＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」 (岩波書店2005砂田) booklog.jp/item/1/4000111… 前書きより: 『第1章では， #ヒルベルト空間 の #作用素論 を基礎にした #量子力学 の設定を行う. #古典力学，特に #ハミルトン力学系 との 類似を追いながら 様々な量子力学的概念を導入する.』

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」(2005砂田) 前書きより: 『#直観 では捉えられない 物質の性質を説明するには #数学的「#手探り」による #基礎付け に頼らざるを得ない. その基礎付けが #正しい ことは #古典力学 と同様に #実験事実 との #照合 のみにより 確かめられる.』

#シュレディンガー方程式の導出 23 #古典力学 の #波動方程式(時間依存) u_xx=(1/v^2)u_tt に正弦波解 u(x,t)=X(x) A cosωt を代入し X_xx=－(ω^2 / v^2) X ★ なる時間非依存の式を得る. 波の変数の基本関係式より ω=2πf v=fλ ∴ ω^2 / v^2=4π^2 / λ^2 よって★は X_xx=－(4π^2 / λ^2) X

#シュレディンガー方程式の導出 22 #古典力学 の #波動方程式 u_xx=(1/v^2)u_tt v:波の速度 u(x,t)=X(x)T(t)=X(x)Acosωt なる #変数分離形 の #正弦波解 を仮定・代入すると u_xx=X_xx A cosωt u_tt=－(ω^2) X A cosωt ∴ X_xx A cosωt=－(1/v^2)(ω^2) X A cosωt → X_xx=－(ω^2 / v^2) X

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」(2005砂田) 前書きより: 『この #古典力学 とは全く異なる #量子力学 の設定は， #数学的 に極めて美しい 整合性を有している. しかし「#なぜ このような 設定が正しいのか?」 という問に対しては #古典的物質観 に立った 説明は極めて困難.』

#シュレディンガー方程式の導出 3 #量子化学 の典型的カリキュラム: ･講義1回目で #前期量子論 をやり ･#古典力学 の #波動方程式 を見せ ･そこからの類推で，水素原子の #シュレディンガー方程式 を導出。 この流れを 「#シュレディンガー方程式の導出」 のタグで紹介してゆきます。

#シュレディンガー方程式の導出 2 #前期量子論 では… ･#古典力学 に(理由も分からず) 演算子置き換えを導入 ↓ ･#量子力学 へ移行 という流れに 謎，違和感，天下り感を感じます。 が実際は逆で， 「量子力学がまずあって そこから古典力学が導出される」 という流れが真なのです。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 16 とくに，#角運動量 については 前もって #古典力学 の勉強時に しっかりイメージと計算法を 熟知しておかないと， いきなり #量子論 や #量子化学 で 「角運動量を #演算子 化しろ！」 と言われても，何の事か全くわからず そこでつまずくだろう。

#シュレディンガー方程式の導出 36 #古典力学 での 粒子(#電子)の「#運動エネルギー K」を 1次元と3次元で考えてみよう。 ▶1次元では K_1 ＝ {p_x}^2 / 2m ▶3次元では K_3 ＝ ( {p_x}^2 ＋ {p_y}^2 ＋ {p_z}^2 ) / 2m p_x，p_y，p_z は それぞれ粒子(電子)の x，y，z 方向の #運動量。

#シュレディンガー方程式の導出 33 今から100年以上も前， 試行錯誤と 右往左往で作られていった #前期量子論…。 #相対論 が既習である事を前提に， 当時の「実験事実」と整合するよう #古典力学 の数式を 頑張ってアナロジーで #演算子 形式に置き換えてゆく…。 学びづらいですよね

【今日の数学者】6月12日は、20世紀数学の巨人の一人、ウラジーミル・アーノルド(ウクライナ出身, 1937- 2010)の誕生日。 #古典力学 #微分方程式 #特異点理論 アーノルドの名を冠して Springer から創刊された Arnold Mathematical Journal は、今年で10周年を迎えました。 link.springer.com/journal/40598 pic.twitter.com/WC663DD2lR

#シュレディンガー方程式の導出 23 #古典力学 の #波動方程式(時間依存) u_xx=(1/v^2)u_tt に正弦波解 u(x,t)=X(x) A cosωt を代入し X_xx=－(ω^2 / v^2) X ★ なる時間非依存の式を得る. 波の変数の基本関係式より ω=2πf v=fλ ∴ ω^2 / v^2=4π^2 / λ^2 よって★は X_xx=－(4π^2 / λ^2) X

#シュレディンガー方程式の導出 22 #古典力学 の #波動方程式 u_xx=(1/v^2)u_tt v:波の速度 u(x,t)=X(x)T(t)=X(x)Acosωt なる #変数分離形 の #正弦波解 を仮定・代入すると u_xx=X_xx A cosωt u_tt=－(ω^2) X A cosωt ∴ X_xx A cosωt=－(1/v^2)(ω^2) X A cosωt → X_xx=－(ω^2 / v^2) X

運動方程式を使うゾウのイラストを描きました。 #運動方程式 #古典力学 pic.twitter.com/yp6OUEVtId

＜#解析力学の参考書＞ 「ロボットと解析力学」(2018有本) p1より: 『#解析力学 では， #座標系 に依存した表現を #数学的 な手法を使う事により 「座標系に依存しない #一般論」 として記述する事が可能となる. 解析力学は #古典力学 の知識を前提に それを数学的に扱う #学問 といえる.』

＜#解析力学の参考書＞ 「ロボットと解析力学」 (コロナ社2018有本) p1より引用: 『#ニュートン にはじまる #古典力学 は， #運動量 と呼ばれる #ベクトル量 の #定義 により， #運動 に必要な #次元 を持つ #空間 内で #幾何的 に展開され， #直観的 に理解しやすい。 しかし…』

#シュレディンガー方程式の導出 3 #量子化学 の典型的カリキュラム: ･講義1回目で #前期量子論 をやり ･#古典力学 の #波動方程式 を見せ ･そこからの類推で，水素原子の #シュレディンガー方程式 を導出。 この流れを 「#シュレディンガー方程式の導出」 のタグで紹介してゆきます。

#シュレディンガー方程式の導出 2 #前期量子論 では… ･#古典力学 に(理由も分からず) 演算子置き換えを導入 ↓ ･#量子力学 へ移行 という流れに 謎，違和感，天下り感を感じます。 が実際は逆で， 「量子力学がまずあって そこから古典力学が導出される」 という流れが真なのです。

＜#解析力学の参考書＞ 「量子力学を学ぶための解析力学入門」(講談社1978) 『#量子力学 に手をつけるために #どうしても必要 な #古典力学 の知識は 実は #驚くほど 少なくてすむ. #抽象的 で #難解 な #解析力学 を #最少限 に #整理 し #誰にでもわかる よう やさしく的確に手ほどき.』

＜#解析力学の参考書＞ 「微分形式による解析力学　改訂増補版」 (吉岡出版1996木村・菅野) 『改訂増補に際し #拘束系の力学理論 は #古典力学 の範囲で手を加え 第9章は新たな知見を入れ 大巾に書き換えられた。 最後の付録には #高階微分 の #Lagrange系 を #正準形式 で記述する方法…』

#3次元・極座標のラプラシアン導出 16 とくに，#角運動量 については 前もって #古典力学 の勉強時に しっかりイメージと計算法を 熟知しておかないと， いきなり #量子論 や #量子化学 で 「角運動量を #演算子 化しろ！」 と言われても，何の事か全くわからず そこでつまずくだろう。

＜#非平衡系の参考書＞ 「非平衡統計力学」(1999裳華房) 出版社の公式URL shokabo.co.jp/mybooks/ISBN97… ・正誤表あり 『#古典力学 に立脚して話を進め #量子力学 は用いていない. 冒頭の2章で古典力学と #平衡統計力学 の #エッセンス を コンパクトにまとめてあり 初学者が容易に読み始め…』

#シュレディンガー方程式の導出 36 #古典力学 での 粒子(#電子)の「#運動エネルギー K」を 1次元と3次元で考えてみよう。 ▶1次元では K_1 ＝ {p_x}^2 / 2m ▶3次元では K_3 ＝ ( {p_x}^2 ＋ {p_y}^2 ＋ {p_z}^2 ) / 2m p_x，p_y，p_z は それぞれ粒子(電子)の x，y，z 方向の #運動量。

#シュレディンガー方程式の導出 33 今から100年以上も前， 試行錯誤と 右往左往で作られていった #前期量子論…。 #相対論 が既習である事を前提に， 当時の「実験事実」と整合するよう #古典力学 の数式を 頑張ってアナロジーで #演算子 形式に置き換えてゆく…。 学びづらいですよね

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」(2005砂田) p68より: 『前章で幾つかの #古典力学 の #量子化 を考察した. #量子力学 の成功は これらの量子化により 古典力学では #説明不能 な #実験結果 を #説明可能 にした事. 本章は空洞放射，原子の安定性， 水素原子のスペクトル…』

#シュレディンガー方程式の導出 23 #古典力学 の #波動方程式(時間依存) u_xx=(1/v^2)u_tt に正弦波解 u(x,t)=X(x) A cosωt を代入し X_xx=－(ω^2 / v^2) X ★ なる時間非依存の式を得る. 波の変数の基本関係式より ω=2πf v=fλ ∴ ω^2 / v^2=4π^2 / λ^2 よって★は X_xx=－(4π^2 / λ^2) X

#シュレディンガー方程式の導出 22 #古典力学 の #波動方程式 u_xx=(1/v^2)u_tt v:波の速度 u(x,t)=X(x)T(t)=X(x)Acosωt なる #変数分離形 の #正弦波解 を仮定・代入すると u_xx=X_xx A cosωt u_tt=－(ω^2) X A cosωt ∴ X_xx A cosωt=－(1/v^2)(ω^2) X A cosωt → X_xx=－(ω^2 / v^2) X

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」(2005) p11より 『#古典力学 の #測定誤差 は 測定の精度と 偶然誤差によるもので 力学系の構造に 係わる事ではない. 他方 #ミクロの世界 では 測定の精度や 偶然誤差とは全く独立に 測定値のゆらぎは #量子力学系 の #構造 そのものに由来.』

#シュレディンガー方程式の導出 3 #量子化学 の典型的カリキュラム: ･講義1回目で #前期量子論 をやり ･#古典力学 の #波動方程式 を見せ ･そこからの類推で，水素原子の #シュレディンガー方程式 を導出。 この流れを 「#シュレディンガー方程式の導出」 のタグで紹介してゆきます。

#シュレディンガー方程式の導出 2 #前期量子論 では… ･#古典力学 に(理由も分からず) 演算子置き換えを導入 ↓ ･#量子力学 へ移行 という流れに 謎，違和感，天下り感を感じます。 が実際は逆で， 「量子力学がまずあって そこから古典力学が導出される」 という流れが真なのです。

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」(岩波書店2005砂田) 前書きより: 『第2章は #古典力学 から #量子力学 への #移行(#量子化)について #ハミルトン関数 のクラスを 限定して解説する. 第3章は #量子論 の #誕生 を促した #物理現象 について 量子力学による #解釈 を与える.』

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」 (岩波書店2005砂田) booklog.jp/item/1/4000111… 前書きより: 『第1章では， #ヒルベルト空間 の #作用素論 を基礎にした #量子力学 の設定を行う. #古典力学，特に #ハミルトン力学系 との 類似を追いながら 様々な量子力学的概念を導入する.』

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」(2005砂田) 前書きより: 『#直観 では捉えられない 物質の性質を説明するには #数学的「#手探り」による #基礎付け に頼らざるを得ない. その基礎付けが #正しい ことは #古典力学 と同様に #実験事実 との #照合 のみにより 確かめられる.』

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」(2005砂田) 前書きより: 『この #古典力学 とは全く異なる #量子力学 の設定は， #数学的 に極めて美しい 整合性を有している. しかし「#なぜ このような 設定が正しいのか?」 という問に対しては #古典的物質観 に立った 説明は極めて困難.』

#解析力学_Hamilton形式編 64 整理: ▶#古典力学 の #ポアソン括弧 の式 {x,p}=1 は，#量子力学 で [x̂,p̂]=iℏ なる #交換子 の式に対応. ▶古典力学の物理量の時間発展 dX/dt = ∂X/∂t＋{X,H} は，量子力学では iℏ dÂ/dt = [Â,Ĥ] なる #ハイゼンベルクの運動方程式 に対応.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 16 とくに，#角運動量 については 前もって #古典力学 の勉強時に しっかりイメージと計算法を 熟知しておかないと， いきなり #量子論 や #量子化学 で 「角運動量を #演算子 化しろ！」 と言われても，何の事か全くわからず そこでつまずくだろう。

#シュレディンガー方程式の導出 36 #古典力学 での 粒子(#電子)の「#運動エネルギー K」を 1次元と3次元で考えてみよう。 ▶1次元では K_1 ＝ {p_x}^2 / 2m ▶3次元では K_3 ＝ ( {p_x}^2 ＋ {p_y}^2 ＋ {p_z}^2 ) / 2m p_x，p_y，p_z は それぞれ粒子(電子)の x，y，z 方向の #運動量。

#シュレディンガー方程式の導出 33 今から100年以上も前， 試行錯誤と 右往左往で作られていった #前期量子論…。 #相対論 が既習である事を前提に， 当時の「実験事実」と整合するよう #古典力学 の数式を 頑張ってアナロジーで #演算子 形式に置き換えてゆく…。 学びづらいですよね

#シュレディンガー方程式の導出 23 #古典力学 の #波動方程式(時間依存) u_xx=(1/v^2)u_tt に正弦波解 u(x,t)=X(x) A cosωt を代入し X_xx=－(ω^2 / v^2) X ★ なる時間非依存の式を得る. 波の変数の基本関係式より ω=2πf v=fλ ∴ ω^2 / v^2=4π^2 / λ^2 よって★は X_xx=－(4π^2 / λ^2) X