#黄金比はなぜ特別な数なのか 53 実数xを #正則連分数 に展開する時 分数の入れ子を途中で打ち切り★ 有理数近似を得る。 が，分母の整数部分が1だと★の正当性が弱い。 黄金比φは「分母が1」が無限に入れ子で 打ちきりの正当性がいつまでも来ず 良い有理数近似が永遠にできない。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 52 #黄金比 を #正則連分数 に展開し 「分母の整数だけを並べて書く」記法で表示すると… ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3… φ ＝(1＋√5)/2 ＝1＋1/( 1＋1/( 1＋… ) ) ＝[ 1; 1, 1, 1, 1, … ] (※1が無限に続く) 1より大きい数が いつまでも現れない。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 51 #黄金比 φ＝(1＋√5)/2 は #正則連分数 に連分数展開すると φ＝1＋1/( 1＋1/( 1＋… ) ) のように 全ての 「入れ子になった分数の分母の整数部分」が 1ばかりになる，という性質を持つ。 おかげで，どのタイミングでも 小数部分を切り捨てづらい。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 40 「10進表示の桁を途中で打ち切る」 という方法は 打ちきり前後の項の比は10。 「#正則連分数 に展開し 分母の入れ子を途中で打ち切る」 という方法は 整数部分 a_n ≧ 1 小数部分 0≦ b_n ＜1より 打ちきり前後の項の比が いくらでも大きくなれる！ #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 37 #正則連分数 に展開する時， Σで表せる級数和の形ではなく 漸化式により再帰的に構造が決まる。 この連分数展開の 分母の入れ子操作の打ち切りの前後で 大小を比較できる量は… 「整数部分と小数部分に分解」という部分。 (1/b_n)＝a_{n+1}＋b_{n+1} #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 36 有理数近似が 「10進表示の桁の打ち切り」という方法だと 打ちきり前後の項の比★は 平均的に約10倍。 「10分の1の大きさの後続桁を捨てる」ということ。 では 「#正則連分数 に展開し 分母の入れ子を途中で打ち切り」 という方法だと比★はいくつ？ #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 26 π ≒ 3＋1/7＝ [ 3; 7 ] π ≒ 3＋1/(7＋1/15)＝ [ 3; 7, 15 ] … πの値を #正則連分数 で表した 最初の100項や1万項を 下記URLから見れる。 円周率.jp/value/cfrac.ht… πは #無理数 なので， 100項や1万項どころか いつまでも連分数展開が終わらない。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 25 #正則連分数 の 分母の値だけを連ねる記法: π ≒ 3＋1/7＝ [ 3; 7 ] (=22/7) π ≒ 3＋1/(7＋1/15)＝ [ 3; 7, 15 ] (=333/106) πの値を正則連分数で表した 最初の100項や1万項を 下記URLから閲覧できる。 円周率.jp/value/cfrac.ht… #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 24 π ≒ 3＋1/7　① =22/7 π ≒ 3＋1/(7＋1/15)　② =333/106 ①，②の式に現れるような 「全・分子が1である連分数」を #正則連分数 という。 分子が1と決まっているので ①＝[ 3; 7 ] ②＝[ 3; 7, 15 ] のように 分母の値だけを連ねる記法もある。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 17 実数xを #正則連分数 によって 連分数展開する際， 下記のような性質がある。 ①連分数展開の入れ子が 有限回で終了する事と， xが #有理数 である事は同値。 ②連分数展開の入れ子が 無限に続く(終わらない)事と， xが #無理数 である事は同値。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 15 有理数を #正則連分数 で 連分数展開すると， 分母の入れ子が無限には続かず どこかの分母で 「小数部分=0」が必ず訪れる ↓ 具体的に何回目で0になる？ それを証明させたのが 2011年の東大入試というわけ。 ※解答:大問2 densu.jp/tokyo/11tokyos… #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 14 2011年・東大入試の数学で出題された 連分数展開は， 「有理数を #正則連分数 で表示すると 連分数展開が必ずどこかでストップする」 ことの証明。 有理数の連分数展開は 入れ子が無限には続かず， どこかの分母で 「小数部分＝0」が必ず訪れる。 #数論

#黄金比はなぜ特別な数なのか 10 連分数 ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3… ・ #連分数(continued fraction): 分母の中に さらに分数が含まれているような分数。 ・連分数の分子が全て 1 である場合 #単純連分数 または #正則連分数 (regular continued fraction) または単に連分数と呼ぶ. #数論