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＜#代数学の参考書＞ 「代数学Ⅱ 環上の加群」 (東大出版2007桂) 後書きより: 『本書は #ホモロジー代数 の #理論 に ほとんど立ち入る事が できなかった. #表現論 的な観点から 本書を執筆したため #可換環 の事項，例えば #ネター環 の #イデアル の #準素イデアル分解 にふれられず…』

＜#代数学の参考書＞ 「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988) p30より: 『#可換環 Rが #体 の時 #R加群 の事は昔から #ベクトル空間 とよばれてきた. これは #ベース(底)をもつという点で 非常に取り扱いやすい R加群(#自由加群)である.』 ※本書はベクトル空間を既知として書かれている

#環論の初歩 25 #整域 (integral domain) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4… ・整域の概念は #整数 全体の成す #環 の一般化になっており， 整除可能性を調べるのに自然な設定を与える. ・単に #可換環 あるいは整域と言ったときには 乗法の #単位元 を持つと仮定することが多い.

#環論の初歩 24 Q. #整域 とは. A. #非自明な零因子 を持たない #可換環 で #零環(自明環){0}ではないものを 整域という. 整域は #環 であり， 加法だけでなく乗法も #可換 であり #零因子 は 0 だけである.

#環論の初歩 19 Q. #全行列環 とは A. n×nの #正方行列 全体の集合がなす #環 を n次「全行列環」 (full ring of n by n matrices)と呼びM_nで表す. ※成分には実数などの制約を課す. #行列 の積は非可換ゆえ M_nは #可換環 でない. 行列環(matrix ring)の例 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C… .

#環論の初歩 18 Q. #代数学 において X を不定元とする時 ℤ[X] は何を表すか A. #多項式環(polynomial ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A… 「整数係数の多項式」 f(X) ＝ Σ{k=0→n} a_k・X^k (a_k ∈ℤ, 0≦k≦n) の全体の集合がなす #環. 和と積について #閉じている #可換環 である.

#環論の初歩 16 Q. #可換環 の事を #可換代数 とも呼ぶの? A. 朝倉書店「加群十話」冒頭に 可換環の #公理 を満たす #代数系 を 「文字通り可換代数と呼んでいる」とある. その事に深入りできるのは 数学科上級生で アティマクの名著「可換代数入門」 など読むレベルになってからでしょう.

#環論の初歩 15 #零環 (the zero ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6… ・自明環 (trivial ring) とも呼ぶ. ・1つの元からなる唯一の #環. (ただし同型を除く) ・「加法の #単位元」(＝#零元) 0 と， 「乗法の単位元」1 が一致する唯一の環. ・零環は #可換環.

#環論の初歩 12 #可換環 (commutative ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF… ・乗法が可換であるような #環 ・可換環の研究は #可換環論，#可換代数学 と呼ばれる ・環Rは加法に関しアーベル群，乗法に関しモノイド. 乗法は加法に対し分配的. さらに乗法が可換律(#交換法則)を満たせばRは可換

#環論の初歩 11 Q. #可換環 とは A. #環 の3 #公理 に加え 下記の性質を満たすものをいう. ④ 積の #交換法則 a・b ＝ b・a なお，環は 加法については #アーベル群 なので 加法は常に交換法則を満たす.

#環論の初歩 7 #環 (ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0… ・台集合に加法(和)と乗法(積)を備えた #代数的構造 のこと. ・最もよく知られた環の例は，整数全体の成す集合に加法と乗法を考えたもの ・環論では #可換環 と #非可換環 を分けて考える. (前者は代数的数論や代数幾何学の範疇)