#アナログ信号の解析法 18 ③ ∫{－π→π} cos nt sin mt dt n≠mの時， ③は #積和の公式 より 1次の #三角関数 になるので 1周期 #積分 すると0 n＝mの時も同様。 cos nt sin nt ＝ (sin 2nt) / 2 で 1周期積分すると0

#アナログ信号の解析法 17 ①∫{-π→π} cos nt cos mt dt ②∫{-π→π} sin nt sin mt dt n≠mの時 ①②の中身は #積和の公式 より 1次の #三角関数 になり 1周期 #積分 すると0 n=mの時 ①の中身=(1+cos 2nt)/2 ②の中身=(1-cos 2nt)/2 いずれも1周期積分するとcosが消え2π・(1/2)=π

#アナログ信号の解析法 11 #フーリエ級数展開: sin(2πn・t/T)に sin(2πm・t/T)をかけると… ▶sin cos や sin sin の式は #積和の公式 より 1次の #三角関数 になり， 1周期 #積分 すると消える. ▶sin^2 の項だけは sin^2 x＝(1-cos 2x) / 2 1周期積分するとcos 2xが消え T/2になる.

#アナログ信号の解析法 10 #フーリエ級数展開: cos(2πn・s/T)に cos(2πm・s/T)をかけると… ▶cos cos や cos sin の式は #積和の公式 より 1次の #三角関数 になり， 1周期 #積分 すると消える. ▶cos^2 の項だけは cos^2 x＝(1＋cos 2x)/2 1周期積分するとcos 2xが消え T/2になる.

#信号処理の数学の準備 10 ↑ このタグの復習… ･#信号処理 をしっかり学ぶには #三角関数 の #積分 計算が必要。 ･#オイラーの公式 を使えば #積和の公式 や #和積の公式 を導出できる。 ･三角関数の公式を 全て暗記する必要はない。 積分すると消える項があるから。 OKでしょうか。

#信号処理の数学の準備 9 #積和の公式 は #三角関数 の #2次式 を #1次式 に直し #次数 を下げるので #積分 可能になり便利. しかし #和積の公式 は逆で， 三角関数の1次式を2次式に直し 次数をわざわざ上げるので 積分できなくなる！ だから和積は #フーリエ解析 では不要なのである.

#信号処理の数学の準備 8 #フーリエ解析 の出だしで… 実は #積和の公式 を覚える必要はない！ 「積和の公式を使えば #三角関数 の #2次式 を 三角関数の #1次式 に変形できる」 という事実さえ知っていればよい。 なぜなら 「三角関数の1次式」は 1周期ぶん #積分 したら0になるから。

#信号処理の数学の準備 6 #オイラーの公式 から #積和の公式 を導出するには cosα cosβ =({e^(jα)+e^(-jα)}/2)・({e^(jβ)+e^(-jβ)}/2) =(1/4){ e^j(α+β)+ e^j(α-β)+ e^j(-α+β)+ e^j(-α-β) } cos,sinの表記に直し cos(-θ)=cosθ sin(-θ)=-sinθ で整理すればよい.(略)

#信号処理の数学の準備 5 #オイラーの公式 より e^(jθ)　=cosθ＋j sinθ e^(－jθ)=cosθ－j sinθ ∴ cosθ={ e^(jθ)＋e^(－jθ) } / 2 ⑨ sinθ={ e^(jθ)－e^(－jθ) } / 2j ⑩ これを使って頑張って #積和の公式 を導出する事も可能だが… 素直に #加法定理 の式を比較した方が導出は楽.

#信号処理の数学の準備 1 ↑ このタグでは下記の事を考えます。 ･#信号処理 をしっかり学ぶには #三角関数 の #積分 計算が必要。 ･#オイラーの公式 を使えば #積和の公式 や #和積の公式 を導出できる。 ･三角関数の公式を 全て暗記する必要はない。 積分すると消える項があるから。

三角関数の公式の資料を作成しました。 復習に役立ちますと幸いです。 ぜひ、一通り目を通してください。 必要であれば、印刷等をしてください。 #高校数学 #三角関数 #大学受験 #数学 #数学資料 #積和の公式 #和積の公式 pic.twitter.com/oaCKAJaQUf