#複素解析を概観 18 #コーシーの積分公式 (Cauchy's integral expression) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3… ･#コーシー の第2定理，コーシーの積分表示とも. ･#閉曲線 C によって囲まれる領域内の 任意の1点 a において… f(a) ＝ (1 / 2πi) ∲_C { f(z) / (z－a) } dz

#複素解析を概観 17 ▶覚えるべき #周回積分･続 C は z_0 を内部に含む #閉曲線 ∲_C { 1 / ( z － z_0 ) } dz ＝ 2πi ↓ ↓ 発展形 ↓ ∲_C { f( z ) / ( z － z_0 ) } dz ＝ 2πi f( z_0 ) #極 z_0 の近傍で f( z ) を「1次式で割りつつ周回積分」すると f( z_0 ) という値を取り出せる.

#複素解析を概観 16 ▶覚えるべき #周回積分 「分母が1次式のn乗」 C は z_0 を内部に含む #閉曲線 として ∲_C { 1 / ( z － z_0 )^n } dz　★ ① n＝1 の場合: ★＝2πi ② n≠1 の場合: ★＝0 分母が1次式の場合だけ生き残る。 分母が1次式でない場合，周回積分の値が0になる。

#複素解析を概観 15 #コーシーの積分定理 (Cauchy's integral theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3… ･#コーシー の第1定理とも. ･ある領域を囲む #閉曲線 で #複素関数 f(z) を積分するとき， その領域内で f(z) が常に #正則 であれば その積分の値は必ず 0 となる. ∲_C f(z) dz ＝ 0

#複素解析を概観 14 領域D内部で #正則 かつ 境界∂D上で f，f ' が連続なら ∲_{∂D} f(z) dz = 0 これにより積分経路を 変数変換しやすいように連続変形可能 (例:半径1の円周) 証明は #グリーンの定理(ストークスの定理) ∲_{∂C} (Mdx＋Ndy) = ∬_C (∂N/∂x－∂M/∂y) dxdy による.

#複素解析を概観 13 #複素積分 の初歩: #複素関数 f(z)=u＋v iの時 変数変換により ∫{z_1→z_2} f(z) dz = ∫{x_1→x_2} { u( x, y(x) )＋i v( x, y(x) ) } ･ {1＋i dy/dx} dx f(z)の実部と虚部を 各々(x,y)平面上の2変数関数と考え yをパラメータxで表せば xのみに関する積分となる.

#複素解析を概観 12 調和関数(harmonic function) / #複素関数 と2次元調和関数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF… 複素関数 f(z) = w(x,y) = u(x,y)＋i v(x,y)が #複素微分可能 なら 実部と虚部に対応する実2変数の実関数 u(x,y), v(x,y)は #調和関数 ∴#正則 な複素関数の 実部と虚部は実調和関数