この問題の(2)ってどのように解けますか？ (1)を使うなら、KerG⊂Im Hが肝になると思います(それ以外は互いに素であることは関係ないから) 次元は多分 (m+n)(m+n+1)/2 - m(m+1)/2 -n(n+1)/2 だと思います(f=X^n,g=Y^mとした) (出典:早稲田2020大問4) pic.twitter.com/0ErWnz4f6f

返信先:@tsujimottern点の置換σは互いに素な巡回置換の積に分解でき、順序は可換です 例．σ=(1358)(24)(79)(6)等 この冪は因子が可換なので各因子の冪になり、巡回置換の位数は長さに一致するので長さの最小公倍数が位数です n点だと、長さの和はnよりnの分割の因子についての最小公倍数となり、つまりlcm(1,...,n)です

[97]数列a₁,a₂,…を a_n＝2ⁿ＋3ⁿ＋6ⁿ－1(n＝1,2,…) で定める。この数列のどの項とも互いに素な自然数をすべて求めよ(2005年IMOメキシコ大会4、易)

返信先:@toaru_splオイラー関数です 1以下n以下のnと互いに素な数の個数を求めてます

[116]xとyは互いに素な正整数でxy≠1としnは正の偶数とする。このときx＋yはxⁿ＋yⁿの約数でないことを証明せよ(1992年JMO本選2、3分問題)

#数学コーヒーブレイク フェルマー数 F_n = 2^{2^n}＋1 (1) F_n を F_{n-1} で表せ. (2) F_n を F_0 から F_{n-1} までの積 F_0 … F_{n-1} で表せ. (3) どのフェルマー数も 互いに素であることを示せ. (4) F_0, …, F_4 は素数. それより大きな F_n で 素数であるものが存在するか?

[193]正の整数kに対し相異なる正の整数a₁,b₁,…,a_k,b_kであって a₁／b₁,a₂／b₂,…,(a_k)／(b_k) が等差数列でありかつi＝1,2,..,kに対しa_iとb_iが互いに素であるようなものが存在することを示せ(2009年APMO4、易)

[211]nを自然数とし、m=n²+n+1とする.mと互いに素な自然数aが存在して、集合{a^i-a^j:i≠jは0以上n以下の整数}の各元をmで割った余りが{1,2,…,m-1}になるとき、a^(n+1)-1はmの倍数であることを示せ(2019年近大数学コンテスト、標準)

＜#京大数学の過去問＞ aとbは互いに素な自然数. aは奇数. 自然数 n に対し 整数 a_n, b_n を ( a + b・√2 )^n = a_n + b_n・√2 をみたすよう定める. 下記を示せ. 1) a_2 は奇数. a_2 と b_2 は互いに素. 2) 全ての n に対し a_n は奇数で a_n と b_n は互いに素. (2009年 京都大学)

俺ととむが仲良しなの、互いに素だからってコト…？(1006と227の最大公約数は1なので)

1と5は一応互いに素なの、キモすぎる 初耳なんだが

返信先:@shonin30197p,qが互いに素だと，整数になるのは分母が1のときですね

返信先:@tooooottttteeee他1人互いに素だから=1を解いて2024倍すればいい

返信先:@z2yvo5HSCUwXmyf素数 ( p ) に 1 を足した数 ( p + 1 ) は 常に元の素数 ( p ) と 互いに素だからでしょ？

負の数でもa=f*b+rの形の普通の定義にrとfの符号の制限をつけたものを用いれば多分問題なくて、0が入った場合も「0と0の最大公約数は存在しない(最大公約数=1ではない)(互いに素ではない)」という形で大抵の部分の説明は多分通る。「割ったときの余り」と定義しちゃうと「0では割れない」で破綻する。

[97]数列a₁,a₂,…を a_n＝2ⁿ＋3ⁿ＋6ⁿ－1(n＝1,2,…) で定める。この数列のどの項とも互いに素な自然数をすべて求めよ(2005年IMOメキシコ大会4、易)

b＝2m+1（mはm≧1の整数） √3（2m+1）＝n（nは1≦n≦9の整数） 3（2m+1）＝n^2 nは少なくとも3の倍数であり、かつ2と互いに素であるから n＝3、9 n＝3は m＝1 n＝9は m＝13 なので（a、b、c）の組み合わせは 2組

返信先:@koharuaoki有理数 p/q（互いに素）とする 1/q 乗なら無数にありそう 適当な x + y = z に対して x^q, y^q, z^q を対応させればいいだけなので 同様の証明で、ピタゴラス数を使えば、2/q 乗も対応可能 p/q 乗なら、p >= 3 以上だと無理じゃない？q 乗した形がフェルマーの最終定理により実現不可能なので

返信先:@amisweetheart1 つだけ予備知識を。 タカ(舘ひろし)とユージ(柴田恭平)は互いに素とは真逆のキャラを演じています。 ダンディー鷹山とセクシー大下、自分等で自らそう名乗るんですから笑うしかないですw

ax+by=1が整数解を持つには、aとbが互いに素である必要があるという事実、名前付いてないのかな

#数学コーヒーブレイク 「オイラーの定理」 n未満で nと互いに素な自然数の個数を φ(n) とおく。(＝オイラー関数) 整数 a, n が互いに素なら a^{ φ(n) } ≡ 1 (mod n) 問: このオイラーの定理が， フェルマーの小定理の一般化であることを示せ。 解答は下記 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95…

[116]xとyは互いに素な正整数でxy≠1としnは正の偶数とする。このときx＋yはxⁿ＋yⁿの約数でないことを証明せよ(1992年JMO本選2、3分問題)

[97]数列a₁,a₂,…を a_n＝2ⁿ＋3ⁿ＋6ⁿ－1(n＝1,2,…) で定める。この数列のどの項とも互いに素な自然数をすべて求めよ(2005年IMOメキシコ大会4、易)

返信先:@Ousui_yammy詳しくはよくわからないけど1と互いに素だよ

z^3 + z + 1 と 3z^2 + 1 は互いに素みたいな感じか? (2) もこの戦略で行けるかは分からん

返信先:@hide_thetaどっちかが0, 1ならZになるので不適 互いに素ならZになるので不適 d=gcd(a,b)>1とするとa^b, b^a∈d^dZ⊆d^2Zなので不適

#数学コーヒーブレイク 「自然数 n を割り切る全ての素数」の積を rad(n) で表す。 例: rad(8)＝2 rad(45)＝rad(3^2・5)＝3・5＝15 下記の2条件を同時に満たす 互いに素な自然数a,b,cは 有限個しか存在しないことを示せ. i) a＋b＝c ii) 任意の ε ＞0 に対し c ＞ { rad(abc) }^(1＋ε)

[74]m,nを異なる正の整数とする。m,nが ・mとnはどちらも10と互いに素 ・mとnの下1桁は等しい ・m¹⁰⁰とn¹⁰⁰の下100桁は等しい を満たすとき、m+nの桁数の最小値を求めよ。必要ならばlog₁₀2＝0.30103を用いよ(東進数学コンクール第2回、やや易)

【オイラーのφ関数(トーシェント関数)】正整数nに, "nと互いに素な, 1以上n以下の整数の個数" を対応させる関数φ, すなわち, φ:ℤ+ → ℤ n ↦ φ(n) = |{k∈ℤ | g.c.d.(k,n)=1,1≦k≦n}| を オイラーのφ関数(トーシェント関数) と呼ぶ ここで, |S| は集合Sの元の個数 が来る？ #毎日公式予想

#数学コーヒーブレイク 「自然数 n を割り切る全ての素数」の積を rad(n) で表す。 例: rad(8)＝2 rad(45)＝rad(3^2・5)＝3・5＝15 下記の2条件を同時に満たす 互いに素な自然数a,b,cは 有限個しか存在しないことを示せ. i) a＋b＝c ii) 任意の ε ＞0 に対し c ＞ { rad(abc) }^(1＋ε)

[243]a,bが互いに素な正の整数であるとき、x²/a²-y²/b²=1を満たす正の整数の組(x,y)は存在しないことを示せ。(1994年第一回京大実戦1、激易)

返信先:@4rkm9YKppAHdPN定義は2つの整数の最大公約数が1であることなので互いに素ですね

1と1は互いに素になりますか？　同じ整数でもいいんでしょうか？

[228]aを3以上の奇数とし、Aₙ=(a^(2ⁿ)+1)/2とする。このときk≠lなる正の整数k,lに対してAₖとAₗは互いに素になることを示せ(京大型模試(出典不明)6、易)

[196]互いに素な自然数m,nに対して(2^m)-1と(2^(2n))-(2^n)+1の最大公約数を求めよ(第18回近大数学コンテスト4、易)

[211]nを自然数とし、m=n²+n+1とする.mと互いに素な自然数aが存在して、集合{a^i-a^j:i≠jは0以上n以下の整数}の各元をmで割った余りが{1,2,…,m-1}になるとき、a^(n+1)-1はmの倍数であることを示せ(2019年近大数学コンテスト、標準)

[101]mp＋nq＝1となる整数(m,n)が存在するため必要十分条件はpとqが互いに素であることを示せ(有名問題、易)

ロリハの基数の乱択って事前に選んだ10個から乱択とかでもいいよね？ 37のk乗(mod (2^61-1))で桁数が10桁のやつをいくつか選んだ あとkはMOD-1と互いに素

返信先:@pitagora_swing任意のあみだくじを恒等あみだくじ (?) にできる最小の個数は n! ((1), (1 2), (1 2 3) ... (1 2 ... n) の lcm が n! なので n! の倍数である必要がある、よって |S_n| = n! と合わせて n!) まあそれ個々については互いに素な積にして求めれば良さそう