#微分方程式の基礎 21 Q. #不完全微分 方程式 Pdx＋Qdy＝0 の #積分因子 λが， xのみの関数でも yのみの関数でも y/xのみの関数でもなかった場合は どうするか A. λ＝x^m y^n とおいて #完全微分 形の条件 ∂( λP ) / ∂y ＝ ∂( λQ ) / ∂x に代入し 両辺のm,nを比較して λ を決定する

#微分方程式の基礎 18 1階・常微分方程式のパターン 「#不完全微分 方程式」 ▶形式: P( x, y ) dx ＋ Q( x, y ) dy ＝ 0 かつ ∂P/∂y ≠ ∂Q/∂x ▶解き方: 適切な #積分因子 μ( x, y ) をかけて ∂( μP ) / ∂y ＝ ∂( μQ ) / ∂x を成立させ， #完全微分 方程式に変形する。

#微分方程式の基礎 17 ▶#完全微分 方程式 Exact(or total)differential equation en.wikipedia.org/wiki/Exact_dif… dF=0の解は #ポテンシャル関数 potential function ▶#不完全微分 方程式 Inexact differential equation en.wikipedia.org/wiki/Inexact_d… #積分因子 で解ける事をオイラー(1739)が証明

#微分方程式の基礎 16 Q. ある微分方程式 P(x,y)dx＋Q(x,y)dy＝0 が #完全微分 形である事と 条件 ∂P/∂y＝∂Q/∂x との同値性を示せ A. 下記URLに証明有り. 完全微分形の #一般解 の求め方 physnotes.jp/diffeq/ede/#%E… #シュワルツの定理 を使う. ∂^2 U / ∂x∂y ＝ ∂^2 U / ∂y∂x

#微分方程式の基礎 15 Q. #完全微分 形 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 かつ ∂P/∂y=∂Q/∂x を解く手順 A. #全微分 形なので P=∂U/∂x…① Q=∂U/∂y…② ①を積分し U＝∫Pdx＋C(y)…③ ③を②に代入 Q－(∂/∂y)∫Pdx＝(∂/∂y)C(y)…④ ④をyで積分してC(y)を得 ③に代入してU(x,y)を得る

#微分方程式の基礎 14 1階・常微分方程式のパターン 「#完全微分 方程式」 ▶形式 P( x, y ) dx ＋ Q( x, y ) dy ＝ 0 かつ ∂P/∂y＝∂Q/∂x ▶解き方 ある U( x, y ) の #全微分 が dU＝Pdx＋Qdy＝0 なので U( x, y )＝C が #一般解. ▶参考 全微分のことを完全微分とも呼ぶ.

#微分方程式の基礎 7 Q. #積分因子 とは A. 積分因子(integrating factor) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D… かける事で #不完全微分 から #完全微分 を得るもの. 完全微分(exact differential, perfect differential) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C… ある式が適当な可微分函数Qの微分dQとなること