#数楽 Pythonで数値的に確認しているところにしびれた。 x.com/wakapaijazz/st…

#統計 #数楽 #超算数 本当は、こういう問題について、小学校の超絶優れた先生が出て来て、小5の子にも同じことを十分に教えらそうなことを示してくれて、みんないい気分になるというようなことが起こった方が良い。 そういう小学校の先生の教え方は高校や大学の先生にも参考になるはず。

#数楽 例えば偏微分方程式論での「弱解を作ってから微分可能な解であるかどうかを別に考える」というようなことを知っていれば、検定法のNeyman-Pearson的な最適化問題の解を、棄却領域よりも一般的な検定関数の範囲で探すことも自然な方法だと納得できると思います。検定関数解は「弱解」の一種。

#統計 #数楽 検定法の定式化には * P値関数 * 棄却領域 * 検定関数 (値は棄却確率) がある。 検定法のNeyman-Pearson的最適化では検定関数による定式化が優れています。しかし、確率的に棄却したりしなかったりする検定法になる場合があるので、最適化の結果は実践的には使えない場合がある。 x.com/genkuroki/stat…

#数楽 以上の話は数学以外についても当てはまる部分がある。

#数楽 「大学の数学と高校の数学は違う」は個人的に大学での数学教育にかなり有害だと思います。 絵を描いて直観的に考えたせいで失敗する理由は論理的スキルの弱さなので、絵を描くことを嫌がることの背景には論理的スキルを鍛える練習が足りていないことがあると思います。

#数楽 大学新入生のときに、色々うまく理解できた感じがしないようになっていたのですが、その原因は「大学の数学と高校の数学は違う」という言説に騙されていたことのようで、高校までと同様に沢山絵を描いてきちんと直観的に考えるようにしたら急に楽になりました。論理的にも考えるは当たり前。

返信先:@amiami114114#数楽 #超算数 おまけ。整数a,bをある数cで割った剰余が同じである時、a ≡ b (mod c)と書き、aとbは、cを法として合同であるといいます。mod 0においては、いかなる数同士も合同にはならない。全ての整数a,bについて、a !≡ b (mod 0)。

返信先:@amiami114114#数楽 大÷小は、30÷6=5と計算できるが、小÷大はあまりがでる。6÷30=0あまり6。#超算数|タグで頻出ですが、0は全ての数の倍数なので、18についても、18<<0といえる。30と6の除算と同じく、0÷18=0となる。除数が逆の18÷0については、上述の通り商を確定できないと思いますが、あまりは18になる。

返信先:@amiami114114#超算数 #数楽 除数が0ということは商は全ての数(正整数?)でありえるので(a×0+18=18)、商が不定なのは問題ですが、あまりは18と考えられます。【余りが割る数より大きくなっている】のは、倍数約数剰余を考える割り算の時、大小関係(<<と書く)は倍数約数で定めればよい。6は30の約数なので、6<<30。

#数楽 良い問題。

身体で覚える関数のグラフ #数学 #数学をより身近に楽しく #数楽 #学問再興 pic.twitter.com/MAuK4iLzuB

返信先:@sekibunnteisuu#数楽 Taₙ=aₙ₊₁と定めたとき、(T-α)ᵏaₙ=0の解空間の基底として同様に nʲ αⁿ (j=0,1,…,k-1) を取れるので、そのことを使えば、(T-α)(T-β)aₙ=Aαⁿ+Bβⁿのような形の漸化式も容易に解けます。 「解の候補はこれしかない」の型の一般的な結果は方程式を解くときに非常に役に立ちます。

返信先:@sekibunnteisuu#数楽 (∂²+1)u(x)=cos(x)の解u(x)は(∂²+1)²u(x)=0の解。 一般に(∂-a)ᵏu(x)=0の解空間の基底として xʲ eᵃˣ (j=0,1,…,k-1)を取れることを使えば、(∂²+1)²u(x)=0の解空間の基底としてcos(x), x cos(x), sin(x), x sin(x)を取れることが分かり、(∂²+1)u(x)=cos(x)の解も容易に求まります。

返信先:@sekibunnteisuu#数楽 ∂=d/dxのときの∂²+1の逆元を作るという発想は (∂²+1)u(x)=δ(x-t) の解(Green関数)を考える話に焼き直せるのですが、その解の1つは u(x)=θ(x-t)sin(x-t) と作れます。ここで θ(x)=if x>0 then 1 else 0.

返信先:@sekibunnteisuu#数楽 u''+u=tan(x)について私が「普通」だと思う解き方は添付画像の通りです。 u''+u=fの解の1つを u(x)=∫ˣ sin(x-t)f(t) dt で作れるので、f(x)=tan(x)の場合にその積分を計算するという方法です。 u(x)=∫ˣ sin(x-t)f(t) dt は非斉次定数係数線形常微分方程式の一般的解法の特殊な場合。 pic.twitter.com/CbhYQG5vE3

返信先:@sekibunnteisuu#数楽 球面の面積=円柱の側面積 は以前話題になったネタで、私は以下のような図を描きました。 pic.twitter.com/POGyRH0Aiq

#超算数 #数楽 ちょっと困ったことに、デカルトが開平の作図を考えた最初の人ではないという意見の存在を知った。古代ギリシャでもしられていたと高校生らしい人がmaa.org/press/periodic…。また有名な数学動画チャンネルでキオス島の人ヒッポクラテスだとyoutube.com/watch?v=9VVPBS…。典拠不明で困る！！

#数楽 大学1年性向けも講義でガンマ関数にも触れるときには、雑談で、 コンピュータで Γ(x), log Γ(x), ψ(x) = (d/dx)(log Γ(x)) (ディガンマ関数), ψ'(x) (トリガンマ関数), ψ⁽ᵏ⁾(x) (ポリガンマ関数) が効率的に実装されていて、数値計算で気軽に使える と言っておくと親切だと思います。

#数楽 ガンマ関数の微分をガンマ関数で割ったものは、digamma functionと呼ばれ、通常 ψ(x)= Γ'(x)/Γ(x) と表記される基本的な特殊関数の1つです。 コンピュータの基本特殊関数ライブラリで実装されており、数値計算で気軽に利用できます。

#数楽 分数の計算で1/3+2/5=3/8とやってしまうのは、足算としては間違いだ。しかし、この計算で定義された中間数という値が存在する。ファレイ数列 とかja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95…、シュターン＝ブロコ木 (上掲リンクから情報を辿る)の生成に使われる。

#数楽 「割合」=「全体のサイズを1に規格化したときの部分の大きさ」に関する直観だけで、例えば大数の弱法則がどのように見えるかについて十分考えれば、数学的に定式化された大数の弱法則を含めた確率論の諸定理が「割合」に関する結果であることも納得できるはずです。

#数楽 測度論的な意味での確率はランダム性の概念を一切含まない割合の概念の抽象化に過ぎないのに、大数の法則、中心極限定理、大偏差原理のような統計学的にも重要な結果を定式化して証明できることはちょっと面白いと思う。 言われれば自明ですが、何もない所からそこまで到達するのは難しそう。

#数楽 測度論的な意味での確率は「全体の大きさを1に規格化したときの部分の大きさ」の意味での割合の概念の抽象化に過ぎないので、測度論的確率論単体をどんなに眺めても現実世界のどこでなら安全に使えるかは分からない。 測度論的な意味での確率の意味は割合なので頻度論もベイズも関係ない。続く

#数楽 素数の概念について知った子が2,3,5,7,11,13,17,…と素数のリストを作るのと同じように、(a+b)²=a²+2ab+b²となることを知った子が、(a+b)³, (a+b)⁴,…や(a+b+c)², (a+b+c+d)²,…も計算してみたりする。 そういう子の数学の理解度が上がらないはずがない。

#数楽 多分、まともな数学教育のためには、試験で点数を取れるようになることのようなくだらない考え方を完全に排除する必要があります。 価値があるかどうか不明の公式について、覚えたり、導出できるようになっておくことを不適切に強調することの背後には、そういうくだらない考え方があります。

#数楽 中学高校の数学の教科書や参考書で公式を見たら、 そもそもその公式に高い価値があるのか？ を疑う必要があると思います。 生徒が自力で疑い切るの大変なので、教える側が呪いをかけないように注意深く説明する必要があると思います。

#数楽 小学生のときに素数の概念を習うのですが、習った後に、2,3,5,7,11,13,17,…と素数のリストを作ることは非常に素直で良いことだと思います。 それに類することはこれに限らず基本中の基本になります。

#数楽 高校数学の内容について、素直な人なら誰でも感じる疑問を追求すると、高校レベルの話題から容易に外れます。 だから、教える側は高校レベルの事柄だけを理解しているだけだと不十分だと思います。

#数楽 よく使われている三角関数の数値計算の効率的実装では、テイラー展開そのものを使っていません！ テイラー展開よりも効率的な展開係数を求めて使っています。 #Julia言語 での実装 ↓ github.com/JuliaLang/juli… 例えばDS1が-1/6になっていないことなどに注目！ pic.twitter.com/MsYXMw0Wgj

#数楽 整数達から出発して四則演算と平方根(や一般のn乗根)だけで書けない三角関数の値をどのように求めるかも、実用的に非常に重要な問題です。 数学史的にこれはバビロニアの数学まで戻る問題！ 三角関数の数値計算をどのようにするかも非常に面白いです。

#数楽 #超算数 数学について色々理解していると、単に大変なだけに見える計算てあっても、数学的に価値ある計算になる可能性があるものが少なくないこともわかります。 教える側が価値があると本気で思っているかどうかで、気持ちの伝わり具合が大きく変わると思います。

#数楽 cosやsinの値が整数達から始めて四則演算と平方根を施して得られる値になるかどうかは、定規とコンパスで作図できるかどうかと一致しています。 cosやsinの値が整数達から始めて四則演算と平方根を施して得られる値になっているかどうかを色々確認することにはそういう数学的意味があります。

#数楽 正3,4,6,8,12角形に関わる三角関数の値を計算できたなら、普通は 　3,4,6,8,12ができたので5の場合は？ と考えるものだと思います。さらに、 　それら以外の場合は？ ともならないとおかしい。 そういう当たり前の発想をしなくする方向に追い込む 　呪い をかけるのはまずい。

#数楽 教科書にUFDでない整域の例として大抵載っている例の1つは A=ℤ[√(-5)]={a+b√(-5)|a,b∈ℤ} です。 Aの可逆元全体は{±1}. そのことから、2,3,1±√(-5)がAの既約元であることを示せる。 2×3=6=(1+√(-5))(1-√(-5)) と6はAの中で2通りの本質的に違う既約元の積への分解を持つ。 続く

#数楽 整域の既約元と素元は実際に異なる概念です。 整域において素元ならば既約元になるのですが、逆の「既約元ならば素元」は一般には成立していません。 UFDでは逆も成立しているので、逆が成立しない例を作るためには、UFDでない整域が必要になります。

#数楽 他にも素数概念の一般化があるかもしれませんが、少し考えるだけで、少なくとも整域における既約元と素元という2つの一般化が得られた。 (素数の概念を環の元として一般化しなくてよいと考えれば、素数の概念の一般化として素イデアルの概念も得られます！イデアルは昔「理想数」だった)

#数楽 素数概念の一般化の仕方は他にもあります。 例えば、整数a,bの積abが素数7で割り切れるならばaまたはbが7で割り切れます。これを一般化することもできる。 整域Aの元pが0でも可逆でもなく、a,b∈Aの積abがpで割り切れるならば常にaまたはbがpで割り切れるとき、pをAの素元と呼ぶ。 続く

#数楽 整数での素数の概念の最も直接的な一般化は、整域Aの元pが、0でも可逆でもなく、それ以上細かく積に分解できないときに、pを素数の一般化とみなし、既約元と呼ぶことです。 「それ以上細かく積に分解できない」の正確な定義は、「a,b∈A, ab=pならばaまたはbがAで可逆になる」です。 続く

#数楽 一般にAがUFD(=一意分解整域=素因数分解の存在と「一意性」が成立している整域)ならば、A[x], A[x,y], …もUFDになります。 その辺について、定式化と証明と主要な例をその場で考えて説明できるだけ理解するまでには、かなりの勉強時間が必要になります。 中学校で数学を教えるのも大変です。