＜#代数学の参考書＞ 「代数学Ⅱ 環上の加群」(東大出版2007桂) 前書きより引用: 『第3章では #有限群 の #表現論 を扱った. 有限群の #表現 は #群環 上の #加群 の #理論 と みることができることを #強調 しつつ， #指標 とその #直交関係 など #基本的 な #性質 は おおよそ解説した.』

＜#解析学の参考書＞ 「ガロア理論と表現論 ゼータ関数への出発」(2014) p18より 『#有理数体 ℚ上の #有限次ガロア拡大 の #ガロア群 として 全ての #有限群 が出てくると #予想 されているが，#未解決. この問題は #ジャン・ピエール・セール 「#ガロア理論 特論」(原著1992) が詳しい.』

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(2015江口・菅原) 前書きより: 『#共形代数 の #表現論 と #保型形式 の理論， そして 巨大な #位数 を持った #有限群 との間の #ミステリアス な関係である #ムーンシャイン と呼ばれる現象に 新しい #発展 があり， 本書の最後の部分で紹介したい.』

＜#代数学の参考書＞ 「物理学におけるリー代数 原著第2版」(ジョージァイ2010) 『#有限群，特に #対称群(#置換群)の #表現 と応用の部分は 殆ど新たな #書き下ろし. #Dynkin係数 を用いた 表現の具体的構成法や #例外群 E_6の表現， それに基づく #統一理論 も 詳しい解説を #書き加え…』

#群論の知識 #ケイリーグラフ (Cayley graph) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1… ・ #群 の構造を表現するグラフ. ・群(おもに #有限群)の #生成集合 に対し使われる. ・ #組合せ群論，#幾何学的群論 における中心的な道具.

＜#代数学の参考書＞ SGCライブラリ 「物理のためのリー群とリー代数」(2008) 前書きより 『#近頃 の #理論物理学 系の #大学院学生 は ずっと幅広い #数学的素養 を 求められる場合が増えてきた. それは #連続群 に 関係する部分が多い. 物性論や化学への #有限群 の応用は他の書物で…』

＜#代数学の参考書＞ SGCライブラリ 「物理のためのリー群とリー代数」(2008窪田) 前書きより: 『大阪大学 理学部 物理学科での #群論 の #物理学 への #応用 を 主題とした講義のノートを #有限群 に関係する部分を圧縮しつつ #連続群 に関係する部分を膨張させて でき上がったのが本書.』

#群論の知識 #コンパクト群 (compact group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3… ・コンパクト位相群 (compact topological group). ・ #位相 が #コンパクト であるような #位相群 のこと. ・離散位相をいれた #有限群 の 自然な一般化である.

＜#代数学の参考書＞ 紀伊國屋数学叢書28 「有限単純群」 (紀伊國屋書店1987鈴木) p1より引用: 『任意の #有限群 が与えられれば その #組成列 に現れる #単純群 の集合が定まるので， それらの単純群の性質を用いて 任意の有限群のもつ性質を 解明することができる と期待される。』

#群論の知識 Feit–Thompson theorem フェイト・トンプソンの定理 en.wikipedia.org/wiki/Feit%E2%8… ・odd order theorem (#奇数位数定理) ・every finite group of odd order is solvable. 全ての奇数 #位数 の #有限群 は #可解 である. ・1962年と1963年にFeitとThompsonの共著で発表

#群論の知識 フェイト・トンプソンの定理 (Feit–Thompson theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF… 呼び名: ・「ファイト・トンプソンの定理」とも. ・別名「#奇数位数定理」 内容: ・全ての奇数 #位数 の #有限群 は #可解群. ・有限群が #単純群 ならば，それは素数位数の #巡回群 か偶数位数.

#群論の知識 #バーンサイドの定理 (Burnside theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… ・「p, q は素数， a, b は 0 以上の整数として， #位数 が (p^a)･(q^b) である #有限群 G は #可解群 である」 ・1904年に #バーンサイド が 有限群の #表現論 を使って証明.

＜#代数学の参考書＞ 「有限単純群」(1987鈴木) 前書きより引用: 『#分類定理 の #証明 は 非常に長く #非常に難しい ので， 証明の #簡易化 をはかること， および分類定理を #利用 して 一般の #有限群 の性質を #解明 することが， 今後の #有限群論 の 2つの #中心課題 と思われる。』

#群論の知識 #マシュケの定理 (Maschke's theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E… ・ #有限群 の #表現 の 既約表現への分解に関する定理. ・有限群Gの ある標数0の #体 上の 有限次元表現 (V,ρ) に対し， 任意のG-不変部分空間Uは G-不変な直和補因子Wを持つ. つまり表現 (V,ρ) は #完全可約.

#群論の知識 有限群の表現 / #マシュケの定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8… #有限群 G の #表現 は 半単純(#完全可約)な性質を持ち， 任意の G-表現 W の部分表現 V が G-不変な補完表現(compliment)を持つ.

＜#代数学の参考書＞ 紀伊國屋数学叢書28 「有限単純群」 (紀伊國屋書店1987鈴木) bookmeter.com/books/2248311 前書きより引用: 『#有限群 はすべて #単純群 を積み重ねて得られる。 そこで， 単純群はどのような #群 であろうか という質問は #有限群論 の根本にある 重要な問題であった。』

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(2015江口・菅原) p187より: 『ℤ_2 #オービフォルド 化を 行なうと #定数項 がなくなり これが #最も基本的 な c=24のextremal CFTと考えられ， #モンスター群 と呼ばれる #巨大 な #位数 を持つ #有限群 の研究と 深い関係にある事が知られている.』

#群論の知識 「#表現論 は， Gが #無限群 のときは #リー群 や代数群の連続表現を除いて， ほとんど手がついていないほど難しい。 また #有限群 の場合でも， #体 Kの #標数 が0でないときは なかなかの困難を見せており…」 (朝倉書店「加群十話」1988年)

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p155より引用: 『#ガロア は， 各 #代数方程式 には ある #有限群 が対応し その #方程式 の #根 の性質は 対応する #群 の #正規部分群 の性質に 依存する事を示した. 正規部分群は 代数方程式の #解 の性質を 決定する基礎を提供.』

#群論の知識 #有限アーベル群 (finite abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… #有限群 かつ #アーベル群. #有限生成アーベル群 の特別な場合. さまざまな応用がある: ・調和解析 ・合同算術 ・ #ガロア理論 ・情報理論

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(2015江口・菅原) 前書きより: 『#共形代数 の #表現論 と #保型形式 の理論， そして 巨大な #位数 を持った #有限群 との間の #ミステリアス な関係である #ムーンシャイン と呼ばれる現象に 新しい #発展 があり， 本書の最後の部分で紹介したい.』

#群論の知識 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7… #シローの定理 その2: 「素数 p を固定した時， #有限群 G の全てのシロー p-部分群は 互いに #共役 である (G内の #共役変換 を通して #同型 である).」 H と K が #群 G のシロー p-部分群であれば， g^{-1}Hg＝K なる G の元 g が存在.

#群論の知識 #シローの定理 (Sylow theorems) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7… その1: 「#有限群 G の #位数 が 素因数 p を重複度 n で約数として持てば， 位数 p^n の G のシロー p-部分群が存在する.」 これは #コーシーの定理 よりも強い.

#群論の知識 (#群論 の) #コーシーの定理 Cauchy's theorem ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3… 「#有限群 G の #位数 |G| が 素数 p の倍数であれば， G は #位数 p の元を含む.」 1845年に #コーシー が証明.

#群論の知識 p-群 (p-group) ja.wikipedia.org/wiki/P-%E7%BE%… ・p-準素群(p-primary group)とも. ・任意の元の #位数 が 素数 p のべきになっている. ・ #群 の構造を理解するための 基本的な道具の1つ. ・「ほとんどすべての #有限群 が 2-群である」 という都市伝説的な予想がある.

＜#代数学の参考書＞ 「群と表現」(1996吉川) 前書きより: 『5章までで議論する #有限群 とは， ある #図形 を ･#有限角度 の #回転 ･#鏡映 などの #操作 により それ自身に #重ねる 手続き間の #関係 を理解するものであり #視覚的 に理解しやすい。 後の #連続群 の理解の基礎にも…』

＜#代数学の参考書＞ 「群とその表現」(共立出版1967服部) 前書きより引用: 「#19世紀 末に #Frobenius によって #有限群 の #表現論 が 創始されて以来， #Lie群 や 一般の #位相群 の 表現論などもあいついで開拓され… 数学の諸分野と密接に結びついて 大きな位置を占めている。」

＜#代数学の参考書＞ 「群とその表現」(共立出版1967服部) 前書きより引用: 「#19世紀 末に #Frobenius によって #有限群 の #表現論 が 創始されて以来， #Lie群 や 一般の #位相群 の 表現論などもあいついで開拓され… 数学の諸分野と密接に結びついて 大きな位置を占めている。」

＜#代数学の参考書＞ 「群とその表現」(共立出版1967服部) 前書きより引用: 「#19世紀 末に #Frobenius によって #有限群 の #表現論 が 創始されて以来， #Lie群 や 一般の #位相群 の 表現論などもあいついで開拓され… 数学の諸分野と密接に結びついて 大きな位置を占めている。」

＜#代数学の参考書＞ 「モンスター　群のひろがり」(1999原田) p9より: 『#シローの定理 を 知っている我々は #有限群 Gが与えられれば |G| を直ちに #素因数分解 し それぞれの #素数 pについて #シローp部分群， それから #派生 する #正規化群，#中心化群 等を 思い浮かべる事ができ…』