#数楽 デカルトは #超算数|に関係ないと思うが、近世ヨーロッパにおける原論の取り扱いは、非常に名数算術に似ている。再興エウクレイデス主義と名付けてみよう。その上限年代としてデカルトを想定してみた。

#超算数 #数楽 幾何学第一の冒頭：Tous les problèmes de géométrie se peuvent facilement réduire à tels termes, qu'il n'est besoin par après que de connaître la longueur de quelques lignes droites, pour les construire. 線分の長さがわかればそれだけで作図可能な問題を取り扱うと宣言。

#超算数 #数楽 書誌 Warusfel, André. "Le Livre Premier de _La Géométrie_ de Descartes." _Bibnum._ 2017. doi.org/10.4000/bibnum… デカルトの幾何学第一は『方法論序説』(1637)内。副題は「円と直線のみで構成可能な問題について」gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv…。乗除開平はgallica.bnf.fr/ark:/12148/btv…。 pic.twitter.com/VXa9wxSfLj

#超算数|と関連しそうな #数楽|は第一歩にある。加減はともかく、定規とコンパスで乗除と開平ができることはデカルト以前には知られていなかったらしい。 Beeson, Michael. _Constructive Geometry_. final preprint version. December 2009. researchgate.net/publication/26… 単純な比例計算なので、意外。 pic.twitter.com/MWcDmMnYgq

#超算数 #数楽 第二歩目は誰がなしたのかわかりませんでした。とにかく、加減乗除と開平(平方根を求めること)だけなのですが、そうなれば、体積が2倍の立方体が作図できないのは加減乗除と開平だけでは³√2が作図不可能だからといえばよい。この辺りはガロア理論なのでマスオさんのブログを参照。

#超算数 #数楽 前提として、定規とコンパスでなにができるのかが正確に理解されなければならない。第一歩は定規とコンパスで加減乗除と開平が作図可能であると示されたこと。私には意外だったがこれはデカルトの業績だった。第二歩が加減乗除と開平だけが定規とコンパスにできることと示すこと。

#超算数 #数楽 どっちもだな。 マスオ「ギリシアの三大作図問題」『高校数学の美しい物語』2022年12月16日更新。manabitimes.jp/math/2704 ある立方体から2倍の体積を持つ立方体を定規とコンパスだけで作図することは不可能であることを示すにはガロア理論が必要だった。それ以前の話をしたい。

返信先:@sekibunnteisuu#数楽 f(x)がx=0の近傍で微分可能で、f'(x)がx=0で微分可能なら、f(x) = f(0) + f'(0)x + (1/2)f''(0)x² + o(x²) as x→0 となります。 これは高木貞治『解析概論』の定理29の特別な場合になっています。 linesegment.web.fc2.com/books/mathemat… で無料で読めます。 pic.twitter.com/JHuWlHfrlF

返信先:@sekibunnteisuu#数楽 f(x) = a + bx + cx² + o(x²) as x→0 であっても、f'(x)がx=0の近傍で定義されているとは限らないです(その場合にはf''(0)が定義されない)。 続く pic.twitter.com/6swih0HWdR

#数楽 #統計 StanやTuring.jlのような確率プログラミング言語の利用で必要な直観は パラメータx付きのyの確率分布は関数y=f(x)の一般化になっていること です。複雑な統計モデルはこの意味での関数の一般化の複雑な合成によって記述される。

#数楽 統計学との絡みで確率変数の概念を理解したい人は、StanやTuring.jlのような確率プログラミング言語で確率的なモデルを記述して、「実行」してみる経験は非常に役に立つように思えます。 Statistical Rethinking github.com/rmcelreath/sta… は非常によい。

#数楽 数学をある程度勉強した人が、抽象的な一般論を使って様々な数学を抽象化・一般化できるのは当たり前。 その辺がわかっていないと、圏論を使っているのを見ただけで「おお！すげえ！」と感じてしまう。 数学を理解することはそういう浅はかなことではない。

#数楽 確率質量関数や確率密度関数を使って定義された具体的な確率変数達を十分にいじらずに、いきなり一般的で抽象的な確率変数の定式化を勉強をしてしまう人達が、数学的に健全な理解に到達できないのは当たり前。 球面やトーラスを知らずに多様体の定式化を勉強するようなものだ。

#数楽 x⁴(sin(1/x) + 2) とその導関数と導関数の1/x²倍のグラフ(x²をx⁴にした場合) x⁴(sin(1/x) + 2)はx=0までC¹級にのびる。 pic.twitter.com/9tqarvnWLD

#数楽 x²(sin(1/x) + 2) とその導関数のグラフ こういうワイルドな場合についてもグラフは描いておいた方がよい。現代はWolframAlphaのような飛び道具があるのでグラフは容易に描けます。 百聞は一見に如かず。 pic.twitter.com/aMs4PBex41

返信先:@sekibunnteisuu他1人#数楽 中学高校で数学を正しく教えるためには大学1年生で習う数学の教養は必須です。中学高校生向けの参考書レベルの知識しかないと、まともに数学を教えることは無理だと思います。 現実には、大学1年生で習ったことを在学中にマスターし切ることは難しいので、卒業後も継続的に勉強が必要です。

返信先:@sekibunnteisuu他1人#数楽 補足説明 恒等式0x=0もxに関する方程式とみなせます。xに関する方程式0x=0の実数解全体の集合は実数全体の集合になります。 大学1年生で線形代数を習った人は、一般の一次方程式についても習っているはずで、その特殊な場合に「xに関する方程式0x=0」が含まれています。

#数楽 b⃗/a⃗のような書き方を見て、「そんなものは定義されていないからダメだ」と即断するタイプの人は、数学の理解が困難になる可能性が高い。 文脈に合わせて適切な定義を自分で補うことによって議論を正当化して先に進む方が普通だと思います。 良い定義を自分で作れるようにならないとダメ。

#数楽 b⃗/a⃗が実際に役に立ちそうなことは、添付画像のチェバの定理とメネラウスの定理の左辺は形式的に同じ形で右辺の符号が違うことを見れば分かると思います。 長さの比を見るだけではなく、「向き」もしくは「符号」の情報も考えた方が結果をより精密に記述できる。 pic.twitter.com/bOk8LrAnzQ

#数楽 0でないベクトルa⃗と別のベクトルb⃗があるスカラーkによってb⃗=ka⃗という関係になっているとき、b⃗/a⃗を b⃗/a⃗ = k で定義することはできるし、自然でかつ結構役に立ちます。 慣習的に普及している定義しか使わないことにこだわる言説には感心しない方が良いと思いました。続く

#数楽 私個人にとってのベーテと言えばベーテ仮設法(Bethe Ansatz)。 量子可積分系が幾何的ラングランズ対応の話になっちゃうというようなことは、ベーテさんの時代には気付きようがなかったと思う。 解けそうなモデルを解こうとすることは純粋数学の中核部分の発展に関係していたということ。

#数楽 数学の解説文は個性が相当に出易い分野だと思う。 同じような数学ネタを別の人が解説すると雰囲気が全然違ったものになることが多い。

#数楽 f(x)はちょうど2つの虚根を持つことより、複素共役を取る操作が定めるGal(L/ℚ)の元に対応するG⊂Sₚの元は互換になる。 上の結果より、G≅Sₚ. q.e.d.

#数楽 pは素数であるとし、f(x)は有理数係数のp次既約多項式であるとし、f(x)はちょうど2つの虚根を持つと仮定する。このときf(x)のℚ上の最小分解体LについてGal(L/ℚ)≅Sₚ. 証明：f(x)の既約性より、Gal(L/ℚ)はSₚの推移的部分群Gに同型である。 続く

#数楽 Cauchyの定理：有限群Gの位数は素数pで割り切れると仮定する。このときGは位数pの元を持つ。 Gの位数に関する帰納法を使わない証明： A={(x₁,…,xₚ)∈Gᵖ|x₁…xₚ=1}とおき、位数pの巡回群Cₚ=<σ>をAにσ((x₁,…,xₚ))=(xₚ,x₁,…,xₚ₋₁)で作用させる。 続く

#数楽 テンソル場の最も易しい場合はスカラー場です。 スカラー場は数学的には多様体上のスカラー値函数と同じ意味です。 スカラー密度場は多様体上のスカラー値測度と同じ意味です。局所座標系上では、f(x_1,…,x_n) |dx_1⋀…⋀dx_n| と書いておくと便利です。ここで| |は絶対値の意味です。

#数楽 確率分布をパラメータの函数とみなしたものは、パラメータを1点に対応させつ通常の函数(写像)の一般化とみなされます。この事実は統計学において「回帰」で使われる。 パラメータx付きのyの確率分布p(y|x)は函数y=f(x)の一般化。 pic.twitter.com/HetiEFzAL4

#数楽 以上を読めば最近書かれたブログ記事 m-hiyama.hatenablog.com/entry/2020/06/… の添付画像に引用する部分はひどく誤解していることがわかるはずです。 まあ、確率変数を「確率変数」と呼ぶべきではないと強調していた時点で基本的なことを理解する手間を十分にかけていないことは明らかなのですが。 pic.twitter.com/UrcjZzrx2q

#数楽 「多様体の接ベクトルを接ベクトルと呼ぶのをやめて、Leibniz則を満たす線形写像と呼ぼう」と騒ぐ人がいたとしたら、接ベクトルの概念を幾何的に理解していない人扱いで問題ないだろう。 同様な感じで「確率変数と呼ぶのをやめよう」と騒ぐ人がいたら、理解していない人扱いで問題ない。

返信先:@sekibunnteisuu他1人#数楽 (1) a_n → 0 (2) Σ_{n=0}^∞ a_n は収束する の(2)⇒(1)は自明に常に成立しています。極度に非自明なのは (*) Σ_{n=0}^∞ a_n z^n が |z|<1 で絶対収束していて、z=1まで正則函数として延長可能である という強い条件を仮定すると(1)⇒(2)が成立していること。(*)だけでは(2)は出ない。