(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)＝2ᴺ･1･3･5...(2n-1) この式のn＝k+1のときに (k+2)(k+3)(k+4)...(2k)･(2k+1)･｛2(k+1)｝ になるらしいんだけど(2k+1)と｛2(k+1)｝ってどこから出てくるの？

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＜#東大数学の過去問＞ (1) 全ての自然数 k に対し 次の不等式を示せ. 1 / 2(k＋1) ＜ ∫{0→1} (1－x)(k＋x) dx ＜ 1 / 2k (2) 全ての自然数 m, n (m＞n) に対し 次の不等式を示せ. (m－n) / 2(m＋1)(n＋1) ＜ log( m / n ) － Σ{k＝n+1 → m} 1/k ＜ (m－n) / 2mn (2010年 東京大学)

Q8. lv6[2019京理特色] nを自然数とする。整数kに関する次の条件①,②を考える。 ① 0≦k＜n ② k/n≦1/m＜(k+1)/nを満たす自然数mが存在する。 条件①,②を満たす整数kの個数をTnとする。このとき lim(n→∞）logTn/lognを求めよ

CF974 (Div. 3) A~F6完 (アカン) A: good B: N, N - 1, ..., N - K + 1に含まれる奇数の数が偶数であれば良い C: 思考停止、二分探索 D: 差分更新ができる E: 馬に乗った乗らないを状態に持った2N頂点でダイクストラ F: 木DP

[70]数列{a_n}が Σ(k＝1〜n)a_k＝[n²/3](n＝1,2,…) を満たすとき正の整数Nについて Σ(k＝2〜3N)1/(a_k)(a_(k+3)) を求めよ(2004年第二回京大オープン3、激易)

今日のトプセカ 加古川線125-9(N1) JR神戸線225-701 (K1) 阪急神戸線c#8000 c#8501 　　　　　　　　　　　　　　　　以上

#数学コーヒーブレイク 公式暗記ではなく 帰納法も使わず 証明して下さい. (1) S_1 ＝ Σ{k=1→n} k ＝ n(n+1)/2 を証明せよ. (2) k^{n+1} － (k－1)^{n+1} が k の n 次式であることを示せ. (3) (2)を使い S_2 ＝ Σ{k=1→n} k^2 S_3 ＝ Σ{k=1→n} k^3 S_4 ＝ Σ{k=1→n} k^4 を求めよ.

大統領後決めの公式より、 　ₙCₖ=ₙCₖ₋₁(n-k+1)/k 　ₙCₖ/ₙCₖ₋₁=(n-k+1)/k⋛1⇔k⋚(n+1)/2 nが偶数の時、 　ₙC₀<...<ₙC_((n/2)-1)<ₙC_(n/2)>ₙC_((n/2)+1)>...>ₙCₙ. nが奇数の時、 　ₙC₀<...<ₙC_((n-1)/2)=ₙC_((n+1)/2)>...>ₙCₙ.

(2l+1), q は奇数であるから、(2l+1)≤q. (2l+1)を最大にするのは等号が成立する時、 i.e. (2l+1)=qの時. この時、mは最小で、m=2ᵖ⁺¹. ∴₂ₖ₋₁Cₘが偶数となる最小のmは、m=2^(v₂(k)+1). ₙCₘという出題であれば、n=2k-1⇔k=(n+1)/2 より、 m=2^(v₂((n+1)/2)+1). (但し、nは奇数)

Iim[n→∞]Σ[k=1…n]1/nるちゃん今日大学おるんか

僕は∑k(k+1)/2=∑k(n-k+1) から求めてる 3乗和は ∑k(k+1)(2k+1)/6=∑k(k+1)(n-k+1)/2 n乗和がわかれば n+1乗和も求められる x.com/basitter_2/sta…

デジガチャ N1連 【N】IRIAMヘッダーK　1個 #なまずつーるず ぴーすけ

(1)はn=1,2とn=k,k+1,k+2での数学的帰納法でも解けますよね？ x.com/ogino_obuya_bo…

後期は単位何一つとらんし大学の勉強もしないので仮面浪人終了。 k=1からn=1になります。

返信先:@mobilidade9230８１号はＫ１です たしかに当時はＮ１でした😅

一般化して、ある整数 k に対して M² = 1²+2²+3²+…+n²+k の整数解 (M, n) をそれぞれ考えるのも楽しそう (k=0 でキャノンボール問題、k=1 で引RTの月見団子) 試しに n：1~1000万、M：1~1億 の範囲で解を探索した結果 (0≦k≦32) ・解なし：k=5,10,12,13,14,18,27,28 ・自明解(n=1の物)のみ：k=3,8,24 x.com/Pajoca_/status…

返信先:@miyachooo_装填する弾 1+2+3+...+n (数列をわかりやすくした)大砲 n ∑k k=1 発射した後 n(n-1)/2 こんな感じ ワイはこんな感じに見えている

引用元のanに対して以下が成り立つ (n-1)an = -Σ_{k=1}^{n-1} ak*s(n-k) ただし s(n) = { 　6σ(3m)+18σ(m)　　if n=9m 　6σ(3m±1)　　if n=9m±3 (複号同順) 　other 0 } σ(n)は約数関数 σ(n)との畳み込み和の漸化式 x.com/MSc7orme/statu…

文字コードいろいろあって便利やな ceil(x)=⌈x⌉ floor(x)=⌊x⌋ ＿＿_ ⎷x²+y² = |(x,y)| ⎲n ⎳k=1 2ᵏ⁻¹ = 2ⁿ-1

もしかしてΠ[k=1～n-1](2cos(πk/n))^2= 1 if n≡1(mod2),0 if n≡0(mod2) になる？

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#数学コーヒーブレイク 公式暗記ではなく 帰納法も使わず 証明して下さい. (1) S_1 ＝ Σ{k=1→n} k ＝ n(n+1)/2 を証明せよ. (2) k^{n+1} － (k－1)^{n+1} が k の n 次式であることを示せ. (3) (2)を使い S_2 ＝ Σ{k=1→n} k^2 S_3 ＝ Σ{k=1→n} k^3 S_4 ＝ Σ{k=1→n} k^4 を求めよ.

Q58.lv3[2007東北大後期] 楕円x^2/4+y^2/9=1上に点P_k (k=1, 2, ···, n)を∠P_kOA= kπ/nを満たすようにとる。ただし,O=(0, 0),A=(2, 0)とする。このときlim_(n→∞)1/n∑[k=1,n]1/(OP_k)^2を求めよ

返信先:@05_TozaiLineもしかして 左辺が(n-1)+nで表されてる式の右辺って n Σ k k=1 だったりするん

リアデジガチャ 聖音ロキアくん10連 【N】アイコンリングB　1個 【N】アイコンリングD　1個 【R】ヘッダーE　1個 【R】ヘッダーF　2個 【SR】壁紙I　1個 【SR】壁紙J　1個 【SR】壁紙K　1個 【SSR】ネップリN　1個 【SSR】ネップリO　1個 #なまずつーるず

[70]数列{a_n}が Σ(k＝1〜n)a_k＝[n²/3](n＝1,2,…) を満たすとき正の整数Nについて Σ(k＝2〜3N)1/(a_k)(a_(k+3)) を求めよ(2004年第二回京大オープン3、激易)

【譲渡】新テニスの王子様 新テニミュ 4th stage フォーステ 譲 9/22昼 1Kサブセン(通路3以内) 9/22夜 1I(ｱｲ)センブロ 1Nセンブロ(通路2以内) 求 定価～希望額 9/22昼1K→1.8 9/22夜1I→2.3,1N→1.5 にて即決(流より安価設定) 振込後レタパ郵送 dm通知不良の為リプか❤️お願いします

[46]任意の正の整数の組(k,n)に対して、あるk個の(相異なるとは限らない)正の整数m₁,m₂,…mₖが存在して 1+((2ᵏ-1)／n)＝(1+(1／m₁))(1+(1／m₂))…(1+(1／mₖ)) となることを示せ(2013年IMOコロンビア大会1,やや易)

返信先:@R_O_R_I_J_O⊢ のモデルは素イデアルの鎖 P_0⊆...⊆P_n に対応します（(a,k) は a∈P_k と解釈）。 完全性定理より ∀x_1,...,x_n. (x_1,1),...,(x_n,n)⊢(x_1,0),...,(x_n,n-1) ⇔ ¬(∃x_1,...,x_n. (鎖 P_0⊆...⊆P_n があって、x_k∈P_k-P_{k-1})) ⇔ 長さ n の狭義の鎖がない ⇔ dim A < n となります。

#数学コーヒーブレイク Cは二項係数. ベルヌーイ数を B_0 = 1 B_n = －{1/(n+1)} Σ{k=0→n-1} C(n+1, k)・B_k で定義する. (1) Σ{j=0→n} j^k = {1/(k+1)} Σ{j=0→k} C(k+1, j)・B_j・n^{k-j+1} を示せ. (2) Σ{n=1→∞} 1 / n^(2k) = (-1)^{k+1}・B_{2k} (2π)^{2k} / 2・(2k)! を示せ.

Q40.lv4[有名問題] ∑[k=1,n]1/kが整数となるようなnを全て求めよ

返信先:@noth3ryy∑で終わるから。 この公式を知らない人は多いけど、 ∑[k=1、n]k=1/2n（n+1） を知らない人はほぼ居ない。 覚えることは何ら変わりないけど、∑は機械的に計算できるし、実用的だし。 でもこの∑の式を証明するのにこの公式の考えが使われるからどちらかと言えばガウスの1-100の和の考え方が重要。

S=∑ k=[1, n] log(1+k/n²)とする. x≥0のとき x−x²/2≤log(1+x)≤xが成り立つから k/n²-k²/2n⁴≤log(1+k/n²)≤k/n² それぞれの式のk=1からnまでの総和を求めると (6n³+4n²-3n-1)/12n³≤S≤(n+1)/2n 左右のn→∞の極限は1/2なので はさみうちの原理でlim n→∞ S=1/2 x.com/bqnli/status/1…

返信先:@I1Ygf1gkaYUdNlzmanabitimes.jp/math/841 おそらくこの記事が分かり易いと思うが、簡単に説明すると区別のあるn個のものをk個のグループに分けるときの組み合わせの総数を S(n, k) = S(n-1, k-1) + k S(n-1, k) で表せるらしい。だから、k=1からk=nまでのS(n,k)の総和で行ける。 夏休みは短い; ;

調和数 ・harmonic divisor number 　n∈N s.t. nd(n)/σ(n)∈ℕ 調和数 ・harmonic number 　Hn = Σ_{k=1,n}1/k どう区別すべきか... （前者をオアの調和数と呼ぶこともあるらしい）

返信先:@Clever90884左辺はn+(1 2 3 4.....n)までの積で、n=k+1になった時はk+1+(1 2 3 4.....k k+1)までの積ってことになるから一個隣の項はk+1+kをしたものだと思うよ

某大学教科書 【例題】n →∞のとき S=Σ1/(n+k) [k=1〜n]= Σ{1/(1+k/n)}•1/n [k=1〜n]=∫dx/(x+1) [x=0〜1]=log2 の下に [参考]この例題から1-1/2+1/3-1/4+1/5…=log2が示される。 とある。 これは公式1+x+x^2+x^3+…+x^n={1-x^(n+1)}/(1-x)に依らずに導出できると言っているのか? この一文に悩む。😓

Q8. lv6[2019京理特色] nを自然数とする。整数kに関する次の条件①,②を考える。 ① 0≦k＜n ② k/n≦1/m＜(k+1)/nを満たす自然数mが存在する。 条件①,②を満たす整数kの個数をTnとする。このとき lim(n→∞）logTn/lognを求めよ