#解析力学_Lagrange形式編 103 「#ラグランジアン Lが q̈やそれ以上の高階微分を 変数として含む時 #オイラー・ラグランジュ方程式 は 3階以上の微分方程式になる」 ということが分かった. でも普通の #解析力学 ではL=L(q,q̇)とおき #オイラー・ラグランジュ方程式 は2階. なぜそうおける?

#解析力学_Lagrange形式編 102 #ラグランジアン L(q,q̇,…,q^(n)) が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 は Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 Lがqの2階微分まで含み L=L(q,q̇,q̈)ならば ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＋(d^2/dt^2)(∂L/∂q̈)=0 qに関する4階微分方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 100 Q. #ラグランジアン がもし qの二階以上の微分(高階の微分) を含む場合 #オイラー・ラグランジュ方程式 はどうなる？ A. 下記PDFの12ページに計算が. wwwacty.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~acts/mechanic… オイラー・ラグランジュ方程式は 2階ではなく もっと高階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 99 ここまで， #ラグランジアン が L(q, q̇) すなわち q の一階微分までを 変数として含む場合に限って計算を進め， 結果として #オイラー・ラグランジュ方程式 は 二階の微分方程式となった。 では， Lがqの二階以上の微分(高階の微分) を含む場合もあるのか？

#解析力学_Lagrange形式編 96 このように… 具体的な #ラグランジアン を 2変数関数としてグラフ描画し 位置qと 速度vが #独立変数 で， 各々の変数でそれぞれ Lを #偏微分 できる. 偏微分の後で v＝q̇ を代入するのが #オイラー・ラグランジュ方程式. という事をよく理解できた.

#解析力学_Lagrange形式編 95 #ラグランジアン が L(h,v)＝T－U =(1/2)mv^2－mgh の時 #オイラー・ラグランジュ方程式 は… ∂L/∂h － (d/dt){ [ ∂L/∂v ]_{vにḣを代入} }＝0 ① ∂L/∂h＝－mg ∂L/∂v＝mv より，①は －mg－(d/dt)mḣ＝0 ∴ mḧ＝－mg #ニュートンの運動方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 94 #ラグランジアン が L(h, v) ＝T－U =(1/2)mv^2－mgh である時，Lを hとvでそれぞれ #偏微分 してみよう. 位置での偏微分: ∂L/∂h＝－mg 速度での偏微分: ∂L/∂v＝mv ↑ ここで，位置と速度で それぞれ独立に偏微分できている事は 疑わしくはないはず.

#解析力学_Lagrange形式編 93 #運動エネルギー T(v)＝(1/2)mv^2 #位置エネルギー U(h)＝mgh の時， #ラグランジアン は L(h, v)=T－U =(1/2)mv^2－mgh という 「2つの独立変数 h, v に依存する2変数関数」. m＝1[kg] g＝9.8[m/s^2] とした L(h, v) のグラフ: pic.twitter.com/fpiVqG89nV

#解析力学_Lagrange形式編 87 q, v という 2つの #独立変数 を引数に取る 具体的な #ラグランジアン L( q, v ) として もっとも簡単な例は… L(q, v) ＝ T(v) － U(q) ・ #運動エネルギー は T(v)＝(1/2)mv^2 速度のみに依存. ・ #位置エネルギー は U(q)＝mgq 位置のみに依存.

#解析力学_Lagrange形式編 86 「q, v は #独立変数 だ」 という事を ストンと納得するためには…？ 具体的な #ラグランジアン L( q, v ) の例を， 2変数関数として 3次元空間でプロットしてみればよい. qとvの "数値" を それぞれ自由にとれる事がわかる. pic.twitter.com/0vdZKAJvas

#解析力学_Lagrange形式編 75 #ラグランジュ形式 を整理: #作用 S=∫{t1→t2}Ldtを定義し #最小作用の原理 δS=0を要請すると #変分法 より #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 が導出され #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V を代入すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 72 Q. #ニュートン力学 の #運動方程式 と比べた場合 #ラグランジュ形式 の利点は？ A. 座標変換が簡単. #ニュートンの運動方程式 は ベクトルの方程式で， デカルト座標以外では 煩雑な座標変換が必要. 一方，ラグランジュ形式では #ラグランジアン はスカラー.

#解析力学_Lagrange形式編 63 Q. #一般化座標 q 一般化座標の時間微分 q̇ 時間 t について， #オイラー・ラグランジュ方程式 (#ラグランジュの運動方程式) を書け。 A. #ラグランジアン L( q(t), q̇(t), t ) に対し ∂L / ∂q － (d/dt)( ∂L / ∂q̇ ) ＝ 0

＜#解析力学の参考書＞ SGCライブラリ 「現代物理のための解析力学」(2006早田) 前書きより: 『始めに #ラグランジアン ありき が #解析力学 の #教え である. しかし初めて学ぶ者にとって これがわかりにくい. そこで #幾何学的 観点を強調する事で ラグランジアンの #必要性 を明確に…』

#解析力学_Lagrange形式編 44 #最小作用の原理 δS＝0 ↓ ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv } dt＝0　① ここで #ラグランジアン L( q(t), v(t), t ) の第2引数に v(t)＝q̇(t) を代入すると ①より ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂q̇)δq̇ } dt＝0 ↓ δq̇ をどう扱うか？

＜#解析力学の参考書＞ SGCライブラリ 「現代物理のための解析力学」(2006) 前書きより 『現在 #物理学 は ゲージ対称性を持つ #ラグランジアン から出発し 自然現象を説明する立場が主流だが そのために必要な #拘束系の力学，特に #ゲージ対称性 を持つ #力学系 を #大学 では教えず…』

#解析力学_Lagrange形式編 43 #ラグランジアン L( q(t), v(t), t ) の #変分 は δL( q(t), v(t), t ) ＝ (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv ↑ これを #最小作用の原理 δS＝0 に代入すると， ∫{t_1→t_2} δL dt＝0 ∴ ∫{t_1→t_2} { (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv } dt＝0 ↓ どう変形するか？

#解析力学_Lagrange形式編 42 #ラグランジアン L( q(t), v(t), t ) の #全微分 は dL ＝ (∂L/∂q)dq＋(∂L/∂v)dv＋(∂L/∂t)dt ∂L/∂t＝0 の時，L の #変分 は δL( q(t), v(t), t ) ＝ L( q(t)＋δq(t), v(t)＋δv(t), t ) － L( q(t), v(t), t ) ＝ (∂L/∂q)δq＋(∂L/∂v)δv

#解析力学_Lagrange形式編 41 #最小作用の原理 ∫{t_1→t_2} δL( q(t), v(t), t ) dt＝0 ↑ #ラグランジアン の #変分 δLが出てくる. 変分の定義より δL( q(t), v(t), t ) ＝ L( q(t)＋δq(t), v(t)＋δv(t), t ) － L( q(t), v(t), t ) Lの #全微分 を使って ここから計算を進めよう.

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「高エネルギー物理学実験」(丸善出版1997真木) p202より引用: 『M_γ ＝ 0 という式は #ラグランジアン に A_μ A^μ の項が 現れない事から言えるので， #光子 のみが #質量 ゼロのままである事が分かる。 この機構が #ヒッグス機構 と 呼ばれるものである。』

#解析力学_Lagrange形式編 19 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる」★ ↑ ★は，物理学的には #ラグランジアン Lの時間積分という #作用汎関数 が最小値をとること. すなわち #最小作用の原理 に相当する. ★を変形し q(t)が満たす #微分方程式 を作るには?

＜#量子論の参考書＞ 「量子場の理論」(2008江澤) 序文より引用: 『#場の量子論 の特徴は #ラグランジアン から #出発 する #論理 の #整合性 と， その #形式的 な #美しさ にある。 しかし #相対論的場 に特有の #発散量 の #繰り込み 処方は， #量子場 の #本質 を 見失わせかねない。』

#解析力学_Lagrange形式編 15 【#ラグランジアン は訳分からん事案】 という格言がある。 そのような格言があるほど， 分かりづらい存在なのである！ 「#わけわからんじあん」 「#ワケワカランジアン」 などでエゴサしてみよう！ そのツイート検索用のリンク： x.com/search?q=%22%e…

#解析力学_Lagrange形式編 14 Q. #ハミルトニアン H=T+Uは 「系の全エネルギー」(わかりやすい) #ラグランジアン L=T-Uの 「物理的な意味」を考えてみよ A. #作用汎関数 の定義 S＝∫Ldt と #最小作用の原理 δS＝0 より Lの物理的な意味は 「系の時間発展の間，時間積分が最小となるべき量」

#解析力学_Lagrange形式編 4 Q. #ラグランジュ形式 の #解析力学 において #作用(作用汎関数)とは A. 作用(action) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%9C… #ラグランジアン の時間積分. S＝∫{t1→t2} L dt #作用汎関数(action functional). #作用積分. スカラー値なので 最小値を考えることが可能.

#解析力学_Lagrange形式編 3 Q. #ラグランジアン とは A. Lagrangian ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9… #ラグランジュ形式 の #解析力学 で 力学系の性質を記述する関数. ラグランジュ関数. #一般化座標 その微分(一般化速度) 時間 が変数. 一般に運動エネルギーTとポテンシャルVの差 L=T-V

#解析力学_保存量と対称性編 12 Q. #ラグランジュ力学 において， #ネーターの定理 に基づき 系の #保存量 をどのように表現できるか A. 下記URLの導出を参照. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D… #ラグランジアン L #対称性 のパラメータ T, Q を使って， 保存量 X_r を表現している.

#解析力学_保存量と対称性編 3 Q. n自由度の系で #循環座標 q_iが存在する時 #ラグランジアン Lはどんな形か A. 一般にLはq,q̇,tの関数で L( q_1, q_2, …, q_n, q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t) Lは循環座標q_iに依存しないので L( q_1, q_2, …, q_{i-1}, q_{i+1}, … q_n, q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t)

#解析力学_保存量と対称性編 2 Q. #循環座標 とは. A. 循環座標 (cyclic coordinates) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA… #ラグランジアン L が 関数として陽に依存しない 一般座標変数 q_i のこと. もし循環座標が存在する場合， それに対応する共役運動量 p_i は 系の #保存量(#第一積分)となる.

#解析力学_保存量と対称性編 12 Q. #ラグランジュ力学 において， #ネーターの定理 に基づき 系の #保存量 をどのように表現できるか A. 下記URLの導出を参照. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D… #ラグランジアン L #対称性 のパラメータ T, Q を使って， 保存量 X_r を表現している.

＜#量子論の参考書＞ 「経路積分の方法」(1992) 序文より: 『#経路積分 を用いた #物理現象 への #アプローチ は 「#理論 に #固有 の #不変性 を扱う際 #古典的 な #ラグランジアン を 考えるだけでよい」 という #手軽 さも手伝い #素粒子論 や #物性物理 を始めとして 多くの分野に…』

＜#量子論の参考書＞ 「経路積分の方法」(岩波書店1992大貫) 序文より: 『アプローチの有効性を示したのは #Feynman であった。 彼らの考えの根底には， #ハミルトニアン を用いず #古典的 な #ラグランジアン のみを基礎にして #量子力学 を #定式化 する事が 可能かも知れぬ，と…』

#解析力学_保存量と対称性編 3 Q. n自由度の系で #循環座標 q_iが存在する時 #ラグランジアン Lはどんな形か A. 一般にLはq,q̇,tの関数で L( q_1, q_2, …, q_n, q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t) Lは循環座標q_iに依存しないので L( q_1, q_2, …, q_{i-1}, q_{i+1}, … q_n, q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t)

#解析力学_保存量と対称性編 2 Q. #循環座標 とは. A. 循環座標 (cyclic coordinates) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA… #ラグランジアン L が 関数として陽に依存しない 一般座標変数 q_i のこと. もし循環座標が存在する場合， それに対応する共役運動量 p_i は 系の #保存量(#第一積分)となる.

#解析力学_Hamilton形式編 28 Q. #ラグランジアン よりも #ハミルトニアン のほうが 有名な気がしてしまうのですが…why? A. #量子力学 の演算子導入部で ハミルトニアンを使って数式を記述しますし ハミルトニアン(全エネルギー)に比べ ラグランジアンの物理的意味を解釈しづらいためかと

#解析力学_Hamilton形式編 23 並べて比較 ▶#ラグランジュ形式 #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ▶#ハミルトン形式 #正準運動量 p=∂L/∂q̇ #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p-L(q,q̇) #ハミルトンの正準方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p

#素粒子論をWebで独学・おすすめコンテンツ #EMANの素粒子論 eman-physics.net/elementary/con… 全6部中2パート目 第2部:#ラグランジアン密度 の計算法 (3/8)#電磁場 の #ラグランジアン(試作編) eman-physics.net/elementary/em_… (4/8)#対称性 を考慮する eman-physics.net/elementary/em_… #素粒子論

#解析力学_Hamilton形式編 13 Q. #最小作用の原理 から #ハミルトンの正準方程式 を導出 A. 計算は下記URL参照 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80… #作用積分 Sは #ラグランジアン Lの時間積分. Lと #ハミルトニアン Hに #ルジャンドル変換 による変換関係があるので SをHで表せて Sの停留点を求める.

#解析力学_Hamilton形式編 28 Q. #ラグランジアン よりも #ハミルトニアン のほうが 有名な気がしてしまうのですが…why? A. #量子力学 の演算子導入部で ハミルトニアンを使って数式を記述しますし ハミルトニアン(全エネルギー)に比べ ラグランジアンの物理的意味を解釈しづらいためかと