #三角関数 の #2次式 を #1次式 に直し #次数 を下げるので #積分 可能になり便利. しかし #和積の公式 は逆で， 三角関数の1次式を2次式に直し 次数をわざわざ上げるので 積分できなくなる！ だから和積は #フーリエ解析 では不要なのである.

#信号処理の数学の準備 8 #フーリエ解析 の出だしで… 実は #積和の公式 を覚える必要はない！ 「積和の公式を使えば #三角関数 の #2次式 を 三角関数の #1次式 に変形できる」 という事実さえ知っていればよい。 なぜなら 「三角関数の1次式」は 1周期ぶん #積分 したら0になるから。

#信号処理の数学の準備 7 #積和公式 を作る ①sin(α+β)=sin α cos β+cos α sin β ⑪sin(α-β)=sin α cos β-cos α sin β ②cos(α+β)=cos α cos β-sin α sin β ⑫cos(α-β)=cos α cos β+sin α sin β sinα sinβ=(⑫-②)/2 cosα cosβ=(⑫+②)/2 sinα cosβ=(①+⑪)/2

#信号処理の数学の準備 6 #オイラーの公式 から #積和の公式 を導出するには cosα cosβ =({e^(jα)+e^(-jα)}/2)・({e^(jβ)+e^(-jβ)}/2) =(1/4){ e^j(α+β)+ e^j(α-β)+ e^j(-α+β)+ e^j(-α-β) } cos,sinの表記に直し cos(-θ)=cosθ sin(-θ)=-sinθ で整理すればよい.(略)

#信号処理の数学の準備 5 #オイラーの公式 より e^(jθ)　=cosθ＋j sinθ e^(－jθ)=cosθ－j sinθ ∴ cosθ={ e^(jθ)＋e^(－jθ) } / 2 ⑨ sinθ={ e^(jθ)－e^(－jθ) } / 2j ⑩ これを使って頑張って #積和の公式 を導出する事も可能だが… 素直に #加法定理 の式を比較した方が導出は楽.

#信号処理の数学の準備 4 #三角関数 の #2次式(2乗)を 三角関数の #1次式 に変形 cos 2θ =cos^2 (θ)－sin^2 (θ) ⑧ ⑧=cos^2 (θ) － ( 1－cos^2 (θ) ) =2 cos^2 (θ) － 1 ∴cos^2 (θ)＝(1＋cos 2θ) / 2 ⑧=( 1－sin^2 (θ) ) － sin^2 (θ) =1－2 sin^2 (θ) ∴sin^2 (θ)＝(1－cos 2θ) / 2

#信号処理の数学の準備 3 #フーリエ解析 の出だしで必要な #三角関数 の公式 ⑥sin(α+β)＝sin α cos β + cos α sin β ⑦cos(α+β)＝cos α cos β － sin α sin β ⑧cos 2θ ＝ cos^2 (θ) － sin^2 (θ) ⑦の右辺の負号が肝心。 もしそこが+だと ⑧右辺はcos^2＋sin^2=1になってしまう！

#信号処理の数学の準備 2 e^jα=cosα+j sinα① e^jβ=cosβ+j sinβ② ①②をかけて (e^jα)(e^jβ)③ =(cosα+j sinα)(cosβ+j sinβ) = (cosα cosβ-sinα sinβ) + j(sinα cosβ+cosα sinβ) ④ ③=e^{j(α+β)}=cos(α+β)+j sin(α+β)⑤ ④⑤の実部と虚部を比較し sin,cosの #加法定理 を得る。

#信号処理の数学の準備 1 ↑ このタグでは下記の事を考えます。 ･#信号処理 をしっかり学ぶには #三角関数 の #積分 計算が必要。 ･#オイラーの公式 を使えば #積和の公式 や #和積の公式 を導出できる。 ･三角関数の公式を 全て暗記する必要はない。 積分すると消える項があるから。