#統計 #数楽 中学1年生相手に、たったの1000回や2000回の試行で非常に正確な値が得られるかのように見せるために人為的に作ったデータを使って確率について教えることは、大変な悪行の1つだとみなされるべき。 悪を堂々と行なっている人達がいる。 まだかわいい中学1年生に何をやっているんだか。

#統計 #数楽 「n→∞で○○に近付く」という結果だけだと役に立たない。 「どの程度の速さで近付くか」に関する結果は必須！ 大数の法則での誤差は1/√nのオーダーでゆっくり小さくなるので、「1000回、10000回」は「たったの1000回、10000回」だと思っておかないと誤解する危険性があります。

#数楽 の #未解決問題【No.メイク】 ＋−✕÷を1回ずつ使って ☆1 3 5 6 7で7をつくれ ☆1 4 5 6 9で6をつくれ ☆1 4 5 7 9で9をつくれ ☆1 4 7 8 9 で9をつくれ ☆1 5 7 8 9で7をつくれ 1〜9の数から5つを選び、＋−✕÷を1回ずつ必ず使って、1〜10をつくる問題。 1260問中、未解決は上記の5問のみ。 pic.x.com/tx0phwzrxj

#数楽 aₙ₊₂+p₁aₙ₊₁+p₂aₙ=qₙ 型の漸化式は v⃗ₙ = [ aₙ ] [aₙ₊₁] A = [ 0 1 ] [ -p₂ -p₁ ] b⃗ₙ = [0 ] [qₙ] とおくと v⃗ₙ₊₁=Av⃗ₙ+b⃗ₙ と同値になる。 この手のことは微分方程式の講義で習っているはず。 x.com/genkuroki/stat…

#数楽 数学にかぎらず、教える側がどんなに頑張っても、教わっている側が「全然面白くない」と思っていたら、結局のところ教えることに失敗すると思います。 面白いと思っているからこそ、面倒な試行錯誤をやる気になれるはずがない。 本当は役に立つのに役に立たないかのように教えるのはまずい。

#数楽 大学での教養としての数学の講義までの内容は(当然算数から高校数学を含む)、普通の意味で役に立つものばかりです。 ところが教わっている側にはそのことが全然伝わっていない。 教えている側も役に立つ数学を教えている自覚がない場合が多いのではないか？

#数楽 一般に微分方程式は漸化式(差分方程式)で近似され、漸化式に関して理解しておくと、微分方程式の理解でも役に立ちます。 微分方程式は役に立つ数学の典型例なので、漸化式も役に立つ数学の典型例扱いできます。 高校でも役に立つ数学だとわかるように教えて欲しいと思います。

#数楽 ベクトルのa⃗ₙ, q⃗ₙと行列Aから得られる漸化式 a⃗ₙ₊₁=Aa⃗ₙ+q⃗ₙの型の漸化式は、実質行列を排除されてしまった高校生向けの解説では扱いが困難なのですが、教える側は理解しておく必要があると思います。 大学で習うdu⃗(t)/dt=Au⃗(t)+b(t)型の微分方程式の解法と本質的に同じ。

#数楽 a⃗ₙ₊₁ = Aa⃗ₙ+q⃗ₙと a⃗ₙ=Aⁿ⁻¹a⃗₁+Aⁿ⁻²q⃗₁+Aⁿ⁻³q⃗₂+⋯+Aq⃗ₙ₋₂+Aq⃗ₙ₋₁ は同値。Aⁿ⁻²q⃗₁+Aⁿ⁻³q⃗₂+⋯+Aq⃗ₙ₋₂+Aq⃗ₙ₋₁をうまく計算できれば一般項が求まります。一般のq⃗ₙでは簡潔な式で表示できないが、特殊な場合には簡潔に表示できたりする。

#数楽 a⃗ₙ₊₁ = Aa⃗ₙ+q⃗ₙ のとき、 a⃗₁=a⃗₁ a⃗₂=Aa⃗₁+q⃗₁ a⃗₃=A²a⃗₁+Aq⃗₁+q⃗₂ a⃗₄=A³a⃗₁+A²q⃗₁+Aq⃗₂+q⃗₃ ⋯⋯⋯ a⃗ₙ=Aⁿ⁻¹a⃗₁+Aⁿ⁻²q⃗₁+Aⁿ⁻³q⃗₂+⋯+Aq⃗ₙ₋₂+q⃗ₙ₋₁ これは易しいはず。大学生向けに話すときにはn=1ではなく、n=0から始める。

#数楽 aₙ₊₁=paₙ+qₙ型の漸化式は「順番に足して行く」という素朴な方法でも解けます。しかも、aₙ,qₙがベクトルでpが行列でも同じになる点がその方法の利点の1つです。続く x.com/genkuroki/stat…

#数楽 数学の理解では重要なことは参考書や教科書の通りにやる必要は皆無だということです。 参考書や教科書の通りやる必要は皆無だが、試しに従ってみる というのと 参考書や教科書の通りやる必要がある と思ってしまうのでは大違い。

#数楽 WolframAlphaのような飛び道具なしなら、もっと素朴にやった方がよいかも。 例えば ↓ x.com/genkuroki/stat…

#数楽 bₙ=aₙ₊₁-2aₙ=A2ⁿ⁻¹-Cn+C-D について bₙ₊₁-2bₙ=aₙ₊₂-4aₙ₊₁+4aₙではA2ⁿ⁻¹に項が消える ことにも気付く: aₙ₊₂-4aₙ₊₁+4aₙ=Cn-2C+D. これを使えば aₙ₊₂-4aₙ₊₁+4aₙ=cn+d 型の漸化式もaₙ=(An+B)2ⁿ⁻¹+Cn+Dとおけば全部解ける。 wolframalpha.com/input?i=a%28n%… pic.x.com/git9occmxl

#数楽 そこで、 aₙ=(An+B)2ⁿ⁻¹+Cn+D とおくと aₙ₊₁-2aₙ=A2ⁿ⁻¹-Cn+C-D と aₙ₊₁-2aₙではB2ⁿ⁻¹が消えてAn2ⁿ⁻¹がA2ⁿ⁻¹に変わる ことが分かります。この事実を使えば aₙ₊₁=2aₙ+b2ⁿ⁻¹+cn+d 型の漸化式は全部解ける。続く wolframalpha.com/input?i=a%28n%… pic.x.com/vpde2nuvnn

#数楽 例えば類似の問題の aₙ₊₁=2aₙ+2ⁿ+n, a₁=2 をWolframAlphaさんに解いてもらうと aₙ=(n+3)2ⁿ⁻¹-n-1 が答えになります。続く wolframalpha.com/input?i=a%281%… pic.x.com/dxdgctjfur

#数楽 WolframAlphaや紙の上での手計算などで、以下のリンク先以下の試みを色々してみた人なら、そこで得られなかったタイプの問題についても解けるようになる(なっている)可能性があります。 自分で色々試してみる経験は非常に役に立ちます。 x.com/genkuroki/stat…

#数楽 自分なりに独自に色々考えてみて理解した人の説明と、他人の説明をそのまま鵜呑みして従っているだけの他人の説明は多くの場合に容易に区別できます。 高校生向けの漸化式の解説の多くは、どこかで見た解法をそのまま鵜呑みして説明しているだけ。自分の頭では何も考えていない。

#数楽 ところが、高校生向けの漸化式の解法の解説は、天下り的なくせに無駄に途中の過程を書かせる最低のスタイルなものが多く、数学的な理解についてだけではなく、受験対策的にもダメすぎるものが多い。 おそらく解説している側の数学的理解度が低いせいでそうなっています。

#数楽 一意的に決まる漸化式の一般項を求める問題の解答は、答えを求める過程を一切書かずに答えを書いてそれが答えになっていることを示せば論理的にギャップがない答案が得られます。

#数楽 以上の観察をまとめれば、漸化式 aₙ₊₂-5aₙ₊₁+6aₙ=cn+d, a₁=α, a₂=β の解(一般項)は aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+D とおいてA,B,C,Dの値をc,d,α,βから求めれば得られることが分かる。 計算はWolframAlphaにまかせれば楽。寝転んでスマホの類で遊べる。手で計算しても大したことない。

#数楽 aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+Dとおくとき aₙ₊₁-2aₙでは2ⁿ⁻¹の項が消える ことに気付いた人は aₙ₊₁-3aₙでは3ⁿ⁻¹の項が消える ことにも気付き、さらに bₙ=aₙ₊₁-2aₙ の形を見て bₙ₊₁-3bₙ=aₙ₊₂-5aₙ₊₁+6aₙでは2ⁿ⁻¹, 3ⁿ⁻¹の両方の項が消える ことにも気付くはず。 pic.x.com/gq5nvz4uf6

#数楽 観察をまとめておくと便利。 ①aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+D とおくと aₙ₊₁-2aₙ=B3ⁿ⁻¹-Cn+C-D, a₁=A+B+C+D. これと ②aₙ₊₁-2aₙ=b3ⁿ⁻¹+cn+d, a₁=α を比較すると、②の成立には B=b, C=-c, D=-c-d, A=α-b+2c+d であれば十分。こう置けば②を満たすaₙを①で作れる。 x.com/genkuroki/stat…

#数楽 以上のような経験を積んで理解が深まっていればその手の漸化式を解くこと(一般項を求めること)は容易になります。 現実には高校生がWolframAlphaを使いこなすのは難しいかもしれないが、教える側の勉強のためには役に立ちやすいと思います。 漸化式については以下のリンク先スレッドも参照。 x.com/genkuroki/stat…

#数楽 逆に aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+D が aₙ₊₁=2aₙ+B3ⁿ⁻¹-Cn+C-D を満たすことは紙の上での手計算で容易に確認できます。 WolframAlphaで確認するには以下のようにすればよい。 ↓ wolframalpha.com/input?i=a%28n%… pic.x.com/li1ffvbkya

#数楽 WolframAlphaはもっと一般的な漸化式 aₙ₊₁=2aₙ+b3ⁿ+cn+d も解いてくれます。結果の表示はごちゃごちゃしていいますが、 aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+D の形になっています。続き wolframalpha.com/input?i=solve+… pic.x.com/qj2tiebgjx

#数楽 高校2年生で漸化式について勉強するときにも、WolframAlphaは役に立ちます。 a₁=3, aₙ₊₁=2aₙ+3ⁿ+n のような漸化式も以下のように解いてくれます。 ↓ wolframalpha.com/input?i=a%281%… pic.x.com/56zp1otpkn

#数楽 あと、グラフを単に見るだけでもダメで、グラフから仮に「原点から角度θ方向の傾きは一定っぽい」という観察が得られたなら、関数の極座標表示も求めてみるというようなこともやってみるべきです。 「具体例の確認」は機械的にできることではなく、相当に頭を使う作業になります。 pic.x.com/lt2vtldyap

#数楽 大学での数学の期末試験ではコンピュータを使えないという理由で添付画像のようなグラフを作っても無意味である、のような馬鹿げた思い込みにとらわれてしまうと、結果的に理解が薄くなってしまい、期末試験でも十分な点数が取れなくなるリスクが増えます。 pic.x.com/wkzvbahnvn

#数楽 f(x,y)=x²y/(x²+y²)は、極座標表示すると f(r cos θ, r sin θ) = r cos² θ sin θ と書けるので、原点から角度θ方向には傾きcos² θ sin θの一次関数になっています。 コンピュータに書かせたグラフを見てもそうなっているっぽいことが分かります。 グラフの形を見たことがある経験は重要。 pic.x.com/fun0ppdtaj

#数楽 以上で示した (***) y=sin θ, -π/2≤θ≤π/2のときθ=∫₀ʸ dt/√(1-t²) の理解の仕方は、単に具体的な計算をするだけでは何が足りないかを示す例にもなっています。 t=sin uで置換積分すれば(***)は瞬時に得られるのですが、それだけだと足りない。sinの定義に戻って考え直すことが必要です。

#数楽 数学を理解するためには y=sin θ, -π/2≤θ≤π/2のときθ=∫₀ʸ dt/√(1-t²)となるという公式を無断で使って良いのか のようなくだらない議論には一切関わらないようにするべき。 y=sin θ, -π/2≤θ≤π/2のときθ=∫₀ʸ dt/√(1-t²)となるという公式がどのように自明であるかについて学ぶべき。

#数楽 以上で示した y=sin θ, -π/2≤θ≤π/2のときθ=∫₀ʸ dt/√(1-t²)となるという公式は実はsinの定義と曲線の長さの積分表示から自明 という議論は y=sin θ, -π/2≤θ≤π/2のときθ=∫₀ʸ dt/√(1-t²)となるという公式を無断で使って良いのか のようなくだらない議論とは全然違うことにも注目！

#数楽 要するに * 高校数学Ⅰでのsinの定義 * 高校数学Ⅲでの曲線の長さの積分表示 を組み合わせれば、非常にクリアに三角関数の微積分論を展開できるようになっています。 円弧の長さを積分表示しても循環論法なり得ることの強調はミスリーディングです。教育的に有害。

#数楽 高校数学Ⅰでsinの定義から (**) θ = ∫₀ʸ √(x'(t)²+y'(t)²) dt = ∫₀ʸ dt/√(1-t²) の逆関数がy=sin θになることが分かります。t=sin uという置換積分を経由せずにそのことが分かります。 y=sin θが(**)の逆関数であることを使えば、dy/dθ=(d/dθ)sin θがcos θになることもわかる。 x.com/genkuroki/stat…

#数楽 (x(t), y(t))=(√(1 - t²), t)として曲線の長さの積分表示 (**) θ = ∫₀ʸ √(x'(t)²+y'(t)²) dt = ∫₀ʸ dt/√(1-t²) で円弧の長さを表したときに、t = sin u で置換積分しようとすると、dt/dum= (d/du) sin u が必要になってしまい、確かに循環論法に陥るが、その置換積分は無用です。続く

#数楽 杉浦光夫『解析入門Ⅰ』のp.175には 【(*)　　　lim_{t→0} (sin t)/t = 1 ～円弧の長さを例えば積分で定義したとしても, その積分を計尊するのに(*)を用いなければならぬのでは循環論法になってしまう】 と酷い誤りが書いてある。続く pic.x.com/jzi69gcsht x.com/genkuroki/stat…

#数楽 ある種の人達は「高校数学での三角関数の微積分は循環論法に陥っている。それを防ぐには三角関数をそのTaylor展開で天下り的に定義しなければいけない」というデマを信じていたりする。 おそらくその原因のかなりの部分が ↓ x.com/genkuroki/stat…

#数楽 大学の数学の先生達が語る「高校数学と大学数学の違い」言説は多くの場合に、「大学数学は数学的に厳密だが、高校数学はそうではない」のような言い方で高校数学の__内容__を貶める行為を含んでいる。 しかも以下のリンク先のようにその貶め方が酷く間違っていることがある。これは有害。続く x.com/genkuroki/stat…