#論理回路学の連ツイ レクチャーのハッシュタグの一覧 ①#論理回路学_ビット演算の基礎 ②#論理回路学_回路素子編 ③#論理回路学_ブール代数編 ④#論理回路学_標準形編 ⑤#論理回路学_カルノー図編 ⑥#論理回路学_NAND構成編 ⑦#論理回路学_センター試験

#論理回路学_標準形編 50 まとめてある。 「(パート２)　#論理回路学・問題と解答 ⊕#ブール代数 の計算 ⊕#論理関数 の #加法形&#乗法形･#標準形 ⊕「#加法標準形&#乗法標準形」の #双対性 資格試験や単位取得に活用しよう。 togetter.com/li/1376226

#論理回路学_標準形編 49 ここまでで 「#ブール代数 と #標準形」 の範囲は完了。 要点 ･ブール代数の計算 ･#加法標準形 の求め方 ･#乗法標準形 の求め方 ･加法標準形と乗法標準形が #双対 である事の，証明の仕方 ↑ この４つが自信もってできていれば この範囲は合格だ。

#論理回路学_標準形編 48 Q 中身がブラックボックスの #論理回路 Zの #真理値表 を書いてみた。 #加法標準形 と #乗法標準形 どちらでZを表現するのが楽？ A 真理値表の出力に1が少なければ 加法標準形で表現するのが楽。 真理値表の出力に0が少なければ 乗法標準形で表現するのが楽。

#論理回路学_標準形編 47 Q. Z＝AB＋￢BC＋￢A￢B #乗法標準形 Z2を求めよ A. A B C Z #最大項 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 A+￢B+C 0 1 1 0 A+￢B+￢C 1 0 0 0 ￢A+B+C 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Z2＝(A＋￢B＋C)(A＋￢B＋￢C)(￢A＋B＋C)

#論理回路学_標準形編 46 Q. Z＝AB＋￢BC＋￢A￢B #加法標準形 Z1を求めよ A. A B C Z #最小項 0 0 0 1 ￢A￢B￢C 0 0 1 1 ￢A￢BC 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 A￢BC 1 1 0 1 AB￢C 1 1 1 1 ABC Z1＝￢A￢B￢C＋￢A￢BC＋A￢BC＋AB￢C＋ABC

#論理回路学_標準形編 45 Q. Z＝A＋￢BC #乗法標準形 Z2を求めよ A. A B C Z #最小項 #最大項 0 0 0 0　　　　A+B+C 0 0 1 1 ￢A￢BC 0 1 0 0　　　　A+￢B+C 0 1 1 0　　　　A+￢B+￢C 1 0 0 1 A￢B￢C 1 0 1 1 A￢BC 1 1 0 1 AB￢C 1 1 1 1 ABC Z2＝(A+B+C)(A+￢B+C)(A+￢B+￢C)

#論理回路学_標準形編 44 Q. Z＝A＋￢BC #加法標準形 Z1を求めよ A. A B C Z #最小項 #最大項 0 0 0 0　　　　A+B+C 0 0 1 1 ￢A￢BC 0 1 0 0　　　　A+￢B+C 0 1 1 0　　　　A+￢B+￢C 1 0 0 1 A￢B￢C 1 0 1 1 A￢BC 1 1 0 1 AB￢C 1 1 1 1 ABC Z1＝￢A￢BC+A￢B￢C+A￢BC+AB￢C+ABC

#論理回路学_標準形編 43 前ツイから続く #乗法形 Z は 否定して #ド・モルガンの定理 を使えば #加法形 になる。(=￢Z) そしてこの加法形 ￢Z は #ブール代数 の計算で全変数を出現させれば #加法標準形 になる。 そして加法標準形を否定すれば ￢￢Z は #乗法標準形 になる。 以上！

#論理回路学_標準形編 42 Q. Zが #乗法形 の時 #加法標準形 と #乗法標準形 は どう求めるのが楽？ A とりあえず，わからなかったら #真理値表 さえ書けば 加法標準形も乗法標準形も求まる。 それだけは覚えておくこと！ でも，一応計算のテクニックもある。 次ツイに続く

#論理回路学_標準形編 41 Q. Zが #加法形 の時 #加法標準形 と #乗法標準形 は どう求めるのが楽？ A 加法形は 全変数が現れるよう #ブール代数 で計算し 加法標準形になる。 変数を出現させるには1＝(A＋￢A)を使う。 ↓ #真理値表 を書き 出力が0の行に注目し 乗法標準形を作れる。

#論理回路学_標準形編 40 前ツイの続き ￢Z2をもう一度否定 ￢￢Z2 =(￢(BC))・(￢(￢B￢C)) =(￢B＋￢C)(B＋C) =￢BB＋￢BC＋￢CB＋￢CC =￢BC＋￢CB よって Z1=￢￢Z2 だから Z1とZ2は #双対。証明終。 この流れは暗記しよう。 「#ド・モルガンの定理 より」 って書くのがポイント。

#論理回路学_標準形編 39 前ﾂｲの続き Z1 =￢A￢BC+A￢BC+￢AB￢C+AB￢C =(￢A+A)￢BC+(￢A+A)B￢C =￢BC+B￢C #ド・モルガンの定理 より ￢Z2 = ￢(A+B+C)+ ￢(A+￢B+￢C)+ ￢(￢A+B+C)+ ￢(￢A+￢B+￢C) = ￢A￢B￢C+ ￢ABC+ A￢B￢C+ ABC =(A+￢A)BC+(A+￢A)￢B￢C =BC+￢B￢C 続

#論理回路学_標準形編 38 Q あるZの #加法標準形 Z1=￢A￢BC+￢AB￢C+A￢BC+AB￢C と #乗法標準形 Z2=(A+B+C)(A+￢B+￢C)(￢A+B+C)(￢A+￢B+￢C) が #双対 である事の証明方法 A Z1を加法標準形から #加法形 に直す① ↓ Z2を否定し #ド・モルガンの定理 を適用し もう一度否定② ↓ ①=②

#論理回路学_標準形編 37 Q. Z=A⊕B の #加法標準形 Z1と #乗法標準形 Z2を #真理値表 で求めよ A. 真理値表 A B Z #最小項 #最大項 0 0 0　　　　A＋B 0 1 1 ￢AB 1 0 1 A￢B 1 1 0　　　　￢A＋￢B Z1＝A￢B＋￢AB Z2＝(A＋B)(￢A＋￢B) 楽！

#論理回路学_標準形編 35 Q ･#加法標準形 と #加法形 ･#乗法標準形 と #乗法形 各々どちらがシンプルか？ A #標準形 は 全部の変数が現れるように冗長化してあり 式がそのぶん長い。 だから ・加法標準形より単なる加法形のほうが短い。 ・乗法標準形より単なる乗法形のほうが短い。

#論理回路学_標準形編 33 Q. 前ツイの計算結果を利用し Z=(A+B)(B+C)(C+A) の #乗法標準形 を計算せよ ※重要 A. ￢Z=￢A￢BC＋A￢B￢C＋￢AB￢C＋￢A￢B￢C 両辺否定 ￢￢Z(=Z) =￢(￢A￢BC)・￢(A￢B￢C)・￢(￢AB￢C)・￢(￢A￢B￢C) =(A＋B＋￢C)(￢A＋B＋C)(A＋￢B＋C)(A＋B＋C)

#論理回路学_標準形編 32 Q. Z=(A+B)(B+C)(C+A) ￢Zの #加法標準形 を #ブール代数 で求めよ A. ￢Z = ￢A￢B+ ￢B￢C+ ￢C￢A = ￢A￢B(C+￢C)+ ￢B￢C(A+￢A)+ ￢C￢A(B+￢B) = ￢A￢BC+ ￢A￢B￢C+ A￢B￢C+ ￢A￢B￢C+ ￢AB￢C+ ￢A￢B￢C = ￢A￢BC+ A￢B￢C+ ￢AB￢C+ ￢A￢B￢C

#論理回路学_標準形編 31 Q #真理値表 から #乗法標準形 を作る時 真理値表の行ごとに 「 "対応する" #最大項」 を横に書くが この "対応する" ってどういう意味？ A 「対応する最大項」とは 「この行の入力値のセットで0を産めるような最大項」 の意。 入力値 A=0，B=1 なら A＋￢B

#論理回路学_標準形編 30 Q #真理値表 から #加法標準形 を作る時 真理値表の行ごとに 「 "対応する" #最小項」 を横に書くが この "対応する" ってどういう意味？ A 「対応する最小項」とは 「この行の入力値のセットで1を産めるような最小項」 の意。 入力値 A=0，B=1 なら (￢A)B

#論理回路学_標準形編 29 Q. Z=A＋￢(B⊕C)の #乗法標準形を #ブール代数 で求めよう A. ￢Z =(￢A)(B⊕C) =(￢A)((￢B)C＋B(￢C)) =(￢A)(￢B)C ＋ (￢A)B(￢C) これは￢Zの #加法標準形 両辺否定 ￢左辺=￢￢Z=Z ￢右辺 =￢((￢A)(￢B)C)・￢((￢A)B(￢C)) =(A＋B＋￢C)・(A＋￢B＋C)

#論理回路学_標準形編 28 Q #真理値表 から #乗法標準形 を作る時 出力が0の行を集め 行内で入力が1の変数を否定するのはなぜ？ A #AND接続 内に1項でも0があれば出力が0なので 「0を生み出せる行」を表から集める。 行内で 入力が1の変数を否定 入力が0の変数を肯定し和を取れば0を生む。

#論理回路学_標準形編 27 Q #真理値表 から #加法標準形 を作る時 出力が1の行を集め 行内で入力が0の変数を否定するのはなぜ？ A #OR接続 内に1項でも1があれば出力が1なので 「1を生み出せる行」を表から集める。 行内で 入力が0の変数を否定 入力が1の変数を肯定し積を取れば1を生む。

#論理回路学_標準形編 26 Q. #論理関数 Z＝(￢A)(B＋C) の #乗法標準形 を #真理値表 で求めよう A. A B C Z #最大項 0 0 0 0 A+B+C 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 ￢A+B+C 1 0 1 0 ￢A+B+￢C 1 1 1 0 ￢A+￢B+￢C 最大項を #AND接続 し Z=(A+B+C)(￢A+B+C)(￢A+B+￢C)(￢A+￢B+￢C)

#論理回路学_標準形編 25 Q. Z=(A+B)(B+C)(C+A)の #乗法標準形 を求める方法2つ A. ①#真理値表。 A，B，C，Zの真理値表を書き Zが0になる行の #最大項 を #AND接続。 ②#ブール代数 の計算。 ￢Z の #加法標準形 を求め 両辺を否定。 ※乗法標準形を直接，計算で求めるのは面倒でNG！

#論理回路学_標準形編 24 Q. Z＝AB＋BC＋CA の #加法標準形 は？ A. #OR接続 された各項内に 全変数が出現するようにする。 1＝(X＋￢X) を活用すればよい。 Z ＝ AB(C＋￢C)＋BC(A＋￢A)＋CA(B＋￢B) ＝ ABC＋AB(￢C)＋ ABC＋(￢A)BC＋ ABC＋A(￢B)C ＝ ABC＋(￢A)BC＋A(￢B)C＋AB(￢C)

#論理回路学_標準形編 23 Q #標準形 の力ってｽｺﾞくない？ A どれほど複雑でこんがらがった配線でも #回路 の中身が見れなくて不明でも #真理値表 で入力と出力さえ書けば その回路全体を #論理関数 の式で表せてしまう。 回路の「中身」を調べる手間が ごっそり省けるのですごい。

#論理回路学_標準形編 22 Q #真理値表 から #乗法標準形 を生み出す作業の流れは？ A 真理値表で 出力が0になる行に注目し その行の入力値が 0なら肯定，1なら否定で 変数の和を取り #最大項 を作る。 例 X Y 0 1 に対応する最大項は X+￢Y それら最大項を #AND接続 すれば 加法標準形。

#論理回路学_標準形編 21 Q 入力値X，Yと ある #論理関数 Zの #真理値表 がある。 X Y Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Zの #乗法標準形 は？ A. Z=0となる #最大項 を #AND接続。 X Y 0 0 に対応する最大項はX+Y X Y 1 1 に対応する最大項は(￢X)+(￢Y) AND接続し Z=(X+Y)・((￢X)+(￢Y))

#論理回路学_標準形編 20 Q #真理値表 から #加法標準形 を生み出す作業の流れは A 真理値表の中で 出力が1になる行に注目し その行の入力が 0なら否定，1なら肯定で 変数の積を取り #最小項 を作る。 例 X Y 0 1 に対応する最小項は (￢X)Y それら最小項を #OR接続 すれば加法標準形。

#論理回路学_標準形編 19 Q 入力値X，Yと ある #論理関数 Z の #真理値表 がある。 X Y Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Zの #加法標準形 は？ A. Z=1となる #最小項 を #OR接続 する。 X Y 0 1 に対応する最小項は (￢X)Y X Y 1 0 に対応する最小項は X(￢Y) OR接続し Z=(￢X)Y＋X(￢Y)

#論理回路学_標準形編 18 Q ある #論理回路 の中身を見れず ブラックボックスとします。 入力端子が2つ 出力端子が1つあります。 どうやって，この回路の #論理関数 の式を求めますか？ A. 入力を4パターン変えつつ出力を観察し #真理値表 を書けば #標準形 を作れる。次ツイで実例。

#論理回路学_標準形編 17 Q #乗法標準形 は何の役に立つ？ A 中身の分からない #論理回路 や 具体形が不明な #論理関数 がある時， 入力と出力を #真理値表 に書けば それだけで 論理関数の式を求められる。 なので便利！ 真理値表の出力が0の行に注目すれば 求まる式は「乗法標準形」。

#論理回路学_標準形編 16 Q #加法標準形 は何の役に立つ？ A 中身の分からない #論理回路 や 具体形が不明な #論理関数 がある時， 入力と出力を #真理値表 に書けば それだけで 論理関数の式を求められる。 なので便利！ 真理値表の出力が1の行に注目すれば 求まる式は「加法標準形」。

#論理回路学_標準形編 15 Q 「#論理関数 は必ず #加法標準形 と #乗法標準形 で表せる」 この事実って何に役立つ？ A 「どんな論理関数でも必ず #AND，#OR，#NOT だけで表現できる」 「AND，OR，NOTの３種の部品さえあれば どんな #論理回路 も作れる」 とわかるので価値あり。

#論理回路学_標準形編 14 Q ･#加法標準形 ･#乗法標準形 「#最大」「#最小」という用語を使って言い換えると？ A 加法標準形は #最小項 が #OR接続 された形式なので， 「#最小項形式」とも呼ぶ。 乗法標準形は #最大項 が #AND接続 された形式なので， 「#最大項形式」とも呼ぶ。

#論理回路学_標準形編 13 Q #論理関数 の「#最大項」って何？ ３変数での具体例は？ A 最大項は 「全変数が #OR接続 された項」のこと。 つまり 「#乗法標準形 の中で #AND接続 された各項のうち1項」 のこと。 ３変数の最大項は A＋B＋C A＋B＋￢C A＋￢B＋￢C など。

#論理回路学_標準形編 12 Q #論理関数 の「#最小項」って何？ 3変数での具体例は？ A 最小項は， 「全変数が #AND接続 された項」のこと。 つまり 「#加法標準形 の中で #OR接続 された各項のうち1項」 のこと。 ３変数の最小項は ABC，AB￢C，A￢B￢C　など。

#論理回路学_標準形編 11 Q #論理関数 の #加法標準形 と #乗法標準形 の関係は？ A 同じ論理関数を 2通りの方式で表現したものだから， 互いに「#同等な論理式」である。 また， 加法標準形と 乗法標準形は 論理関数として「#双対」の関係にある。 ※#双対性の原理 を思い出そう

#論理回路学_標準形編 10 Q 入力値A，B，Cに対しX=A+B+C は ･#乗法形 ･#乗法標準形 ･#加法形 ･#加法標準形 か？ A. ORの #AND接続 なので乗法形。 全項に全変数が現れるので乗法標準形。 ANDの #OR接続 と見れば加法形。 加法の各項に全変数が現れてはいないので 加法標準形でない。