#新型コロナ・Covid19を数学から考える 51 Q. #放射性同位体 の #半減期 T を #崩壊定数 λ で表せ. A. 時刻 t の #原子数 N(t) は N(t) ＝ N0・e^(－λt) 半減期の定義より N(T) ＝ N0 / 2 ＝ N0・e^(－λT) これを解くと T ＝ (log2) / λ ≒ 0.69 / λ #倍加時間 r と同じ形式の式を得る.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 49 Q. ウイルス感染者数 N を時系列で #片対数グラフ にプロットした場合 #倍加時間(#倍加日数) T は どんな意味を持つ？ A. N(t)＝N0・2^(t/T) y ＝ log N(t) ＝ ( log2 / T ) t ＋ log N0 t-y平面に描画するとy(t)は直線で， T が小さいほど急勾配.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 48 #72の法則(Rule of 72) ja.wikipedia.org/wiki/72%E3%81%… #資産運用 において， #元本 が2倍になるような #年利(#複利) r と年数 T を 簡易に求められる法則. 年利r(%)×倍加年数T(年)=72 ウイルス感染者数の #増加率 rと #倍加時間 Tにも近似適用できる.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 47 Q. #倍加時間 Tと #増加率 r %の関係式は 世間ではどんな名前で知られているか？ A. 前ツイより T ≒ 69.3 / r ≒ 70 / r ≒ 72 / r #72の法則 として有名. ja.wikipedia.org/wiki/72%E3%81%… 72＝3^2・2^3 を選ぶのは #約数 が多く #割り算 しやすいから.

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 46 Q. 量N(t)が #指数関数的 に増加し #増加率 r %が小さい時 #倍加時間 Tを r の #近似式 で表せ. A. 前ツイより T＝log2 / log( 1 ＋ r/100 ) ★ 0＜ x ≪ 1 の時 log(1＋x) ≒ x より ★右辺 ≒ log2 / ( r/100 ) ＝ (100 log2) / r ≒ 69.3 / r

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 45 Q. 量 N(t) は #指数関数的 に増加. 単位時間あたりの #増加率 r %. #倍加時間 T. Tをrで表せ A. 増加率の定義より 1 ＋ r/100 ＝ N(t＋1) / N(t)★ N(t)=N0・2^(t/T) を代入し ★右辺=2^(1/T) ★両辺のlogをとり T ＝ log2 / log( 1 ＋ r/100 )

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 44 ▶#倍加時間，#倍加日数 #増加率 r が一定の場合， 量 N は #指数関数的 に増加する. この場合，#倍加時間 T は一定である. 時刻 t＝0 における 量の初期値 N(0)＝N0 とおき， この増加モデルを 倍加時間 T で表すと… N(t) ＝ N0・2^( t / T )