#GröbnerBasis 21 #グレブナー基底 大好きbotさんによるまとめ 「#S多項式 って？」 togetter.com/li/891841 ・2つの多項式の #先頭項 を揃えて 新しい先頭項を作るのがS多項式。 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0… ・「S-多項式」は， f1 と f2 の先頭項(項順序の最も高い項)を 相殺させた式。

#GröbnerBasis 20 グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ 「グレブナー基底の存在性」 togetter.com/li/890548 #ディクソンの補題 より 任意の #単項式順序 と 任意の #イデアル に対し #グレブナー基底 が存在. #ヒルベルトの基底定理: n変数 #多項式環 の任意のイデアルは #有限生成

#GröbnerBasis 19 グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ #ディクソンの補題 togetter.com/li/889789 ・ #単項式イデアル: 単項式のみにより生成された #イデアル Dickson's lemma en.wikipedia.org/wiki/Dickson%2… ・単項式イデアルは #有限生成 ・ #グレブナー基底 の存在性を証明するのに重要

#GröbnerBasis 18 グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ 「グレブナー基底は、基底なのか？」 togetter.com/li/888878 #イデアル Iの有限部分集合Gが ‹LT(I)›＝‹LT(G)› を満たし GがIの #グレブナー基底 の時， I＝‹G› すなわちGがIを #生成 する事を示せば GはIの #基底 である.

#GröbnerBasis 16 グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ 「ぶな大後期中間テスト」 togetter.com/li/884903 初歩を復習できる演習問題と解答 ・多項式の割り算，多項式が生成する #イデアル の元 ・ #辞書式順序，次数付き辞書式順序 ・ #先頭項 を使い #基底 が #グレブナー基底 か判定

#GröbnerBasis 15 グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ 「グレブナー基底の同値な定義」 togetter.com/li/883795 #基底 Gが #イデアル Iの #グレブナー基底 である事は 下記3通りの同値な定義が可能 ①‹LT(I)›＝‹LT(G)› ②f∈I ⇔ fのGで割った余りが0 ③fのGで割った余りが一意的

#GröbnerBasis 13 #グレブナー基底 大好きbotさんによるまとめ 「割り算アルゴリズム」 togetter.com/li/881576 #単項式順序 を1つ固定して 多変数の多項式どうしを割り算すると， 余りは「割る順番」によって変わる可能性があり 一意的でない.

#GröbnerBasis 12 #グレブナー基底 大好きbotさんによるまとめ togetter.com/li/881194 多項式 f の… ・ #先頭項(Leading Term): LT(f) …#単項式順序 に依存. ・先頭係数(Leading Coefficient): LC(f) ・先頭単項式(Leading Monomial): LM(f) ・多重次数(multidegree): multideg(f)

#GröbnerBasis 11 #グレブナー基底 大好きbotさんによるまとめ 「単項式順序の例」 togetter.com/li/880793 ・ #辞書式順序：x,y,zの次数を順に比較して並べる。 ・辞書式順序は #全順序 かつ #整列順序 で #単項式順序 である。 ・次数付き辞書式順序 ・次数付き逆辞書式順序

#GröbnerBasis 10 #グレブナー基底 大好きbotさんによるまとめ 「単項式順序の定義」 togetter.com/li/880359 ・多項式の割り算:#全順序，#整列順序. 筆算が終わる事の保証 ・ #単項式順序:多変数多項式でも割り算ができるようにするための単項式の便利な順序. これが無いと割り算が終わらない

#GröbnerBasis 9 togetter.com/li/878537 「次数が d 次以下の 多項式から #生成 される #イデアル には， その #グレブナー基底 の中に 次数が 2^(2^d) の多項式が現れる ようなものが存在する」 例: 10次の多項式から 2^(2^10) 次(309ケタ次)の多項式が登場し得る. →計算量が膨大に.

#GröbnerBasis 8 グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ 「グレブナー基底と計算量」 togetter.com/li/878537 「多項式の余りを新たに #基底 に加える」 という操作を繰り返せば， #グレブナー基底 を必ず計算できる。 これをブッフベルガーのアルゴリズムという。

#GröbnerBasis 7 グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ 「#グレブナー基底 の応用」 togetter.com/li/878161 ・ #可換環論(#多項式環) ・代数幾何学(多項式の零点) ・微分作用素環論(連立線形偏微分方程式) ・統計学(計算代数統計) ・暗号理論(多変数公開鍵暗号) ・パズル(数独を解く)

#GröbnerBasis 5 グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ 「グレブナー基底と自動証明」 togetter.com/li/877582 #グレブナー基底 を使えば， 多変数多項式であっても 1変数多項式の時と同じように 「余り＝0 ⇔ ある多項式 g が #イデアル I の元」 という判定法が使用可能になる.

#GröbnerBasis 4 グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ 「グレブナー基底の定義」 togetter.com/li/876669 1変数多項式: 余りが0⇔#イデアル の元 多変数多項式: 一般に余りが一意でないので イデアルの元か判定不能. 余りが一意的になるようなイデアルの #基底 が #グレブナー基底.

#GröbnerBasis 3 #グレブナー基底 大好きbotさんによるまとめ 記号の説明 togetter.com/li/876666 K[ x_1, …, x_n ] : K係数のn変数 #多項式環. その要素の集合 { f_1, ..., f_s } を #基底 と呼ぶ. I : K[ x_1, …, x_n ]の #イデアル. 基底が生成するイデアル ‹ f_1, ..., f_s ›

#GröbnerBasis 2 グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ 「グレブナー基底の歴史」 togetter.com/li/877175 1965年にオーストリアのブッフベルガーが導入。 その師匠の名がグレブナー。 (同時期に広中平祐も類似概念を導入) ブッフベルガーアルゴリズム: #グレブナー基底 を求める手順。