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#数楽 試験問題の答案は、数学的に起こっていることのほんの一部分の情報を切り取って来たものだとみなされます。 だから、満点をもらえる答案を作れても数学的に十分理解したとは言えない。 試験問題の答案作成に過剰適応してしまうと、理解が薄くなって、問題を解く能力も結果的に伸びなくなる。 x.com/f_sei/status/1…
#数楽 の #未解決問題【No.メイク】 +−✕÷を1回ずつ使って ☆1 3 5 6 7で7をつくれ ☆1 4 5 6 9で6をつくれ ☆1 4 5 7 9で9をつくれ ☆1 4 7 8 9 で9をつくれ ☆1 5 7 8 9で7をつくれ 1〜9の数から5つを選び、+−✕÷を1回ずつ必ず使って、1〜10をつくる問題。 1260問中、未解決は上記の5問のみ。 pic.x.com/tx0phwzrxj
#数楽 aₙ₊₂+p₁aₙ₊₁+p₂aₙ=qₙ 型の漸化式は v⃗ₙ = [ aₙ ] [aₙ₊₁] A = [ 0 1 ] [ -p₂ -p₁ ] b⃗ₙ = [0 ] [qₙ] とおくと v⃗ₙ₊₁=Av⃗ₙ+b⃗ₙ と同値になる。 この手のことは微分方程式の講義で習っているはず。 x.com/genkuroki/stat…
#数楽 a⃗ₙ₊₁ = Aa⃗ₙ+q⃗ₙと a⃗ₙ=Aⁿ⁻¹a⃗₁+Aⁿ⁻²q⃗₁+Aⁿ⁻³q⃗₂+⋯+Aq⃗ₙ₋₂+Aq⃗ₙ₋₁ は同値。Aⁿ⁻²q⃗₁+Aⁿ⁻³q⃗₂+⋯+Aq⃗ₙ₋₂+Aq⃗ₙ₋₁をうまく計算できれば一般項が求まります。一般のq⃗ₙでは簡潔な式で表示できないが、特殊な場合には簡潔に表示できたりする。
#数楽 aₙ₊₁=paₙ+qₙ型の漸化式は「順番に足して行く」という素朴な方法でも解けます。しかも、aₙ,qₙがベクトルでpが行列でも同じになる点がその方法の利点の1つです。続く x.com/genkuroki/stat…
#数楽 bₙ=aₙ₊₁-2aₙ=A2ⁿ⁻¹-Cn+C-D について bₙ₊₁-2bₙ=aₙ₊₂-4aₙ₊₁+4aₙではA2ⁿ⁻¹に項が消える ことにも気付く: aₙ₊₂-4aₙ₊₁+4aₙ=Cn-2C+D. これを使えば aₙ₊₂-4aₙ₊₁+4aₙ=cn+d 型の漸化式もaₙ=(An+B)2ⁿ⁻¹+Cn+Dとおけば全部解ける。 wolframalpha.com/input?i=a%28n%… pic.x.com/git9occmxl
#数楽 そこで、 aₙ=(An+B)2ⁿ⁻¹+Cn+D とおくと aₙ₊₁-2aₙ=A2ⁿ⁻¹-Cn+C-D と aₙ₊₁-2aₙではB2ⁿ⁻¹が消えてAn2ⁿ⁻¹がA2ⁿ⁻¹に変わる ことが分かります。この事実を使えば aₙ₊₁=2aₙ+b2ⁿ⁻¹+cn+d 型の漸化式は全部解ける。続く wolframalpha.com/input?i=a%28n%… pic.x.com/vpde2nuvnn
#数楽 例えば類似の問題の aₙ₊₁=2aₙ+2ⁿ+n, a₁=2 をWolframAlphaさんに解いてもらうと aₙ=(n+3)2ⁿ⁻¹-n-1 が答えになります。続く wolframalpha.com/input?i=a%281%… pic.x.com/dxdgctjfur
#数楽 WolframAlphaや紙の上での手計算などで、以下のリンク先以下の試みを色々してみた人なら、そこで得られなかったタイプの問題についても解けるようになる(なっている)可能性があります。 自分で色々試してみる経験は非常に役に立ちます。 x.com/genkuroki/stat…
#数楽 高校2年生で漸化式について勉強するときにも、WolframAlphaは役に立ちます。 a₁=3, aₙ₊₁=2aₙ+3ⁿ+n のような漸化式も以下のように解いてくれます。 ↓ wolframalpha.com/input?i=a%281%… pic.x.com/56zp1otpkn
#数楽 aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+Dとおくとき aₙ₊₁-2aₙでは2ⁿ⁻¹の項が消える ことに気付いた人は aₙ₊₁-3aₙでは3ⁿ⁻¹の項が消える ことにも気付き、さらに bₙ=aₙ₊₁-2aₙ の形を見て bₙ₊₁-3bₙ=aₙ₊₂-5aₙ₊₁+6aₙでは2ⁿ⁻¹, 3ⁿ⁻¹の両方の項が消える ことにも気付くはず。 pic.x.com/gq5nvz4uf6
#数楽 観察をまとめておくと便利。 ①aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+D とおくと aₙ₊₁-2aₙ=B3ⁿ⁻¹-Cn+C-D, a₁=A+B+C+D. これと ②aₙ₊₁-2aₙ=b3ⁿ⁻¹+cn+d, a₁=α を比較すると、②の成立には B=b, C=-c, D=-c-d, A=α-b+2c+d であれば十分。こう置けば②を満たすaₙを①で作れる。 x.com/genkuroki/stat…
#数楽 逆に aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+D が aₙ₊₁=2aₙ+B3ⁿ⁻¹-Cn+C-D を満たすことは紙の上での手計算で容易に確認できます。 WolframAlphaで確認するには以下のようにすればよい。 ↓ wolframalpha.com/input?i=a%28n%… pic.x.com/li1ffvbkya
#数楽 以上のような経験を積んで理解が深まっていればその手の漸化式を解くこと(一般項を求めること)は容易になります。 現実には高校生がWolframAlphaを使いこなすのは難しいかもしれないが、教える側の勉強のためには役に立ちやすいと思います。 漸化式については以下のリンク先スレッドも参照。 x.com/genkuroki/stat…
#数楽 漸化式で定義された数列の一般項を求める問題では、どんなに論理的にギャップがある方法であっても、正しい答えを予想して実際に正しいと確認できれば論理的にギャップがない解答になります。 こういう類のことは面倒な数学の議論では普通なので、どこからで学んでおく必要があります。
#数楽 逆に aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+D が aₙ₊₁=2aₙ+B3ⁿ⁻¹-Cn+C-D を満たすことは紙の上での手計算で容易に確認できます。 WolframAlphaで確認するには以下のようにすればよい。 ↓ wolframalpha.com/input?i=a%28n%… pic.x.com/li1ffvbkya
#数楽 WolframAlphaはもっと一般的な漸化式 aₙ₊₁=2aₙ+b3ⁿ+cn+d も解いてくれます。結果の表示はごちゃごちゃしていいますが、 aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+D の形になっています。続き wolframalpha.com/input?i=solve+… pic.x.com/qj2tiebgjx
#数楽 高校2年生で漸化式について勉強するときにも、WolframAlphaは役に立ちます。 a₁=3, aₙ₊₁=2aₙ+3ⁿ+n のような漸化式も以下のように解いてくれます。 ↓ wolframalpha.com/input?i=a%281%… pic.x.com/56zp1otpkn
#数楽 あと、グラフを単に見るだけでもダメで、グラフから仮に「原点から角度θ方向の傾きは一定っぽい」という観察が得られたなら、関数の極座標表示も求めてみるというようなこともやってみるべきです。 「具体例の確認」は機械的にできることではなく、相当に頭を使う作業になります。 pic.x.com/lt2vtldyap
#数楽 大学での数学の期末試験ではコンピュータを使えないという理由で添付画像のようなグラフを作っても無意味である、のような馬鹿げた思い込みにとらわれてしまうと、結果的に理解が薄くなってしまい、期末試験でも十分な点数が取れなくなるリスクが増えます。 pic.x.com/wkzvbahnvn
#数楽 f(x,y)=x²y/(x²+y²)は、極座標表示すると f(r cos θ, r sin θ) = r cos² θ sin θ と書けるので、原点から角度θ方向には傾きcos² θ sin θの一次関数になっています。 コンピュータに書かせたグラフを見てもそうなっているっぽいことが分かります。 グラフの形を見たことがある経験は重要。 pic.x.com/fun0ppdtaj
#数楽 高校数学Ⅰでsinの定義から (**) θ = ∫₀ʸ √(x'(t)²+y'(t)²) dt = ∫₀ʸ dt/√(1-t²) の逆関数がy=sin θになることが分かります。t=sin uという置換積分を経由せずにそのことが分かります。 y=sin θが(**)の逆関数であることを使えば、dy/dθ=(d/dθ)sin θがcos θになることもわかる。 x.com/genkuroki/stat…
#数楽 この図の状況で高校の教科書における sin の定義は y = sin θ. (x(t), y(t)) = (√(1-t²), t) を頑張って微分して二乗和の平方根を計算すると、速さ = 1/√(1-t²) が得られる。面倒なのはこの計算だけ。 θは速さの積分で θ = ∫_0^y dt/√(1-t²) と書ける。これの逆函数が y = sin θ. pic.x.com/styhk4uoqe
#数楽 杉浦光夫『解析入門Ⅰ』のp.175には 【(*) lim_{t→0} (sin t)/t = 1 ~円弧の長さを例えば積分で定義したとしても, その積分を計尊するのに(*)を用いなければならぬのでは循環論法になってしまう】 と酷い誤りが書いてある。続く pic.x.com/jzi69gcsht x.com/genkuroki/stat…
杉浦光夫『解析入門Ⅰ』のp.175には 【(*) lim_{t→0} sin t/t = 1 ~円弧の長さを例えば積分で定義したとしても, その積分を計尊するのに(*)を用いなければならぬのでは循環論法になってしまう】 と非常によろしくない説明がある。 おそらく、これは循環論法というデマが広まった主原因。 pic.x.com/mb5gld1zn9
#数楽 ある種の人達は「高校数学での三角関数の微積分は循環論法に陥っている。それを防ぐには三角関数をそのTaylor展開で天下り的に定義しなければいけない」というデマを信じていたりする。 おそらくその原因のかなりの部分が ↓ x.com/genkuroki/stat…
杉浦光夫『解析入門Ⅰ』のp.175には 【(*) lim_{t→0} sin t/t = 1 ~円弧の長さを例えば積分で定義したとしても, その積分を計尊するのに(*)を用いなければならぬのでは循環論法になってしまう】 と非常によろしくない説明がある。 おそらく、これは循環論法というデマが広まった主原因。 pic.x.com/mb5gld1zn9
#数楽 大学の数学の先生達が語る「高校数学と大学数学の違い」言説は多くの場合に、「大学数学は数学的に厳密だが、高校数学はそうではない」のような言い方で高校数学の__内容__を貶める行為を含んでいる。 しかも以下のリンク先のようにその貶め方が酷く間違っていることがある。これは有害。続く x.com/genkuroki/stat…
「高校数学的な三角函数の微積分は循環論法になっている」という数学教育的に有害だと思われるデマが広まった原因が、杉浦光夫『解析入門Ⅰ』のp.175にあるかもしれないことにはずっと気付いていなかった。 この点についてはこれを教科書に使っている人達は気を付けた方がいいかも。 pic.x.com/n6uykrmpbe