[211]nを自然数とし、m=n²+n+1とする.mと互いに素な自然数aが存在して、集合{a^i-a^j:i≠jは0以上n以下の整数}の各元をmで割った余りが{1,2,…,m-1}になるとき、a^(n+1)-1はmの倍数であることを示せ(2019年近大数学コンテスト、標準)

でも整数であることより強い条件がかけられていなければ、真偽が確定しないのでこういうのを「条件」と呼んでいて、他方で、 「x は偶数である⇒ x は4の倍数である」 みたいに、全称量化として呼んだときに、閉論理式になっているようなものを「命題」と呼んでいるのではなかろうか？ どうだろう

[144]p,qは素数でp＜qとする。またm,nを正の整数とし、m≧3とする。1から(p^m)(q^n)までの整数のうちpまたはqの倍数の個数が240個であるとする。これらの条件を満たす組(p,q,m,n)を全て求めよ(2008年群馬医大、激易)

[120]以下の条件をみたすような正整数の組(n,p)をすべて決定せよ ・pは素数 ・n≦2p ・(p－1)ⁿ＋1はn^(p－1)の倍数 (1999年IMOルーマニア大会4、やや易)

返信先:@r_11220123lilac大学数学の可算無限集合の話を読んでいらっしゃるんですね。 自然数、2の倍数、整数、有理数・・・など、無限個存在するこれらは全て「同じ量の無限個」ってやつですね！ 読書の幅が広くて驚きました！

返信先:@suzzukes今思えば、ですが、 √3(a+2)が整数になるには、 3の倍数で、かつ奇数です。で、この場合は100以下。 つまり 3×1, 3×3, 3×5 ... 3×33 「あ～33を半分にして四捨五入したくらいの数かな」と、感覚的にも合いますね

返信先:@suzzukes連続する3つの正の奇数a, b, cについて考える b,cはそれぞれa+2,a+4と書ける。つまり a+(a+2)+(a+4)=3a+6 =3(a+2)。 これは3の倍数である① 次に平方根の中について考える。１桁の整数なので1,4,9,16,25,36,49,64,91のいずれかである。しかし①より3の倍数なので、9と81である。 答…2通り

返信先:@suzzukes連続するのでa=b-2でありc=b+2である 故に√(a＋b＋c)=√(3b)となる √(3b)が整数なのでbは3を約数に持つ １桁で奇数の3の倍数は3と9であるからbは3または27である よってa, b, cの組は二組ある

b＝2m+1（mはm≧1の整数） √3（2m+1）＝n（nは1≦n≦9の整数） 3（2m+1）＝n^2 nは少なくとも3の倍数であり、かつ2と互いに素であるから n＝3、9 n＝3は m＝1 n＝9は m＝13 なので（a、b、c）の組み合わせは 2組

こういう子供は定義をそもそも理解していないので、 ①偶数と2の倍数は同じ ②2の倍数は2×整数で表せる数 ③整数とは0から1刻みで辿り着ける数 ④整数同士の和、差、積は整数 ⑤2つの偶数は連動しないので、文字1つで表したらマズイ あたりを確認するだけでそこそこできると思うんだけど…

返信先:@suzzukesまず3つの連続する奇数の和はa+b+c=3bであり、これも奇数。これが平方数ということは、奇数の平方数。√(3b)が1桁の整数なのだから、考えられるのは、 3b=1^2,3^2,5^2,7^2,9^2 3bは当然3の倍数だから、3^2か9^2。 つまり、1,3,5か25,27,29の2組。

へー、偶数の和って偶数になるのか。偶数って、２の倍数だから、一般的には2nになるんで、まぁ別の偶数は2mってことで、2n+2mなのね。てことは2×(n+m)ってことなわけで、あ、nとmはともに整数ね。だから、2×(n+m)は偶数なのね。ヨシッ

#整数問題コレクション 185 ★ 等差数列の 1 の位を d 桁並べた整数が100個または2014個あるとき，6または8の倍数は何個あるか？ (2014年･筑駒中学校) ※「いいねした人に１人１問出題する」企画より ↓ twitter.com/Todai_Exam_Tan…

[232]正の整数の組(a,b)であってa³がb²の倍数であり、かつb-1がa-1の倍数であるようなものをすべて求めよ(2022年APMO1、易)

[244]p,qを異なる素数、nを正の整数とするとき、p^(2n)+q^(2n)はp+qの倍数にならないことを示せ(1997年第一回京大実戦2、5分問題)

[192]正の整数a,bは10進法で表すといずれも2n桁となり最上位の数字は0ではない。さらに次の条件を満たす ・aの上n桁とbの下n桁は等しくaの下n桁とbの上n桁は等しい ・a＜bである ・bはaの倍数である このようなa,bをすべて求めよ (2003年JMO本選2、易)

#整数問題コレクション 176 ★ 1～8の異なる数字で3桁の整数を作るとき，3の倍数の個数および総和はいくつか？ (2009年･灘高校) ※「いいねした人に１人１問出題する」企画より ↓ twitter.com/Todai_Exam_Tan…

[127]m,nが非負整数のとき(2m)!(2n)!はm!n!(m＋n)!の倍数であることを示せ(1972年IMOポーランド大会3、やや易)

[120]以下の条件をみたすような正整数の組(n,p)をすべて決定せよ ・pは素数 ・n≦2p ・(p－1)ⁿ＋1はn^(p－1)の倍数 (1999年IMOルーマニア大会4、やや易)

返信先:@aruku1352他1人このツリーはnが3以上の倍数って指定があったらむずいけど、1,2なら無限にあるよっていう、「ちゃんと条件指定しないと簡単だよ」的なニュアンスのリプで始まったんだから、その流れなだけでしょ。「整数っていう条件も入れないと簡単だよ」っていう。もちろん普通だったら暗黙の了解だろうね。

[120]以下の条件をみたすような正整数の組(n,p)をすべて決定せよ ・pは素数 ・n≦2p ・(p－1)ⁿ＋1はn^(p－1)の倍数 (1999年IMOルーマニア大会4、やや易)

[144]p,qは素数でp＜qとする。またm,nを正の整数とし、m≧3とする。1から(p^m)(q^n)までの整数のうちpまたはqの倍数の個数が240個であるとする。これらの条件を満たす組(p,q,m,n)を全て求めよ(2008年群馬医大、激易)

[174]次の条件を満たす正の整数の組(a,b,c)をすべて求めよ ・aとbとcの最大公約数は1である ・任意の正の整数nに対してaⁿ＋bⁿ＋cⁿはa＋b＋cの倍数となる (自作問題、易)

#超算数 「整数の性質」と題する第7章に、【数知れず無限に存在して居る各数】は素数と合成数に分けられるという記述がある(192ページ)。この章は倍数をあつかうので0を考慮の外に置くのはよいが、議論の前に0を除外したと断るべきだった。当時も整数は自然数の児童語だったならば両義性の説明はつく。 pic.twitter.com/jabvUhthSQ

ユークリッド互除法とかダサい事はしない。計算間違いもしやすいし。 mod でいく。 x , y は　もちろん　integer (整数) 法は　3 か4が非常に有用。 mod 3でいくと 2 x + 0 ≡ 0 ( mod 3 ) 2x ≡ 0 2 と3は互いに素だから　 2x が3で割れるには　xが3の倍数！ x = 0 と3 pic.twitter.com/Z40ZooOUTd

日曜何やるかをいいね数で決めます！ いいね偶数：🚲鹿沼 いいね3の倍数：🚃烏山 いいね6の倍数：🚲壬生 いいね7の倍数：🚲宇都宮市内の駅・ライトライン停留所巡り いいね整数の2乗：🚲上河内サービスエリア いいね整数の3乗：🚲ろまんちっく村 いいねその他の奇数：🚃西那須野

返信先:@yuu_hawata他1人整数表記を単精度倍数とか浮動小数点表記とかの宣言するとなったような気がしますが。。。。。　もう記憶のかなたです^^;)

240522解答です。(3)までは易しいです。(4)はＰが７の倍数であることから、素因数分解した形の７以外のところを７で割った余り＝Ｐを49で割った余りになることが分かれば解けます。 #整数 #難易度B pic.twitter.com/4Ioz8qfi2g

#整数問題コレクション 152　[確率] 2,0,1,8が書かれた8枚のカードから4枚並べて整数を作るとき，偶数で9の倍数となる確率は？ (2018年･北海道大学) ※「いいねした人に１人１問出題する」企画より ↓ twitter.com/Todai_Exam_Tan…

整数で例えば『連続する3つの自然数の積は6の倍数である』みたいなのって自明として扱っていい？ 使うなら示さなあかん？？

返信先:@Sayo_Kisaraa3桁の整数ならば百の位をa、十の位をb、一の位をcとすると、a+c=bならばその整数は11の倍数且つ10a+cの約数を持つことが証明されています。 11の倍数っていいよね、13はあんまり好きじゃないけど

[127]m,nが非負整数のとき(2m)!(2n)!はm!n!(m＋n)!の倍数であることを示せ(1972年IMOポーランド大会3、やや易)

[174]次の条件を満たす正の整数の組(a,b,c)をすべて求めよ ・aとbとcの最大公約数は1である ・任意の正の整数nに対してaⁿ＋bⁿ＋cⁿはa＋b＋cの倍数となる (自作問題、易)

【認知症!? チェック】1・5・10・100・1000 制限時間は2秒！ 仲間ハズレは？ #SmartNews 1だけ5の倍数でない とか 5だけ10の整数乗で表せない とか 5だけ素数 とか diamond.jp/articles/-/343…

場合の数でカードで3の倍数を作る問題、順序だてて考える力が問われますね。 ①3の倍数＝各位の和が3の倍数 ②与えられたカードで作れる3の倍数を洗い出す ③それぞれの3の倍数になるカードの組み合わせを洗い出す ④それぞれのカードの組み合わせで作れる整数のパターンを数える

返信先:@furasuko970656フォロー外から失礼します まずは具体的な問題で質問をしてみたらいかがでしょうか 整数をa,bとするのは法則を調べるときに使うことがあります 例えば4の倍数は2で割れるのか 4÷2=2,8÷2=4 400や4000まで確かめるのは大変 それを4の倍数は4aとして 4a÷2=2aってすればどんな数字でも確認できますね！

返信先:@another_an_zu難しくないです。 4桁の整数の場合でやると、 1000a+100b+10c+d =999a+99b+9c+(a+b+c+d) だから、1000a+100b+10c+dを3で割った余りとa+b+c+dを3で割った余りは等しいです。 これが分かれば9の倍数もできます。

概要 正の整数でa[1]…a[n]が与えられる。 ・要素をひとつ選んでその要素を削除する。 ・要素をひとつ選んで+1する。 どちらかの操作を最小限行ってaの総和を3の倍数にした時の操作回数を求めよ。

返信先:@k4550625290÷6=15 つまり、1から90までの整数の内、6の倍数は15個だから、15!回目ってことかな?🤔 電卓で15!を計算すると1307674368000って数字が出たから、1307674368000回目ってコト…!?