#全微分　熱力学ならいっぱい出てくる 温度、体積、圧力、内部エネルギー 内部エネルギーを全微分で表すと dU=(∂U/∂T)dT + (∂U/∂P)dP 体積を全微分で表すと dV=(∂V/∂T)dT + (∂V/∂P)dP T:温度　P:圧力 体積、内部エネルギーはTとPの関数で (∂V/∂T)は圧力を固定、(∂V/∂P)は温度を固定

すると、dfはf(t,x,y)の全微分なので、このdfを五線譜の上に当てはめる。特に、xとyを徐々に変化させれば、滑らかな長短の音と、上下音の動きの曲ができる。 #全微分　#現代音楽 x.com/hausenjapan/st…

ヨビノリさんの「全微分」のトレンドが長く出ている。 私の場合は、「全微分」は、現代音楽の作曲に使う。 以下の式において、tが時間、xが音の高さ、yは音の長さとする。 #全微分　#現代音楽 pic.x.com/d5jEQwES3k

#3次元・極座標のラプラシアン導出 58 流れを整理: 極座標を引数に持つ関数 f(r,θ,φ) を 極座標パラメータの微小量で展開(#全微分) ↓ 両辺をdxで割る ↓ 全微分の各微小量の項の重みづけ係数 ∂r/∂x，∂θ/∂x，∂φ/∂x をr，θ，φで表す ↓ ∂f/∂xがわかる ↓ ∂/∂xをr，θ，φで表せた！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 51 f(r,θ,φ) の #全微分 df(r,θ,φ) = (∂f/∂r)dr+(∂f/∂θ)dθ+(∂f/∂φ)dφ の両辺をdxで割ると… (∂/∂x) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂x) + (∂f/∂θ) (∂θ/∂x) + (∂f/∂φ) (∂φ/∂x) 右辺でfが絡まない項は 計算を進める事が可能！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 50 ∂/∂x ＝ A(∂/∂r)＋B(∂/∂θ)＋C(∂/∂φ) みたいな式を作るには f(r,θ,φ) を #全微分 した式を dxで割ればよいのでは？ f を極座標パラメータに関する 1次の微小量で展開 すなわち全微分すると df(r,θ,φ)＝(∂f/∂r)dr＋(∂f/∂θ)dθ＋(∂f/∂φ)dφ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 49 ∂/∂xを「r，θ，φ に関する微分」に 書き直す。 とは，つまり… ∂/∂x ＝ A (∂/∂r)＋B (∂/∂θ)＋C (∂/∂φ) ↑ A，B，C は r，θ，φ の 何かの関数や定数 …みたいな形にできればよい，という事。 そのために役立つのが #全微分。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 15 前ツイまでの参考文献リストを概観し 分かることがある。 それは… ･3次元 #極座標 の，座標設定の基礎 ･#全微分 と #偏微分 ･#一般力学 における #回転運動 と #角運動量 の扱い などについて 前もって前提事項として理解が必要！ ということ。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 4 ▶(文献1・続) 手順… 極座標の位置変数の関数 r^2 tan^2 θ tan φ をそれぞれ直交座標パラメータ x，y，zで表し 任意の関数 f( r, θ, φ ) の #全微分 形を x，y，zで #偏微分 する事を考え ∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z を 極座標パラメータ r，θ，φで表す.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 71 ここまでの計算式を画像にまとめた。 パート1：計算方針として #全微分 の式を作る パート2：rを1階微分する演算子を #極座標 化 パート3：θを1階微分する演算子を極座標化 パート4：φを1階微分する演算子を極座標化 . pic.x.com/YtU9OioQXJ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 58 流れを整理: 極座標を引数に持つ関数 f(r,θ,φ) を 極座標パラメータの微小量で展開(#全微分) ↓ 両辺をdxで割る ↓ 全微分の各微小量の項の重みづけ係数 ∂r/∂x，∂θ/∂x，∂φ/∂x をr，θ，φで表す ↓ ∂f/∂xがわかる ↓ ∂/∂xをr，θ，φで表せた！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 51 f(r,θ,φ) の #全微分 df(r,θ,φ) = (∂f/∂r)dr+(∂f/∂θ)dθ+(∂f/∂φ)dφ の両辺をdxで割ると… (∂/∂x) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂x) + (∂f/∂θ) (∂θ/∂x) + (∂f/∂φ) (∂φ/∂x) 右辺でfが絡まない項は 計算を進める事が可能！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 50 ∂/∂x ＝ A(∂/∂r)＋B(∂/∂θ)＋C(∂/∂φ) みたいな式を作るには f(r,θ,φ) を #全微分 した式を dxで割ればよいのでは？ f を極座標パラメータに関する 1次の微小量で展開 すなわち全微分すると df(r,θ,φ)＝(∂f/∂r)dr＋(∂f/∂θ)dθ＋(∂f/∂φ)dφ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 49 ∂/∂xを「r，θ，φ に関する微分」に 書き直す。 とは，つまり… ∂/∂x ＝ A (∂/∂r)＋B (∂/∂θ)＋C (∂/∂φ) ↑ A，B，C は r，θ，φ の 何かの関数や定数 …みたいな形にできればよい，という事。 そのために役立つのが #全微分。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 15 前ツイまでの参考文献リストを概観し 分かることがある。 それは… ･3次元 #極座標 の，座標設定の基礎 ･#全微分 と #偏微分 ･#一般力学 における #回転運動 と #角運動量 の扱い などについて 前もって前提事項として理解が必要！ ということ。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 4 ▶(文献1・続) 手順… 極座標の位置変数の関数 r^2 tan^2 θ tan φ をそれぞれ直交座標パラメータ x，y，zで表し 任意の関数 f( r, θ, φ ) の #全微分 形を x，y，zで #偏微分 する事を考え ∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z を 極座標パラメータ r，θ，φで表す.

#解析力学_Lagrange形式編 42 #ラグランジアン L( q(t), v(t), t ) の #全微分 は dL ＝ (∂L/∂q)dq＋(∂L/∂v)dv＋(∂L/∂t)dt ∂L/∂t＝0 の時，L の #変分 は δL( q(t), v(t), t ) ＝ L( q(t)＋δq(t), v(t)＋δv(t), t ) － L( q(t), v(t), t ) ＝ (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv

#解析力学_Lagrange形式編 41 #最小作用の原理 ∫{t_1→t_2} δL( q(t), v(t), t ) dt＝0 ↑ #ラグランジアン の #変分 δLが出てくる. 変分の定義より δL( q(t), v(t), t ) ＝ L( q(t)＋δq(t), v(t)＋δv(t), t ) － L( q(t), v(t), t ) Lの #全微分 を使って ここから計算を進めよう.

#解析力学_Lagrange形式編 34 dS/dε =∫{t_1→t_2} dL(q(t,ε),q̇(t,ε),t)/dε dt #全微分 =∫{t_1→t_2} {(∂L/∂q)h(t)＋(∂L/∂q̇)(dh(t)/dt)} dt #部分積分 =∫{t_1→t_2} {(∂L/∂q)h(t)＋{(d/dt)(∂L/∂q̇)}h(t)} dt 因数くくりだし =∫{t_1→t_2} h(t) {∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇)} dt

#解析力学_Lagrange形式編 29 #全微分 の計算で dL/dεが求まったので… L=L( q(t,ε), q̇(t,ε), t )が満たす 微分方程式は， 『dS/dε ＝∫{t_1→t_2} dL( q(t,ε), q̇(t,ε), t )/dε dt ＝∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q) h(t)＋(∂L/∂q̇) dh(t)/dt } dt に ε＝0を代入すると dS/dε＝0』 となる.

#解析力学_Lagrange形式編 27 L( q(t,ε), q̇(t,ε), t )の #全微分 は dL= (∂L/∂q)dq+ (∂L/∂q̇)dq̇+ (∂L/∂t)dt ∴ dL/dε= (∂L/∂q)(∂q/∂ε)+ (∂L/∂q̇)(∂q̇/∂ε)+ (∂L/∂t)(∂t/∂ε) tはεに依存せず∂t/∂ε＝0より dL/dε＝(∂L/∂q)(∂q/∂ε)＋(∂L/∂q̇)(∂q̇/∂ε)

#解析力学_Lagrange形式編 26 S[q](ε)＝∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt Sをεで微分する事は Lをεで微分する事で そのために Lの #全微分 を求める必要がある. Lは3つの引数をとる多変数関数だから. Lをその3つの引数で全微分すると dL＝(∂L/∂q)dq＋(∂L/∂q̇)dq̇＋(∂L/∂t)dt

#3次元・極座標のラプラシアン導出 71 ここまでの計算式を画像にまとめた。 パート1：計算方針として #全微分 の式を作る パート2：rを1階微分する演算子を #極座標 化 パート3：θを1階微分する演算子を極座標化 パート4：φを1階微分する演算子を極座標化 . pic.x.com/YtU9OioQXJ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 58 流れを整理: 極座標を引数に持つ関数 f(r,θ,φ) を 極座標パラメータの微小量で展開(#全微分) ↓ 両辺をdxで割る ↓ 全微分の各微小量の項の重みづけ係数 ∂r/∂x，∂θ/∂x，∂φ/∂x をr，θ，φで表す ↓ ∂f/∂xがわかる ↓ ∂/∂xをr，θ，φで表せた！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 51 f(r,θ,φ) の #全微分 df(r,θ,φ) = (∂f/∂r)dr+(∂f/∂θ)dθ+(∂f/∂φ)dφ の両辺をdxで割ると… (∂/∂x) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂x) + (∂f/∂θ) (∂θ/∂x) + (∂f/∂φ) (∂φ/∂x) 右辺でfが絡まない項は 計算を進める事が可能！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 50 ∂/∂x ＝ A(∂/∂r)＋B(∂/∂θ)＋C(∂/∂φ) みたいな式を作るには f(r,θ,φ) を #全微分 した式を dxで割ればよいのでは？ f を極座標パラメータに関する 1次の微小量で展開 すなわち全微分すると df(r,θ,φ)＝(∂f/∂r)dr＋(∂f/∂θ)dθ＋(∂f/∂φ)dφ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 49 ∂/∂xを「r，θ，φ に関する微分」に 書き直す。 とは，つまり… ∂/∂x ＝ A (∂/∂r)＋B (∂/∂θ)＋C (∂/∂φ) ↑ A，B，C は r，θ，φ の 何かの関数や定数 …みたいな形にできればよい，という事。 そのために役立つのが #全微分。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 15 前ツイまでの参考文献リストを概観し 分かることがある。 それは… ･3次元 #極座標 の，座標設定の基礎 ･#全微分 と #偏微分 ･#一般力学 における #回転運動 と #角運動量 の扱い などについて 前もって前提事項として理解が必要！ ということ。

#解析力学_Hamilton形式編 43 Q. 時間による #全微分 を #ポアソン括弧 で表す式 dX/dt = ∂X/∂t + {X, H} に X=H を代入すると #ハミルトニアン が時間に陽に依存しない場合 dH/dt = 0 ↑ 意味は? A. 「時間的に変化する外場が働いていない時， #エネルギー は保存する」という意味.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 4 ▶(文献1・続) 手順… 極座標の位置変数の関数 r^2 tan^2 θ tan φ をそれぞれ直交座標パラメータ x，y，zで表し 任意の関数 f( r, θ, φ ) の #全微分 形を x，y，zで #偏微分 する事を考え ∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z を 極座標パラメータ r，θ，φで表す.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 71 ここまでの計算式を画像にまとめた。 パート1：計算方針として #全微分 の式を作る パート2：rを1階微分する演算子を #極座標 化 パート3：θを1階微分する演算子を極座標化 パート4：φを1階微分する演算子を極座標化 . pic.x.com/YtU9OioQXJ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 58 流れを整理: 極座標を引数に持つ関数 f(r,θ,φ) を 極座標パラメータの微小量で展開(#全微分) ↓ 両辺をdxで割る ↓ 全微分の各微小量の項の重みづけ係数 ∂r/∂x，∂θ/∂x，∂φ/∂x をr，θ，φで表す ↓ ∂f/∂xがわかる ↓ ∂/∂xをr，θ，φで表せた！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 51 f(r,θ,φ) の #全微分 df(r,θ,φ) = (∂f/∂r)dr+(∂f/∂θ)dθ+(∂f/∂φ)dφ の両辺をdxで割ると… (∂/∂x) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂x) + (∂f/∂θ) (∂θ/∂x) + (∂f/∂φ) (∂φ/∂x) 右辺でfが絡まない項は 計算を進める事が可能！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 50 ∂/∂x ＝ A(∂/∂r)＋B(∂/∂θ)＋C(∂/∂φ) みたいな式を作るには f(r,θ,φ) を #全微分 した式を dxで割ればよいのでは？ f を極座標パラメータに関する 1次の微小量で展開 すなわち全微分すると df(r,θ,φ)＝(∂f/∂r)dr＋(∂f/∂θ)dθ＋(∂f/∂φ)dφ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 49 ∂/∂xを「r，θ，φ に関する微分」に 書き直す。 とは，つまり… ∂/∂x ＝ A (∂/∂r)＋B (∂/∂θ)＋C (∂/∂φ) ↑ A，B，C は r，θ，φ の 何かの関数や定数 …みたいな形にできればよい，という事。 そのために役立つのが #全微分。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 15 前ツイまでの参考文献リストを概観し 分かることがある。 それは… ･3次元 #極座標 の，座標設定の基礎 ･#全微分 と #偏微分 ･#一般力学 における #回転運動 と #角運動量 の扱い などについて 前もって前提事項として理解が必要！ ということ。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 4 ▶(文献1・続) 手順… 極座標の位置変数の関数 r^2 tan^2 θ tan φ をそれぞれ直交座標パラメータ x，y，zで表し 任意の関数 f( r, θ, φ ) の #全微分 形を x，y，zで #偏微分 する事を考え ∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z を 極座標パラメータ r，θ，φで表す.

#解析力学_Lagrange形式編 42 #ラグランジアン L( q(t), v(t), t ) の #全微分 は dL ＝ (∂L/∂q)dq＋(∂L/∂v)dv＋(∂L/∂t)dt ∂L/∂t＝0 の時，L の #変分 は δL( q(t), v(t), t ) ＝ L( q(t)＋δq(t), v(t)＋δv(t), t ) － L( q(t), v(t), t ) ＝ (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv

#解析力学_Lagrange形式編 41 #最小作用の原理 ∫{t_1→t_2} δL( q(t), v(t), t ) dt＝0 ↑ #ラグランジアン の #変分 δLが出てくる. 変分の定義より δL( q(t), v(t), t ) ＝ L( q(t)＋δq(t), v(t)＋δv(t), t ) － L( q(t), v(t), t ) Lの #全微分 を使って ここから計算を進めよう.